A apresentação está carregando. Por favor, espere

A apresentação está carregando. Por favor, espere

Acrópole, Atenas, Grécia. Euclides viveu na Grécia no tempo de Ptolomeu I, por volta de 300 aC. Escreveu os ELEMENTOS, um livro que reuniu todo o conhecimento.

Apresentações semelhantes


Apresentação em tema: "Acrópole, Atenas, Grécia. Euclides viveu na Grécia no tempo de Ptolomeu I, por volta de 300 aC. Escreveu os ELEMENTOS, um livro que reuniu todo o conhecimento."— Transcrição da apresentação:

1 Acrópole, Atenas, Grécia

2 Euclides viveu na Grécia no tempo de Ptolomeu I, por volta de 300 aC. Escreveu os ELEMENTOS, um livro que reuniu todo o conhecimento matemático Grego até aquela época.

3 O livro tornou-se famoso ainda na época de Euclides e veio a ser o segundo livro mais editado depois da Bíblia. Foi considerado livro essencial na formação intelectual durante séculos. Os Elementos foi o primeiro livro científico escrito e se tornou o paradigma para muito do que se escreveu em ciência, desde então.

4

5 Euclides baseou sua obra em um conjunto de 5 axiomas, os quais passaremos a apresentar. Os Elementos é composto de 13 volumes.

6 Axioma I: Pode-se traçar uma única reta ligando dois pontos Axioma II: Pode-se continuar de uma única maneira uma reta (ligando dois pontos) em uma reta infinita.

7 Axioma III. Pode-se traçar um círculo com qualquer centro e qualquer raio. Axioma IV. Todos os ângulos retos são iguais.

8 m n m n Axioma V

9 m n m n = Axioma V – Uma proposição equivalente

10 Axiomas Implícitos 1 - Retas são ilimitadas 2 – Retas são contínuas 3 – Axioma de Pasch

11 BM = MC Proposição 16 (Teorema do ângulo externo) Prova A B C D E M ABM = ECM MCE < < MCD = AM = ME AMB = CME

12 Proposição 27 m n m n = Prova Se e m n teremos um triângulo com um ângulo externo igual a um interno não adjacente. Contradição com Prop. 16 Proposição 28 m n = m n

13 Axioma V m n m n = Proposição 28 m n m n =

14 Proposição 29 m n m paralela a n Teorema da soma dos ângulos de um triângulo Prova: Trace n paralela a m. m n

15 Equivalente do Axioma V é uma proposição V que satisfaz às seguintes condições. V é um teorema na Geometria gerada pelos axiomas I, II, III, IV e V. V [I, II, III, IV, V] V ~ V

16 V 1 : Axioma de Playfair Por um ponto fora de uma reta pode-se traçar uma única reta paralela à reta dada. m A V 1 [I, II, III, IV, V] Existência: Baseada nos primeiros 4 axiomas. Unicidade: Pelo axioma V, m n m n

17 V 1 : Axioma de Playfair Por um ponto fora de uma reta pode-se traçar uma única reta paralela à reta dada. Axioma V : m n m n V [I, II, III, IV, V 1 ] m n Pelos 4 primeiros axiomas n é paralela a m. Por V1 V1 a reta n é a única paralela a m por A. Logo, a reta n interceptará m.m. n A

18 V 2 – A soma dos ângulos de um triângulo é 180 o V 2 [I, II, III, IV, V] já foi demonstrado. Vamos mostrar: V [I, II, III, IV, V 2 ] Lema 1: Em [I, II, III, IV, V 2 ] um ângulo externo de um triângulo é igual a soma dos ângulos internos não adjacentes

19 Lema 2. Em [I, II, III, IV e V 2 ], dado um > 0, por um ponto A fora de uma reta m podemos traçar uma reta n que corta a reta m formando um ângulo menor do que. m A n < B1B1 B2B2 1 1 AB 1 = B 1 B 2 1 = /4 AB 2 = B 2 B 3 2 = 1 /2 = /8 B3B3 2 2 AB 3 = B 3 B 4 3 = 2 /2 = /16 B4B4 3 3 AB n = B n B n+1 n = n-1 /2 = /(2 n+1 ) Escolha agora n suficientemente grande!

20 Vamos mostrar: V [I, II, III, IV, V 2 ] m A B n n Pelos Lema 2, existe uma reta passando por A cortando m segundo um ângulo <. Formamos então um triângulo ABC C O ângulo BAC > 90- e logo o ângulo CAD <. Portanto a reta n corta BC pelo axioma de Pasch. D

21 V 3 – Existem dois triângulos semelhantes e não congruentes É claro que V 3 [I, II, III, IV, V]. Vamos mostrar que: V [I, II, III, IV, V 3 ]. A B C A B C E F Observamos que V 3 acarreta que, no quadrilátero ABFE, a soma dos ângulos internos é 360 o

22 Proposição L 1 – Em [I, II, III, IV] a soma dos ângulos de um triângulo é menor ou igual a 180 o. Proposição L 2 – Em [I, II, III, IV], se existir um triângulo cuja soma dos ângulos internos é 180 o então a soma dos ângulos de qualquer triângulo é 180 o. Para provar V, é suficiente provar V 2. Já vimos que, em [I, II, III, IV, V 3 ] existe um paralelogramo ABCD cuja soma dos ângulos internos é 360 o. A B C D Trace BD formando dois triângulos. A soma dos ângulos dos dois juntos é 360 o. Por L 1, segue-se que cada um deles tem soma igual a 180 o. Por L 2 concluímos a validade de V 2.

