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ÂNGULOS SILVIA MACÊDO. Ângulo Semi-reta Origem Região convexa Região não- convexa Ângulo: É a figura formada por duas semi - retas com a mesma origem.

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1 ÂNGULOS SILVIA MACÊDO

2 Ângulo Semi-reta Origem Região convexa Região não- convexa Ângulo: É a figura formada por duas semi - retas com a mesma origem.

3 Elementos do ângulo O B A O ponto O, origem das semi-retas, denominado vértice do ângulo. As semi-retas OA e OB, denominamos lados do ângulo. Para identificar esse ângulo utilizamos a notação AÔB. Vértice do ângulo

4 Observação O A B Quando não houver dúvida quanto ao ângulo a que nos referimos, podemos utilizar uma notação que indica apenas o seu vértice. Ângulo Ô ou AÔB P N M O C A B Nesse caso, há três ângulos com vértices em O: AÔB, BÔC e AÔC. Ângulo AÔB Ângulo BÔC Ângulo ou Ângulo AÔC

5 Medida de um Ângulo Medir um ângulo é determinar a abertura entre seus lados, isto é, compará-la com a abertura de outro ângulo, tomado como unidade. A unidade padrão para medir ângulos é o grau. Dividindo uma circunferência em 360 partes iguais, cada um dos ângulos centrais obtidos por essa divisão tem como medida 1 grau (1°)

6 Medida de um Ângulo

7

8 A medida de um ângulo é dada pela medida de sua abertura. O instrumento usado para medir ângulo é o transferidor. A unidade padrão utilizada para medir ângulo é o grau, representado pelo símbolo ( 0 ).

9 Transferidor Transferidor de 360°Transferidor de 180°

10 Utilizando o Transferidor Colocamos o transferidor de modo que o seu centro coincida com o vértice do ângulo. Colocamos a escala correspondente ao zero no transferidor sobre um dos lados Identificamos na escala do transferidor o número interceptado pelo outro lado do ângulo. No exemplo abaixo, a medida do ângulo AÔB é 55°, e indicamos: med (AÔB) = 55°.

11 Vejamos mais um Exemplo

12 Unidade de Medida A unidade padrão utilizada para medir um ângulo é o grau, representado pelo símbolo ( 0 ). 25° lê-se: vinte e cinco graus. 12° lê-se: doze graus. 148° lê-se: cento e quarenta e oito graus.

13 Submúltiplos do Grau Os submúltiplos do grau são: Minuto ')Segundo '' ) Exemplos: 18´ lê-se: dezoito minutos. 49´ lê-se: quarenta e nove minutos. 12´´ lê-se: doze segundos. 9´´ lê-se: nove segundos.

14 Fixando Indique: Um ângulo de trinta e sete graus e vinte minutos. 37° 20´ Um ângulo de dez graus e dezoito minutos e vinte segundos. 10° 18´ 20´´

15 Medida 1 grau = 60 minutos1 minuto = 60 segundos

16 Relógio O relógio tem a forma de uma circunferência, 360° Foi dividido em 12 partes iguais. 360° : 12 = 30° 30°

17 Exemplos Quanto mede o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio que está marcando 7 :00 horas? 5 x 30°= 150° 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

18 Exemplos 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Quanto mede o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio que está marcando 3 :00 horas? 3 x 30°= 90°

19 Exemplos 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Quanto mede o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio que está marcando 3 :30 horas? 3 x 30°= 90° 60´ 30° 30´ 15° : 2 90° - 15° = 75°

20 Exemplo Quanto mede o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio que está marcando 8:30 horas? 2 x 30°= 60° 60´ 30° 30´ 15° : 2 60° + 15° = 75° 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

21 Transformação de Unidades Temos: 1° = 60´ 1´ = 60´´ 1° = 3600´´ Expressar 15° 12´ em minutos. 15° = (15 X 60)´= 900´ 900´+ 12´= 912´

22 Exemplos 1° = 60´ 1´ = 60´´ 1° = 3600´´ Expresse em segundos 12° 20´14´´ 12° = (12 x 60)´= 720´ 720´+ 20´= 740´ 740´ = (740 x 60)´´= 44400´´ 44400´´ + 14´´= 44414´´

23 Exemplos 1° = 60´ 1´ = 60´´ 1° = 3600´´ Expresse em segundos 10° 12´10´´ 10° = (10 x 60)´= 600´ 600´+ 12´= 612´ 612´ = (612 x 60)´´= 36720´´ 36720´´ + 10´´= 36730´´

24 Transformação de Unidades Temos: 1° = 60´ 1´ = 60´´ 1° = 3600´´ Expressar 120 em graus. 120 : 60 = 2 0

25 Exemplos Temos: 1° = 60´ 1´ = 60´´ 1° = 3600´´ Expressar 300 em graus. 300 : 60 = 5 0 Expressar 420 em graus. 420 : 60 = 7 0 1 2

26 Transforme em Graus e Minutos Divida os minutos por 60 para obter os graus. O resto, se existir, serão os minutos. 8560 1010 -60 25 Logo: 85 = 1 0 25 Exemplo: Transforme 85 em graus

