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PublicouCaio Ferraz Alterado mais de 9 anos atrás
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Aula 13 Derivação Implícita, derivadas das funções trigonométricas inversas e derivadas de funções logarítmicas
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Derivação Implícita As funções encontradas até agora podem ser descritas expressando-se uma variável em termos de outra. Por exemplo: ou Em geral,
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Função Implícita Algumas funções, entretanto, são definidas implicitamente por uma relação entre e Por exemplo, ou Obs.: Em alguns casos é possível resolver tais equações isolando como uma função explícita de
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Exemplo Logo, duas funções determinadas pela equação implícita são e Os gráficos de e podem ser visto a seguir
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Exemplo
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Observação Não é fácil resolver a equação e escrever como uma função de à mão. Para um sistema de computação algébrica não há problema, mas as expressões obtidas são muito complicadas. Não obstante, a expressão acima é a equação da curva chamada fólio de Descartes.
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O fólio de Descartes.
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Gráfico de três funções definidas pelo fólio de Descartes
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Derivação Implícita O método de derivação implícita consiste em derivar ambos os lados da equação em relação a e então isolar na equação resultante.
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Exemplo 1 Se encontre Encontre uma equação da tangente ao
círculo no ponto
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Solução (a) Note que
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Solução Assim, Agora, isolando obtemos: (b) No ponto temos . Logo uma equação da reta tangente ao círculo no ponto é, portanto ou
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Exemplo 2 Encontre se Encontre a reta tangente ao fólio de Descartes no ponto Em quais pontos do primeiro quadrante a reta tangente é horizontal?
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Solução Derivando ambos os lados de em relação a obtemos Ou Isolando obtemos:
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Solução (b) Quando Reta tangente ou
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Solução (c) A reta tangente é horizontal se quando desde que . Substituindo na equação da curva, obtemos Como no 1º. quadrante, temos:
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Solução Se então Assim, a tangente é horizontal em que é aproximadamente
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Exemplo 3 Encontre se Solução: derivando implicitamente em relação a obtemos Portanto,
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Exemplo 4 Encontre se Solução: derivando implicitamente em relação a obtemos Derivando usando a Regra cadeia e substituindo a expressão obteremos
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Derivadas das Funções Trigonométricas Inversas
A função inversa da função seno é definida por Derivando implicitamente em relação a obtemos ou
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Derivada da função arco seno
Note que uma vez que logo: Portanto, Logo,
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Derivada da função arco tangente
derivando essa última equação implicitamente em relação a temos Portanto,
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Exemplo 5 Derive (a) (b) Solução: (a)
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Exemplo 5 (b) Solução
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Derivadas das Funções Trigonométricas Inversas
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Derivadas de Funções Trigonométricas
Seja Então . Derivando essa equação implicitamente em relação a obtemos e assim
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Derivadas de Funções Trigonométricas
Se pusermos na fórmula anterior obteremos onde e
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Exemplo 1 Derive Solução: Fazendo logo
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Fórmula geral ou onde e
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Exemplo 2 Encontre Solução:
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Exemplo 3 Derive Solução:
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Exemplo 4 Derive Solução:
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Exemplo 5 Encontre Solução:
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Exemplo 5 Solução 2
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Exemplo 6 Encontre se Solução: Portanto para todo
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Derivação Logarítmica
Os cálculos de derivadas de funções complicadas envolvendo produtos, quocientes ou potências podem muitas vezes ser simplificados tomando-se os logaritmos. Esse método é chamado Derivação Logarítmica.
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Exemplo 7 Derive Solução: Derivando implicitamente em relação a obtemos
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Exemplo 7 Isolando obtemos e usando a expressão explícita para temos
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Passos na derivação logarítmica
Tome o logaritmo natural em ambos os lados de uma equação e use as propriedades dos logaritmos para simplificar. 2. Derive implicitamente em relação a . 3. Isole na equação resultante.
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Regra da Potência Se for qualquer número real e então Vejamos: seja
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Caso de derivação para os expoentes e bases
1. ( e são constantes) Para encontrar a derivação logarítmica pode ser usada, como no exemplo a seguir.
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Exemplo 8 Derive Solução:
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Exemplo 8 Solução 2: Outro método é escrever
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Obrigado !
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