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Intervalos de confiança simultâneos (Método de Bonferroni) Universidade do Estado do Rio de Janeiro Prof. José Francisco Moreira Pessanha

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Apresentação em tema: "Intervalos de confiança simultâneos (Método de Bonferroni) Universidade do Estado do Rio de Janeiro Prof. José Francisco Moreira Pessanha"— Transcrição da apresentação:

1 Intervalos de confiança simultâneos (Método de Bonferroni) Universidade do Estado do Rio de Janeiro Prof. José Francisco Moreira Pessanha

2 Intervalos simultâneos Considere o caso especial em que X~N p (, ) onde As variáveis são independentes Para cada média pode ser especificado um intervalo t com 1- de confiança, por exemplo, 95%: i=1,p n = tamanho da amostra aleatória x i = média amostral da i-ésima variável s ii = variância amostral da i-ésima variável

3 Intervalos simultâneos Considerando cada intervalo individualmente i=1,p Neste caso foi assumido que as variáveis são independentes, por isso o produto de probabilidades Considerando os intervalos simultaneamente No caso de p=6 variáveis, para =0,05 (5%) tem-se que (1- ) 6 = 0,74 < 0,95, ou seja, o grau de confiança simultâneo é menor que 95%

4 Intervalos simultâneos A partir de uma região com (1- )x100% de confiança podem ser obtidos intervalos para as médias 1, 2,..., p e suas infinitas combinações lineares a T = a 1 1 +a a p p. Estes intervalos são denominados por intervalos simultâneos ou intervalos T 2 : Estes intervalos são mais largos que os intervalos t, de tal forma que quando considerados simultaneamente a probabilidade de que todos os intervalos contenham as respectivas médias seja (1- )x100%, igual ao grau da região de confiança. n = tamanho da amostra aleatória p = número de variáveis a = vetor de constantes que definem uma combinação linear de médias X = vetor de médias amostrais S = matriz de covariância amostral T2T2

5 Intervalos simultâneos Os intervalos simultâneos são projeções da região de confiança. Região de confiança de 95% Intervalo de confiança simultâneo de 95% para 1 Intervalo de confiança simultâneo de 95% para 2 Note que os intervalos simultâneos para 1 e 2 definem uma região retangular maior que a região com 95% de confiança, logo a região retangular, definida pelos dois intervalos T 2, tem um grau de confiança maior que 95%. A probabilidade que os dois intervalos T 2 contenham as respectivas médias é superior a 95% Isso só foi possível pois os intervalos T 2 são maiores que o intervalo t

6 Método de Bonferroni Freqüentemente estamos interessados em fazer inferência sobre um reduzido conjunto de médias ou de combinações lineares de médias. Não estamos interessados em todas as infinitas combinações lineares das médias. Neste caso podemos desenvolver intervalos simultâneos mais curtos (mais precisos) que os intervalos T 2. Este método alternativo é conhecido como método de Bonferroni e baseia-se na desigualdade de mesmo nome.

7 Método de Bonferroni Considere que o objetivo seja inferir sobre m combinações lineares das médias: Seja IC i o intervalo com 1- i de confiança para a i-ésima combinação ( i=1,m )

8 Método de Bonferroni Considerando todos os intervalos simultaneamente: Estas desigualdade é um caso especial da desigualdade de Bonferroni

9 Método de Bonferroni Vamos desenvolver os intervalos simultâneos para o conjunto restrito de p médias i, i=1, p. Estes intervalos são construídos com base no intervalo t: Na ausência de algum conhecimento sobre a importância de cada média, faz-se: i=1,p p termos Implica no mesmo nível de confiança para todos os intervalos

10 Método de Bonferroni Então, os seguinte intervalos de confiança têm um grau de confiança simultâneo maior ou igual a 1- :...

11 Método de Bonferroni Comparando intervalos simultâneos T 2 e Bonferroni para as médias i, i=1,p Intervalo simultâneo com correção de Bonferroni para as médias i, i=1,p Intervalo simultâneo T 2 para as médias i, i=1,p

12 Exemplo O departamento de controle de qualidade de uma fábrica de fornos de microondas realiza medições do nível de radiação emitida por estes aparelhos para verificar se os fornos fabricados atendem as especificações do projeto e as normas de segurança. Desenhe a região com 95% de confiança para o vetor média. Para atender esta finalidade, uma amostra de 42 fornos de microondas é selecionada e ensaios em laboratório são conduzidos para medir o nível de radiação emitida com a porta fechada e com a porta aberta. A seguir são apresentados as amostras coletadas. Forno com a porta fechada (y 1 ) = arquivo T4-1.dat Forno com a porta aberta (y 2 ) = arquivo T4-5.dat Construa os intervalos simultâneos T 2 e com correção de Bonferroni para as médias 1 e 2 com 95% de confiança.

13 Exemplo y1=read.table("T4-1.dat") hist(y1[,1]) y2=read.table("T4-5.dat") hist(y2[,1]) Distribuições assimétricas. Violação da hipótese de normalidade. Variáveis devem ser transformadas

14 Exemplo x1=y1^(1/4) hist(x1) x2=y2^(1/4) hist(x2) Distribuições simétricas. Hipótese de normalidade satisfeita. Transformação das variáveis

15 Exemplo Matriz de dados X=cbind(x1,x2) xbarra=apply(X,2,mean) S=var(X) Vetor de médias amostrais xbarra V1 V Matriz de covariâncias amostrais S V1 V1 V V Caso bivariado p =2

16 Exemplo Intervalos simultâneos T 2 para 1 e 2

17 Exemplo Intervalos simultâneos com correção de Bonferroni para 1 e 2

18 Exemplo Intervalos simultâneos T 2 para 1 e 2 Intervalos simultâneos com correção de Bonferroni para 1 e 2 Intervalos simultâneos com correção de Bonferroni para 1 e 2 menores que os intervalos T 2


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