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SISTEMAS ESTRUTURAIS II Universidade Federal Fluminense Departamento de Engenharia Civil Sistemas Estruturais II Profª.: Eliane Maria Lopes Carvalho Monitora:

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1 SISTEMAS ESTRUTURAIS II Universidade Federal Fluminense Departamento de Engenharia Civil Sistemas Estruturais II Profª.: Eliane Maria Lopes Carvalho Monitora: Daniela Ribeiro da Costa Silva

2 OBJETIVOS

3 Tipos de Estruturas

4 número de reações de apoio = número de equações de equilíbrio ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS São estruturas que apresentam as mínimas condições de manutenção do equilíbrio estático diante da atuação de qualquer carregamento. A estrutura isostática não apresenta reserva de segurança, por isso caso ocorra o rompimento de um de seus vínculos, a estrutura se tornará hipoestática. Exemplo: Temos: 3 Reações de Apoio VA, VB e HB 3 Equações de Equilíbrio FH = 0, FV = 0 e Mz = 0

5 As estruturas hipoestáticas são aquelas que não possuem as condições mínimas de manutenção do equilíbrio estático diante da solicitação de qualquer carregamento. Este tipo de estrutura NÃO pode ser projetada, por serem inadmissíveis para as construções devido à sua INSTABILIDADE. ESTRUTURAS HIPOESTÁTICAS número de reações de apoio < número de equações de equilíbrio Exemplo: Temos: 2 Reações de Apoio VA e VB 3 equações de Equilíbrio FH = 0, FV = 0 e Mz = 0

6 As estruturas hiperestáticas são as estruturas mais freqüentes na pratica e são as que devem preferencialmente ser utilizadas. Este tipo de estrutura possui reserva de segurança, apresentando portando condições além das necessárias para manter o equilíbrio estático. Caso haja, o rompimento de um de seus vínculos, a estrutura manterá a sua estaticidade. É necessário impor condições de compatibilidade de deformação para obter mais equações e resolver o sistema. ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS número de reações de apoio > número de equações de equilíbrio Exemplo: Temos: 4 Reações de Apoio VA, HA, VB e HB 3 Equações de Equilíbrio FH = 0, FV = 0 e Mz = 0

7 Solicitações em Estruturas Isostáticas Submetidas a Diferentes Tipos de Carregamentos

8 ESFORÇOS SIMPLES P1, P2, P3, P4 forças externas Seja um corpo submetido a um conjunto de forças em equilíbrio: Seção S E D P2 P1 P4 P3

9 CÁLCULO DOS ESFORÇOS NA SEÇÃO S a)Secciona-se o corpo por um plano que intercepta segundo uma seção S, dividindo-o em 2 partes: E e D. b) Para ser possível esta divisão, preservando o equilíbrio destas duas partes, basta que apliquemos, na seção S, um sistema estático equivalente ao das forças da parte retirada. c) Aplicando as equações de equilíbrio a qualquer das duas partes, obtêm-se os esforços atuantes nas seções. y my Qy xmxQx z Qz mz y my Qy z x mx Qx Qzmz Seção S E D P2 P1 P4 P3 P2 P3 E P1 P4 D

10 Tipos de Esforços

11 ESFORÇO NORMAL Soma algébrica das componentes, na direção normal à seção, de cada uma das forças atuantes de um dos lados desta seção. O esforço normal pode ser de dois tipos: tração ou compressão. Tração Compressão Convenção de Sinais: + - Tração Compressão NNNN

12 Conclusão: um esforço cortante Qy ou Qz, é positivo quando, calculando pelas forças situadas do lado esquerdo da seção, tiver o sentido positivo dos eixos y e z ou, quando for calculado pelas forças situadas do lado direito da seção, tiver os sentido oposto ao sentido positivo dos eixos y e z. Em caso contrário, o esforço cortante será negativo. Esforço Cortante Negativo Esforço Cortante Positivo Esforço Cortante em Relação ao eixo z: Esforço Cortante Positivo Esforço Cortante Negativo + Q QQ Q - Esforço Cortante Positivo Esforço Cortante em Relação ao eixo y: ESFORÇO CORTANTE Soma vertical das componentes, sobre o plano da seção, das forças situadas em um dos lados desta seção, na perpendicular do eixo da estrutura. O esforço cortante pode ocorrer em relação ao eixo y ou em relação ao eixo z. Convenção de Sinais:

