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Aula 13 Derivação Implícita, derivadas das funções trigonométricas inversas e derivadas de funções logarítmicas.

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1 Aula 13 Derivação Implícita, derivadas das funções trigonométricas inversas e derivadas de funções logarítmicas

2 Derivação Implícita As funções encontradas até agora podem ser descritas expressando-se uma variável em termos de outra. Por exemplo: ou Em geral,

3 Função Implícita Algumas funções, entretanto, são definidas implicitamente por uma relação entre e Por exemplo, ou Obs.: Em alguns casos é possível resolver tais equações isolando como uma função explícita de

4 Exemplo Logo, duas funções determinadas pela equação implícita são e Os gráficos de e podem ser visto a seguir

5 Exemplo

6 Observação Não é fácil resolver a equação e escrever como uma função de à mão. Para um sistema de computação algébrica não há problema, mas as expressões obtidas são muito complicadas. Não obstante, a expressão acima é a equação da curva chamada fólio de Descartes.

7 O fólio de Descartes.

8 Gráfico de três funções definidas pelo fólio de Descartes

9 Derivação Implícita O método de derivação implícita consiste em derivar ambos os lados da equação em relação a e então isolar na equação resultante.

10 Exemplo 1 (a) Se encontre (b) Encontre uma equação da tangente ao círculo no ponto

11 Solução (a) Note que

12 Solução Assim, Agora, isolando obtemos: (b) No ponto temos. Logo uma equação da reta tangente ao círculo no ponto é, portanto ou

13 Exemplo 2 (a) Encontre se (b) Encontre a reta tangente ao fólio de Descartes no ponto (c) Em quais pontos do primeiro quadrante a reta tangente é horizontal?

14 Solução Derivando ambos os lados de em relação a obtemos Ou Isolando obtemos:

15 Solução (b) Quando Reta tangente ou

16 Solução (c) A reta tangente é horizontal se quando desde que. Substituindo na equação da curva, obtemos Como no 1º. quadrante, temos:

17 Solução Se então Assim, a tangente é horizontal em que é aproximadamente

18 Exemplo 3 Encontre se Solução: derivando implicitamente em relação a obtemos Portanto,

19 Exemplo 4 Encontre se Solução: derivando implicitamente em relação a obtemos Derivando usando a Regra cadeia e substituindo a expressão obteremos

20 Derivadas das Funções Trigonométricas Inversas A função inversa da função seno é definida por Derivando implicitamente em relação a obtemos ou

21 Derivada da função arco seno Note que uma vez que logo: Portanto, Logo,

22 Derivada da função arco tangente derivando essa última equação implicitamente em relação a temos Portanto,

23 Exemplo 5 Derive (a) (b) Solução: (a)

24 Exemplo 5 (b) Solução

25 Derivadas das Funções Trigonométricas Inversas

26 Derivadas de Funções Trigonométricas Seja Então. Derivando essa equação implicitamente em relação a obtemos e assim

27 Derivadas de Funções Trigonométricas Se pusermos na fórmula anterior obteremos onde e

28 Exemplo 1 Derive Solução: Fazendo logo

29 Fórmula geral ou onde e

30 Exemplo 2 Encontre Solução:

31 Exemplo 3 Derive Solução:

32 Exemplo 4 Derive Solução:

33 Exemplo 5 Encontre Solução:

34 Exemplo 5 Solução 2

35 Exemplo 6 Encontre se Solução: Portanto para todo

36 Derivação Logarítmica Os cálculos de derivadas de funções complicadas envolvendo produtos, quocientes ou potências podem muitas vezes ser simplificados tomando-se os logaritmos. Esse método é chamado Derivação Logarítmica.

37 Exemplo 7 Derive Solução: Derivando implicitamente em relação a obtemos

38 Exemplo 7 Isolando obtemos e usando a expressão explícita para temos

39 Passos na derivação logarítmica 1.Tome o logaritmo natural em ambos os lados de uma equação e use as propriedades dos logaritmos para simplificar. 2. Derive implicitamente em relação a. 3. Isole na equação resultante.

40 Regra da Potência Se for qualquer número real e então Vejamos: seja

41 Caso de derivação para os expoentes e bases 1. ( e são constantes) Para encontrar a derivação logarítmica pode ser usada, como no exemplo a seguir.

42 Exemplo 8 Derive Solução:

43 Exemplo 8 Solução 2: Outro método é escrever

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