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Regras para esboço do Lugar das Raízes 1.O número de ramos do lugar das raízes é igual ao número de pólos do sistema; 2.O lugar das raízes é simétrico.

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1 Regras para esboço do Lugar das Raízes 1.O número de ramos do lugar das raízes é igual ao número de pólos do sistema; 2.O lugar das raízes é simétrico em relação ao eixo real; 3.O eixo real que está a esquerda de um número ímpar de pólos e/ou zeros finitos de malha aberta faz parte do lugar das raízes;

2 Regras para esboço do Lugar das Raízes 4.O lugar das raízes se inicia nos pólos finitos de malha aberta e termina nos zeros finitos e infinitos de malha aberta; 5.Os ramos do lugar das raízes que vão para infinito tendem a retas assintóticas fornecidas pelas equações:

3 Exemplo: Esboce o Lugar das raízes

4 Lugar das raízes e assíntotas para o sistema: Assíntota Plano s Assíntota

5 Refinando o Lugar das Raízes 1.Pontos de saída e pontos de chegada no eixo real: 2.Cruzamento com o eixo imaginário é feito através do critério de Routh obtendo o valor do ganho que esta na transição de estabilidade; 3.Ângulo de partida e chegada em pólos ou zeros complexos conjugados

6 Pontos de Interseção com o Eixo Imaginário Utilização do critério de Routh; Caso especial de linha que só possuem zeros implicam na existência de polinômios estritamente pares ou ímpares como fator do polinômio original; Os polinômios pares possuem somente raízes simétricas nas seguintes situações:

7 Localização das raízes para a geração de polinômios pares: A, B, C ou qualquer das combinações A: Reais e simétricas em relação à origem B: Imaginárias e simétricas em relação à origem C:Quadrantais e simétricas em relação à origem Plano s

8 Pontos de Interseção com o Eixo Imaginário Portanto só teremos raízes no eixo imaginário se tivermos uma linha contendo todos os termos iguais a zero na tabela de Routh; Estas raízes são as raízes do polinômio par que é o polinômio da linha acima da linha de zeros; Tudo o que acontece na tabela de Routh abaixo da linha do polinômio par se refere a ele.

9 Tabela de Routh para: i i i i Raízes de Linha Toda de Zeros

10 i i i i

11 i i i i i i i i

12 Para o Exemplo Anterior temos: Ponto de Partida: Ponto de Partida, pois é a única raíz que esta entre 0 e -1

13 Para o Exemplo Anterior temos: Cruzamento com Eixo Imaginário Linha de Zeros

14 Para o Exemplo Anterior temos: Valor a ser Escolhido Cruzamento com o Eixo Imaginário

15

16

17 Pontos de Chegada e de Saída do eixo real Exemplo: Esboce o lugar das raízes para

18 Pontos de Saída e Chegada

19 Exemplo de lugar das raízes mostrando os pontos de saída (– 1 ) e entrada ( 2 ) no eixo real Plano s

20 Exemplo de lugar das raízes mostrando os pontos de cruzamento com o eixo imaginário Plano s

21 Exemplo: Trace o Lugar das Raízes para as duas Funções de Transferência mostradas abaixo e observe que uma pequena mudança na posição do zero altera consideravelmente a forma do Lugar das Raízes:

22

23

24 Pólos e zeros a malha aberta e cálculos de: a. ângulo de saída; b. ângulo de chegada

25 Exemplo: calcule os ângulos de partida para o sistema i i

26 Lugar das raízes para o sistema da Fig mostrando ângulo de saída

27 Determinando e calibrando os pontos exatos no lugar das raízes para cruzamento com linha de %UP=20% Raio Ângulo (graus) Plano s –158,4 –180,0 –199,9 –230,4 –251,5 0,5 0,747 1,0 1,5 2,0 1,5,5 0,45


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