13 MOMENTO TORÇOR Soma algébrica dos momentos das forças situadas de um dos lados desta seção em relação ao eixo normal à seção que contém o seu centro de gravidade. Momento Torçor PositivoMomento Torçor Negativo Convenção de Sinais: Momento Torçor PositivoMomento Torçor Negativo + - T T TT

14 Bordo Comprimido Bordo Tracionado Bordo Comprimido Bordo Tracionado Momento Fletor Negativo Momento Fletor em Relação ao eixo z: Momento Fletor PositivoMomento Fletor Negativo Momento Fletor em relação ao eixo y: Momento Fletor Positivo Convenção de Sinais: Momento Fletor PositivoMomento Fletor Negativo +- m m m m Bordo Comprimido Bordo Tracionado Bordo Comprimido Bordo Tracionado Soma algébrica dos momentos das forças atuantes de um dos lados da seção em relação ao seu centro de gravidade. Quando ocorre o momento fletor, um dos bordos da viga sofre tração e o outro bordo sofre compressão. Assim como o esforço cortante, o momento fletor pode ocorre em torno do eixo x ou em torno do eixo y. MOMENTO FLETOR

15 RESUMINDO: No caso mais geral, podemos ter os seguintes esforços simples: a) Esforço Normal N; b) Esforços Cortantes Qy e Qz; c) Momento Torçor T; d) Mementos Fletores my e mz

16 OBSERVAÇÃO IMPORTANTE: No caso de estruturas planas, que apresentem carregamentos atuantes apenas no seu próprio eixo, temos a atuação somente dos seguintes esforços: - N Esforço Normal ( seja de tração ou de compressão) - Qy Esforço Cortante em relação ao eixo y - Mz Momento Fletor em relação ao eixo z

17 Convenção de Sinais para a Elaboração de Diagramas

18 Esta é a convenção de sinais que devemos utilizar para elaborar os diagramas de esforços solicitantes. Convenção Referente ao Sinal Positivo Convenção Referente ao Sinal Negativo

19 Traçado de Diagramas em Viga Isostática Submetida a Carga Concentrada

20 Apresentamos uma estrutura bi apoiada, com um apoio de 2 0 gênero e outro de 1 0. A estrutura, cujo comprimento é L, está submetida a uma carga concentrada P. Cálculo das Reações de Apoio: FV =0 VA + VB = P MB = 0 VA. L – P. b = 0, logo: VA = Pb / L MA = 0 VB. L – P. A = 0, logo: VB = Pa / L Conferindo: VA +VB = Pb / L + Pa / L = P OK VB =Pa L VA =Pb L P x S 1 y S 2 L ab B C A

21 Cálculo dos Esforços na Seção S 1 : Q 1 = VA = Pb / L constante m 1 = VA. x = Pb / L. x Equação de uma reta Cálculo dos Esforços na Seção S 2 : Q 2 = VA – P = VA – ( VA + VB) = Pb / L – ( Pb / L + Pa / L ) = Pb / L – Pb / L – Pa / L = - Pa / L cte m 2 = VA. y – P ( y – a )= Pb/L. y – P ( y – a ) Equação de uma reta Calculando os esforços nas seções S 1 e S 2 : Q 2 m 2 Q 1 m 1 B VA =Pb L x S 1 A P x S 1 y S 2 C A VA =Pb L

22 DIAGRAMA DE ESFORÇO CORTANTE + - Pb L Pa L O diagrama de esforço cortante deve ser traçado seguindo o sentido das forças atuantes na estrutura. Analisando a estrutura a partir do lado esquerdo, inicialmente temos: - No ponto A, a força cortante Pb/L para cima, - Posteriormente, no ponto C, a carga concentrada P para baixo. - E finalmente, no ponto B, a força Pa/L para cima. Observe que o diagrama de esforço cortante de uma estrutura submetida apenas a cargas concentradas é uma constante B A C

23 DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR Cálculo do Momento Fletor: mA = 0 e mB = 0 m C esquerda = VA. a = Pb / L. a = Pba / L Equação da reta m C direita = VB. b = Pa / L. b = Pab / L Equação da reta m máx = Pab L + Observe que o diagrama de momento fletor de uma estrutura submetida apenas a cargas concentradas é retilíneo.

