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Propriedades da Integral Definidas

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Apresentação em tema: "Propriedades da Integral Definidas"— Transcrição da apresentação:

1 Propriedades da Integral Definidas
Integrais Definidas Propriedades da Integral Definidas

2 Integrais A idéia de integral está relacionada ao cálculo de áreas e distâncias. Existe uma conexão entre o cálculo integral e o diferencial, que são relacionados pelo Teorema Fundamental do Cálculo. Tal teorema simplifica bastante a solução de muitos problemas.

3 O Problema da Área Tentemos resolver o seguinte problema:
Achar a área de uma região S que está sob a curva y = f(x) de a até b.

4 O Problema da Área S está limitada por:
O gráfico de uma função contínua f; Pelas retas verticais x=a e x=b ; Pelo eixo x

5 O Problema da Área Ao tentar resolver o problema devemos pergunar: - Qual o significado da palavra área?

6 O Problema da Área Esta pergunta é facil de ser respondida para regiões de lados retos.

7 O Problema da Área Não é fácil encontrar área de regiões com lados curvos. Temos uma idéia intuitiva de qual é a área de uma região. Parte do problema da área é tornar precisa essa idéia intuitiva, dando uma definição exata de área.

8 O Problema da Área Lembre-se de que, ao defnir uma tangente, primeiro aproximamos a inclinação da reta tangente por inclinações de retas secantes, e então, tomamos o limite dessas aproximações. Uma idéia similar será usada para áreas.

9 Exemplo 1 Use retângulos para estimar a área da sob a parábola y = x2 de 0 até 1 ilustrada a seguir.

10 Solução Note que a área se S deve estar compriendida entre 0 e 1, pois S está contido em um quadrado de lado 1. - Mas podemos fazer melhor que isso!

11 Solução Suponha que S seja dividida em quatro faixas S1, S2, S3, e S4 traçando as retas verticais x = ¼, x = ½, e x = ¾.

12 Solução Podemos aproximar cada faixa por um retângulo com base igual à largura da faixa e altura igual ao lado direito da faixa.

13 Solução Cada retângulo tem largura ¼e as alturas são (¼)2, (½)2, (¾)2, e 12.

14 Solução Se charmarmos de R4 a soma das áreas desses retângulos aproximantes obtemos:

15 Solução Vemos que a área A de S é menor que R4. Portanto , A < 0,46875

16 Solução Em vez de usar os retângulos desta figura, podemos usar retângulos menores da figura a seguir.

17 Solução Aqui, as alturas são os valores de f à esquerda dos subintervalos. O retângulo mais à esquerda desapareceu porque sua altura é zero.

18 Solução A soma das áreas desses retângulos aproximantes é:

19 Solução Vemos que a área de S é maior que L4. Portanto, temos uma estimativa superior e inferior para A: 0,21875 < A < 0,46875

20 Solução A figura mostra o que acontece quando dividimos a região S em oito faixas com a mesma largura. 0, < A < 0,

21 Vídeo

22 Solução Portanto, é possível mostrar que

23 Regiões mais gerais A largura do intervalo [a,b] é b – a.

24 Definição A área da região S que está sob o gráfico de uma função contínua f é o limite da soma das áreas dos retângulos aproximantes Também pode ser mostrado que:

25 Pontos amostrais Podemos tomar como altura do i-ésimo retângulo como o valor de f em qualquer número no i-ésimo subintervalo

26 Pontos amostrais Chamamos os pontos de pontos amostrais.

27 Integral definida Se f é uma função contínua definida em , dividimos o intervalo [a,b] em n subintervalos de comprimentos iguais. Sejam as extremidades desses subintervalos, escolhemos os pontos amostrais nesses subintervalos . Então a integral definida de f de a a b é desde que o limite exista.

28 Integral definida Quando o limite anterior existe dizemos que f é integrável.

29 Cálculo da Integral

30 Cálculo da Integral

31 Cálculo da Integral

32 Cálculo da Integral

33 Observação Quando definimos a integral definida , implicitamente assumimos que . Mas a definição como o limite da somas de Riemann faz sentido mesmo que .

34 Observação Observe que se invertermos e , então mudará de para . Logo se , então .

35 Observação Se , então , e Vamos desenvolver agora algumas proprieda- des básicas das integrais que nos ajudarão a calcular as integrais de forma mais simples. Para todos os efeitos vamos supor que as funções a seguir sejam contínuas.

36 Propriedades da Integral
Propriedade 1: onde é qualquer constante.

37 Observação da Propriedade 1
A propriedade 1 diz que a integral de uma função constante, , é a função constante vezes o comprimento do intervalo . Sendo e , então é a área do retângulo da figura a seguir:

38 Observação da Propriedade 1

39 Exemplo Determine Solução: Fazendo uso da propriedade 1 temos que:

40 Propriedades da Integral
Propriedade 2:(Linearidade da Integral)Se e são funções integráveis em , então é uma função integrável em , para todo valendo a seguinte regra:

41 Observação

42 Exemplo Use as propriedades das integrais para calcular .

43 Solução

44 Propriedades da Integral

45 Propriedades da Integral

46 Aplicação

47 Solução

48 Solução

49 Solução

50 Propriedades da Integral

51 Idéia Geométrica da

52 Idéia Geométrica da

53 Propriedades da Integral

54 Propriedades da Integral
Idéia de solução da Propriedade 5:

55 Propriedades da Integral

56 Idéia Geométrica da


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