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Integrais Definidas Propriedades da Integral Definidas.

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Apresentação em tema: "Integrais Definidas Propriedades da Integral Definidas."— Transcrição da apresentação:

1 Integrais Definidas Propriedades da Integral Definidas

2 Integrais A idéia de integral está relacionada ao cálculo de áreas e distâncias. Existe uma conexão entre o cálculo integral e o diferencial, que são relacionados pelo Teorema Fundamental do Cálculo. Tal teorema simplifica bastante a solução de muitos problemas.

3 O Problema da Área Tentemos resolver o seguinte problema: Achar a área de uma região S que está sob a curva y = f(x) de a até b.

4 O Problema da Área S está limitada por : O gráfico de uma função contínua f ; Pelas retas verticais x=a e x=b ; Pelo eixo x

5 O Problema da Área Ao tentar resolver o problema devemos pergunar: - Qual o significado da palavra área?

6 O Problema da Área Esta pergunta é facil de ser respondida para regiões de lados retos.

7 O Problema da Área Não é fácil encontrar área de regiões com lados curvos. – Temos uma idéia intuitiva de qual é a área de uma região. – Parte do problema da área é tornar precisa essa idéia intuitiva, dando uma definição exata de área.

8 O Problema da Área Lembre-se de que, ao defnir uma tangente, primeiro aproximamos a inclinação da reta tangente por inclinações de retas secantes, e então, tomamos o limite dessas aproximações. – Uma idéia similar será usada para áreas.

9 Exemplo 1 Use retângulos para estimar a área da sob a parábola y = x 2 de 0 até 1 ilustrada a seguir.

10 Solução Note que a área se S deve estar compriendida entre 0 e 1, pois S está contido em um quadrado de lado 1. - Mas podemos fazer melhor que isso!

11 Solução Suponha que S seja dividida em quatro faixas S 1, S 2, S 3, e S 4 traçando as retas verticais x = ¼, x = ½, e x = ¾.

12 Solução Podemos aproximar cada faixa por um retângulo com base igual à largura da faixa e altura igual ao lado direito da faixa.

13 Solução Cada retângulo tem largura ¼e as alturas são (¼) 2, (½) 2, (¾) 2, e 1 2.

14 Solução Se charmarmos de R 4 a soma das áreas desses retângulos aproximantes obtemos:

15 Solução Vemos que a área A de S é menor que R 4. Portanto, A < 0,46875

16 Solução Em vez de usar os retângulos desta figura, podemos usar retângulos menores da figura a seguir.

17 Solução Aqui, as alturas são os valores de f à esquerda dos subintervalos. – O retângulo mais à esquerda desapareceu porque sua altura é zero.

18 Solução A soma das áreas desses retângulos aproximantes é:

19 Solução Vemos que a área de S é maior que L 4. Portanto, temos uma estimativa superior e inferior para A : 0,21875 < A < 0,46875

20 Solução A figura mostra o que acontece quando dividimos a região S em oito faixas com a mesma largura. 0, < A < 0,

21 Vídeo

22 Solução Portanto, é possível mostrar que

23 Regiões mais gerais A largura do intervalo [ a,b ] é b – a.

24 Definição A área da região S que está sob o gráfico de uma função contínua f é o limite da soma das áreas dos retângulos aproximantes Também pode ser mostrado que:

25 Pontos amostrais Podemos tomar como altura do i -ésimo retângulo como o valor de f em qualquer número no i -ésimo subintervalo

26 Pontos amostrais Chamamos os pontos de pontos amostrais.

27 Integral definida Se f é uma função contínua definida em, dividimos o intervalo [ a,b ] em n subintervalos de comprimentos iguais. Sejam as extremidades desses subintervalos, escolhemos os pontos amostrais nesses subintervalos. Então a integral definida de f de a a b é desde que o limite exista.

28 Integral definida Quando o limite anterior existe dizemos que f é integrável.

29 Cálculo da Integral

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33 Observação Quando definimos a integral definida, implicitamente assumimos que. Mas a definição como o limite da somas de Riemann faz sentido mesmo que.

34 Observação Observe que se invertermos e, então mudará de para. Logo se, então.

35 Observação Se, então, e Vamos desenvolver agora algumas proprieda- des básicas das integrais que nos ajudarão a calcular as integrais de forma mais simples. Para todos os efeitos vamos supor que as funções a seguir sejam contínuas.

36 Propriedades da Integral Propriedade 1: onde é qualquer constante.

37 Observação da Propriedade 1 A propriedade 1 diz que a integral de uma função constante,, é a função constante vezes o comprimento do intervalo. Sendo e, então é a área do retângulo da figura a seguir:

38 Observação da Propriedade 1

39 Exemplo Determine. Solução: Fazendo uso da propriedade 1 temos que:

40 Propriedades da Integral Propriedade 2:(Linearidade da Integral)Se e são funções integráveis em, então é uma função integrável em, para todo valendo a seguinte regra:

41 Observação

42 Exemplo Use as propriedades das integrais para calcular.

43 Solução

44 Propriedades da Integral Propriedade 3:

45 Propriedades da Integral Propriedade 3:

46 Aplicação

47 Solução

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50 Propriedades da Integral Propriedade 4:

51 Idéia Geométrica da

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53 Propriedades da Integral Propriedade 5:

54 Propriedades da Integral Idéia de solução da Propriedade 5:

55 Propriedades da Integral Propriedade 6:

56 Idéia Geométrica da


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