24 Traçado de Diagramas em Viga Isostática Submetida a Carga Uniformemente Distribuída

25 A B q Apresentamos uma estrutura bi apoiada, com um apoio de 2 0 gênero e outro de 1 0. A estrutura, cujo comprimento é L, está submetida a uma carga uniformemente distribuída q. Cálculo das Reações de Apoio: FV =0 VA + VB = q. L MB = 0 VA. L – qL. L/2 = 0, logo: VA = qL / 2 MA = 0 VB. L – qL. L/2 = 0, logo: VB = qL / 2 Conferindo: VA +VB = qL / 2 + ql / 2 = qL OK Como não há carga horizontal atuando na barra ou mesmo carga inclinada com componente horizontal, não existem reações no eixo x. Portanto,neste caso não há diagrama de esforço normal. VA =qL 2 VB =qL 2

26 DIAGRAMA DE ESFORÇO CORTANTE Cálculo do Esforço Cortante:

27 DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR Cálculo do Momento Fletor:

28 Traçado de Diagramas em Vigas Inclinadas Submetidas a Carga Concentrada

29 Temos: L = a² + b² VA = VB = q. L 2 Tg a = b a A VB cos a VB sen a VA cos a VA sen a VA VB q B L Apresentamos uma estrutura bi apoiada com uma viga inclinada, sendo o apoio da esquerda de 2 0 gênero e o da direita de 1 0. Colocamos ainda uma carga concentrada q atuando na viga cujo comprimento é L.

30 DIAGRAMA DE ESFORÇO NORMAL Cálculo do Esforço Normal: N(x) = -VA. sen + q. sen. x (equação da reta) p/x = 0 NA = - qL. sen 2 p/x = L NB = -qL. sen + q. sen. x 2 NB = qL. sen qL sen 2 qL sen 2

31 DIAGRAMA DE ESFORÇO CORTANTE Cálculo do Esforço Cortante: Q(x) = VA. cos – q. cos x (equação da reta) p/x = 0 QA = qL. cos 2 p/x = L QB = qL. cos – q. cos. x 2 QB = -qL. cos qL. cos 2 qL. cos 2

32 DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR Cálculo do Momento Fletor: m(x) = VA. cos.x – q.cos. x. x 2 m(x) = qL. cos.x – q.cos. x² q. cos. L² 8 Cálculo do Momento Máximo: m máx = q L / 2. cos. L / 2 – q. cos. ½. ( L / 2 )² m máx = q. cos L² / 4 – q. cos. L² / 8 = q.cos. L² / 8

33 Carga Triangular

34 P B A S PS Cálculo das Reações de Apoio: FV =0 VA + VB = ½. P. L MB = 0 VA. L – ½. P. L. L / 3 = 0, logo: VA = PL² / 6L = PL / 6 MA = 0 VB. L – ½. P. L. 2L / 3 = 0, logo: VB = PL / 3 Conferindo: VA +VB = PL / 6 + PL / 3 = PL / 2 OK VA = PL 6 VB = PL 3 Apresentamos uma estrutura bi apoiada, com um apoio de 2 0 gênero e outro de 1 0. A estrutura, cujo comprimento é L, está submetida a uma carga triangular.

35 DIAGRAMA DE ESFORÇO CORTANTE VA =Pl 6 L PS =P. x S Cálculo dos Esforços na seção S: PS / x = P / L PS = Px / L Cortante: QS = VA – ½. PS. x = PL / 6 – ½. Px / L. x QS = PL / 6 – Px² / 2L Parábola do 2º grau PL 6 PL B A

36 DIAGRAMA DO MOMENTO FLETOR Cálculo do Momento Fletor: m S = PL / 6. x – ½. P S. x. x / 3 = PL / 6. x – ½. Px / L. x. x / 3 m S = PL / 6. x – PX³ / 6L Parábola do 3º grau Cálculo do Momento Máximo: O momento máximo ocorre no ponto onde o cortante é nulo, para que a seção S ocorra onde o cortante é nulo, temos: Q S = PL / 6 – Px² / 2L = 0 x² = L² / 3 x = 0,577. L m máx = PL / 6. 0,577L – P.(0,577L)³ / 6L m máx = 0,09622L² - 0,032PL² m máx = 0,064PL² + 0,064PL²


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