23 V 4 – Existem duas retas eqüidistantes e distintas. É claro que V 4 [I, II, III, IV, V]. Vamos mostrar que: V [I, II, III, IV, V 4 ]. O P Q RS T De [I, II, III, IV, V 4 ] concluímos que o triângulo OSQ tem soma dos ângulos igual a 180 o.

24 V 5 – Por 3 pontos não colineares passa um círculo V 6 – Se 3 ângulos de um quadrilátero são retos então o último também é reto. V 7 – Por qualquer ponto dentro de um ângulo podemos traçar uma reta que corta os seus dois lados. V 8 – Vale o teorema de Pitágoras V 9 – Duas retas paralelas a uma terceira são paralelas. V 10 – Se uma reta corta uma de duas paralelas então corta a outra.

25 Moral da História. Sem o quinto postulado teremos uma geometria em que: –A soma dos ângulos de um triângulo não é 180 o –Não existem triângulos semelhantes. Portanto, não existe a trigonometria. –Não vale o Teorema de Pitágoras –Retas que não se interceptam passando por um ponto não são únicas –Não existem retas eqüidistantes.

26 Mas... na época de Gauss (século XVII) foram descobertas geometrias em que o quinto postulado não vale. Tal descoberta é referida por alguns Autores como a revolução da Geometria

27 fim Muito Obrigado

28 Alguns Teoremas de Legendre

29 Proposição L 1 – Em [I, II, III, IV] a soma dos ângulos de um triângulo é menor ou igual a 180 o. Lema 3: Dado ABC existe ABC satisfazendo a : 1 – Soma dos ângulos do triângulo ABC = Soma dos ângulos do triângulo ABC. 2 – Um dos ângulos do triângulo ABC é menor ou igual a metade do menor ângulo do triângulo ABC. Prova de L 1. Suponha que a soma dos ângulos do triângulo ABC seja 180o + e seja seu menor ângulo Usando o Lema n vezes, podemos construir um cuja soma dos ângulos é ainda 180 o + mas um dos ângulos é n 2 n. Escolhendo n tão grande que n < concluímos que a soma dos dois outros ângulos somam mais de 180 o, o que é absurdo.

30 Prova do Lema 3: A B C Suponha que  é o menor ângulo do triângulo ABC. Chame-o de. Marque um ponto M em CB de modo que CM=MB. Trace AM e o prolongue até o ponto D tal que AM=MD. Trace BD. M D Temos então ACM = BDM. Segue-se que a soma dos ângulos do triângulo ADB é igual a soma dos ângulos do ABC. No triângulo ADB o menor ângulo será em A ou em D. Mas estes ângulos são iguais aos ângulos em que foi dividido o ângulo. Logo um deles é menor ou igual a /

31 Corolário : Em [I, II, III, IV], se existe um triângulo cuja soma dos ângulos seja 180 o então todo triângulo formado ligando um de seus vértices ao lado oposto tem soma dos ângulos igual a 180 o. A B C D _________________ Mas e Logo e

32 Proposição L 2 – Em [I, II, III, IV], se existir um triângulo cuja soma dos ângulos internos é 180 o então a soma dos ângulos de qualquer triângulo é 180 o. Afirmo: Se existir um triângulo cuja soma dos ângulos for 180 o, então existe um triângulo retângulo isósceles com a mesma propriedade. A B C DE Baixe uma perpendicular do vértice do maior ângulo ao lado oposto. Cada um dos triângulos formados terá soma dos ângulos igual a 180 o Se DB > CD, marque em DB um ponto E tal que DE=CD Trace CE. É imediato que a soma dos ângulos de CDE é 180 o. Se DB < CD, escolha E no lado CD.

33 Afirmo: Se existe um triângulo retângulo isósceles com soma dos ângulos igual a 180 o, então existe uma família de triângulos retângulos isósceles com lados arbitrariamente grandes cuja soma dos ângulos é 180 o.

34 Afirmo: Se existe uma família de de triângulos retângulos isósceles com lados arbitrariamente grandes cuja soma dos ângulos é 180 o, então a soma dos ângulos de qualquer triângulos retângulo é 180 o. A B C D E

35 Afirmo: Se existe um triângulo cuja soma dos ângulos é 180 o então a soma dos ângulos de qualquer triângulo é 180 o.

36 fim mesmo! Muito Obrigado


Carregar ppt "Acrópole, Atenas, Grécia. Euclides viveu na Grécia no tempo de Ptolomeu I, por volta de 300 aC. Escreveu os ELEMENTOS, um livro que reuniu todo o conhecimento."

Apresentações semelhantes


Anúncios Google