27 Transforme em Graus e Minutos Divida os minutos por 60 para obter os graus. O resto, se existir, serão os minutos. 79360 13 0 -60 193 Logo: 793 = 13 0 13 Exemplo: Transforme 793 em graus 180 13

28 Transforme em Graus e Minutos Divida os minutos por 60 para obter os graus. O resto, se existir, serão os minutos. 100060 16 0 -60 400 Logo: 1000 = 16 0 40 Exemplo: Transforme 1000 em graus 360 40

29 Transforme em Graus, Minutos e Segundos Divida os segundos por 60 para obter os minutos. O resto, se existir, serão os segundos. Se os segundos forem igual o maior que 60, divida novamente por 60 para obter os graus. O resto, se existir, serão os minutos. 120060 20 120 00 Logo: 1200 = 20 Exemplo: Transforme 1200 em graus Menor que 60, não temos graus.

30 20 Transforme em Graus, Minutos e Segundos 5840060 973 540 440 Logo: 58400 = 16 0 13 20 Exemplo: Transforme 58400 em graus 420 200 180 Maior que 60 97360 16 0 60 373 360 13

31 24 Transforme em Graus, Minutos e Segundos 986460 164 60 386 Logo: 9864 = 2 0 44 24 Exemplo: Transforme 9864 em graus 360 264 240 Maior que 60 16460 2020 120 44

32 Operações Adição e Subtração: A adição de medidas de ângulos é feita somando segundos com segundos, minutos com minutos e graus com graus. Escrever o resultado na forma mais simples: É não deixar o minuto e o segundo com medidas maiores ou iguais a 60.

33 Adição 1 2 12 0 40 + 10 0 56 12 0 40 10 0 56+ 22 0 96 Escrevendo na forma mais simples Maior que 60 22 0 96 = 22 0 + ( 60+ 36) 60 = 1 0 22 0 + 1 0 + 36 = 23 0 + 36 = 23 0 36 22 0 96 = 23 0 36

34 Adição 1 2 12 0 20 40 + 30 0 5045 12 0 20 40 30 0 50 45+ 42 0 70 85 Escrevendo na forma mais simples Maiores que 60 42 0 70 85 = 42 0 + ( 60+ 10) + ( 60 + 25) = 43° 11 25 1 0 10 1 25 43 0 + 11 + 25 = 43 0 11 25

35 Subtração 1 2 12 0 40 10 0 36- 02 0 04 41 0 00 40 0 35- 40 0 60 40 0 35- 00 0 25

36 Subtração 3

37 Multiplicação

38 Divisão Determine o valor de 72 0 30 : 3 3 24 0 10 6 12 0 3 72 0 30 00 72 0 30 : 3 = 24 0 10 -12 0 00 0

39 Divisão Determine o valor de 39 0 20 : 4 4 9 0 50 -36 3 0 +180 39 0 20 200 39 0 20 : 4 = 9 0 50 x 60 180 20 000

40 Ângulos Congruentes Dois ângulos são congruentes quando têm a mesma medida. Dizemos que são ângulos congruentes e indicamos.

41 Bissetriz de um Ângulo O ângulo AÔB mede 60 0. A semi-reta OM dividiu esse ângulo em dois ângulos congruentes AÔM e BÔM. –Med(AÔM) = 30 0 –Med(BÔM) = 30 0 O A M B A semi-reta OM é a bissetriz de AÔB.

42 Bissetriz de um Ângulo O ângulo RÔS mede 150 0. A semi-reta OP dividiu esse ângulo em dois ângulos congruentes RÔP e SÔP. –Med(RÔP) = 75 0 –Med(SÔP) = 75 0 O R P S A semi-reta OP é a bissetriz de RÔS.

43 Bissetriz de um Ângulo Portanto a bissetriz de um ângulo: –É uma semi-reta de origem no vértice. –Divide esse ângulo em dois ângulos congruentes.

44 Exemplos Na figura ao lado, OD é a bissetriz de AÔC. Com essa informação, podemos afirmar que: –Med(CÔD) = 70 0 –Med(AÔC) = 140 0 O A D C

45 Ângulos Adjacentes Dois ângulos são adjacentes quando têm um lado comum e não têm pontos internos comuns. AÔD e DÔC são ângulos adjacentes. O A D C

46 Classificação de Ângulos Como a figura sugere, duas retas perpendiculares determinam quatro ângulos com medidas iguais. Cada um deles é um ângulo reto. 90° ângulo reto

47 Classificação de Ângulos Vamos classificar os ângulos comparando com o ângulo reto (90°). Ângulo reto Ângulo agudoÂngulo obtuso

48 Ângulos Especiais Podemos considerar como ângulos especiais: Um ângulo raso ou de meia-volta mede 180°. Equivalente a dois ângulos retos. Um ângulo de uma volta mede 360°. Equivalente a quatro ângulos retos.

49 Cuidado! Quando duas semi retas coincidem, obtemos dois ângulos: O AB Ângulo nulo = 0°Ângulo de uma volta = 360° O AB


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