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DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS Espaço amostral: possíveis resultados de um experimento aleatório. Os elementos deste.

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1 DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS Espaço amostral: possíveis resultados de um experimento aleatório. Os elementos deste conjunto podem ser numérico ou não. Ex: experimento 1: escolher alunos da turma e registrar a altura experimento 2:escolher alunos da turma e registrar o time favorito Muitas vezes é preciso atribuir um número real X a todo elemento do espaço amostral. Variável aleatória: é uma função com valores numéricos, cujo valor é determinado por fatores de chance. Sendo um experimento aleatório e S o espaço amostral associado ao experimento, a variável aleatória associa a cada elemento s S um número real X. É uma função cujo domínio é o conjunto S (espaço amostral).

2 Exemplos: a) X: número de caras obtidas no lançamento de duas moedas Então: = lançamento de duas moedas S = {cc,ck,kc,kk}, c = cara e k = coroa X = 0 corresponde ao evento kk X = 1 corresponde ao evento ck ou kc X = 2 corresponde ao evento cc b) X : número de clientes que entram num supermercado entre 10 h e 12 h variável aleatória com valores: 0,1,2,3... c) X: altura dos alunos entre 1,60 m e 1,70 m. TIPOS: Discreta: se os possíveis valoreis de X for finito ou numerável, Contínua: se os possíveis valores de X for um intervalo.

3 FUNÇÃO DE PROBABILIDADE Seja X uma variável aleatória discreta. Sejam x 1, x 2, x 3, x 4...seus possíveis valores. A cada resultado x i associa-se um número p(x i ) = P(X=xi), denominado probabilidade de x i, tal que: a) p(xi) 0 para todos xi b) Esta função é denominada função de probabilidade da variável aleatória X Exemplo: Função de probabilidade da variável número de caras encontradas no lançamento de 3 moedas xixi 0123 P(x i )1/83/8 1/8

4 Número de acidentes Frequências = 30 Número de acidentes Probabilidades 00,73 10,17 20,07 30,03 = 1,0

5 FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA Se X for uma variável aleatória discreta, define-se Função de Distribuição Acumulada em um ponto x como a soma das probabilidades dos valores x i, menores ou iguais a x. Isto é: VALOR ESPERADO OU MÉDIA DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA

6 Exemplo 1. Lançamento de três moedas F( 1) = 1/8 + 3/8 = 4/8 F (2) = 1/8 + 3/8 + 3/8 F (3) = 1/8 + 3/8 + 3/8 + 1/8 Exemplo 2. Em uma caixa, têm-se cinco peças boas e quatro defeituosas. São retiradas aleatoriamente três peças sem reposição. Façamos X a variável aleatória : número de peças boas dentre as três peças defeituosas. Valores de X : 0, 1, 2, 3 p(X=0) = 4/9 * 3/8 * 2/7 = 1/21 p (X = 1) = 5/14 p (X = 2) = 10/21 p (X = 3) = 5/21

7 DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL Trata-se de um modelo que dá a probabilidade do número de sucessos quando são realizadas n provas do mesmo tipo – o experimento é repetido n vezes. Cada experimento admite dois resultados – sucesso ou fracasso – com probabilidade p de sucesso e 1-p = q de fracasso, constantes em cada uma das provas. Exemplos de variáveis com distribuição binomial: Respostas de testes com questões do tipo V ou F Escolha entre um produto defeituoso ou bom Sexo das crianças nascidas em determinada maternidade Fumantes ou não fumantes em um grupo de adultos O cálculo da probabilidade de certo número de y sucessos em n provas é dada por: Medidas Características: µ (y) = np 2 (y ) = npq

8 Distribuição binomial com n=10 e p=0,2. Distribuição binomial com n=50 e p=0,2. Observações importantes 1. Uma distribuição binomial fica caracterizada pelos parâmetros n e p. 2. Se n for pequeno, os cálculos serão relativamente fáceis. Contudo se n for grande os cálculos serão cansativos 3. Para qualquer n, a distribuição binomial será simétrica, se p = q = 0,5; será assimétrica a direita se p >q, e assimétrica à esquerda, se p

9 DISTRIBUIÇÃO DE POISSON A distribuição de Poisson representa um modelo probabilístico adequado para o estudo de um grande número de fenômenos observáveis. Exemplos; Chamadas telefônicas por unidade de tempo Defeitos por unidade de área Acidentes por unidade de tempo Chegadas de clientes em um supermercado A utilização da distribuição de Poisson baseia-se nas seguintes hipóteses: 1.A probabilidade de ocorrência é a mesma em todo o campo de observação. 2.A probabilidade de mais de uma ocorrência num único ponto é aproximadamente zero. 3.O número de ocorrências em qualquer intervalo é independente do número de ocorrências em outros intervalos.

10 Seja X uma variável aleatória igual ao número de ocorrências (sucessos) quando se realizam ( ou se observam) resultados de fenômenos semelhantes aos exemplos anteriores, X poderá assumir os valores 0,1,2,... Ao aplicar o modelo de Poisson, o interesse poderá ser, por exemplo, calcular a probabilidade de receber cinco chamadas telefônicas em três minutos, em dado aparelho: P(X = 5,3 min) A expressão que dá a probabilidade de x sucessos em um intervalo t (tempo, área) é: A média e variância da distribuição são : µ = t 2 = t Quando n for grande (n> 50) e np < 5, é possível obter as probabilidades binomiais por meio do modelo de Poisson. x = número de ocorrências = taxa média por unidade t = número de unidades


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