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GEOMETRIA DESCRITIVA A 10.º Ano Intersecções – Dois Planos I © antónio de campos, 2010.

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1 GEOMETRIA DESCRITIVA A 10.º Ano Intersecções – Dois Planos I © antónio de campos, 2010

2 GENERALIDADES Dois planos não paralelos (planos secantes) intersectam-se numa recta, a recta comum a ambos os planos. x xz xy α i δ

3 INTERSECÇÃO ENTRE DOIS PLANOS PROJECTANTES Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre um plano de topo θ (projectante frontal) e um plano vertical α (projectante horizontal). x xz xy x α fαfα hαhα hαhα fαfα i i 2 A recta comum aos dois planos tem a sua projecção frontal coincidente com o traço frontal do plano de topo θ (projectante frontal), e a sua projecção horizontal coincidente com o traço horizontal do plano vertical α (projectante horizontal). θ fθfθ hθhθ fθfθ hθhθ i 1 i 2 i 1

4 Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre um plano frontal φ (projectante horizontal) e um plano vertical α (projectante horizontal). x xz xy x α fαfα hαhα hαhα fαfα i i2i2 Como ambos os planos são projectantes horizontais, a recta de intersecção tem que ser uma recta projectante horizontal, uma recta vertical, localizada na intersecção dos traços horizontais dos dois planos. φ (h φ ) (i 1 )

5 Um plano horizontal υ tem 2 cm de cota. Um plano frontal φ tem 3 cm de afastamento. Determina as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre os dois planos. Que tipo de recta se trata? x (f υ ) (h φ ) i 2 i 1 A recta comum aos dois planos tem a sua projecção frontal coincidente com o traço frontal do plano horizontal υ (projectante frontal), e a sua projecção horizontal coincidente com o traço horizontal do plano frontal φ (projectante horizontal). A recta comum aos dois planos, a recta de intersecção, é uma recta fronto- horizontal.

6 Um plano frontal φ tem 2 cm de afastamento. Um plano de topo α faz um diedro de 30º (a.d.) com o Plano Horizontal de Projecção. Determina as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre os dois planos. Que tipo de recta se trata? x hαhα fαfα (h φ ) i 2 i 1 A recta comum aos dois planos tem a sua projecção frontal coincidente com o traço frontal do plano de topo α (projectante frontal), e a sua projecção horizontal coincidente com o traço horizontal do plano frontal φ (projectante horizontal). A recta comum aos dois planos, a recta de intersecção, é uma recta frontal.

7 Um plano horizontal υ tem 3 cm de cota. Um plano de topo θ faz um diedro de 45º (a.e.) com o Plano Horizontal de Projecção. Determina as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre os dois planos. Que tipo de recta se trata? x (f υ ) hθhθ fθfθ (i 2 ) i1i1 Como ambos os planos são projectantes frontais, a recta de intersecção tem que ser uma recta projectante frontal, uma recta de topo, localizada na intersecção dos traços frontais dos dois planos. A recta comum aos dois planos, a recta de intersecção, é uma recta de topo.

8 INTERSECÇÃO ENTRE UM PLANO PROJECTANTE E UM PLANO NÃO PROJECTANTE Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre um plano vertical α (projectante horizontal) e um plano oblíquo θ (não projectante). x xz xy α fαfα hαhα i θ fθfθ hθhθ x hαhα fαfα i2i2 fθfθ hθhθ i 1 H2H2 H1H1 F2F2 F1F1 A recta comum aos dois planos tem a sua projecção horizontal coincidente com o traço horizontal do plano vertical α (projectante horizontal). Como a recta i pertence aos dois planos, os traços da recta i situam-se na intersecção dos traços dos dois planos. A partir dos traços da recta i, é possível obter a sua projecção frontal. F H

9 Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre um plano horizontal υ (projectante frontal) e um plano oblíquo δ (não projectante). x xz xy δ fδfδ hδhδ x fδfδ hδhδ υ (f υ ) i i 2 F2F2 F1F1 i1i1 F A recta comum aos dois planos tem a sua projecção frontal coincidente com o traço frontal do plano horizontal υ (projectante frontal). Como a recta i pertence aos dois planos, o traço frontal da recta i situa-se na intersecção dos traços frontais dos dois planos. A partir da projecção horizontal (F 1 ) do traço frontal da recta i, é possível obter a sua projecção horizontal, com a mesma orientação do traço horizontal (h δ ) do plano δ.

10 Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre um plano frontal φ (projectante horizontal) e um plano de rampa ρ (não projectante). x xz xy x φ (h φ ) ρ fρfρ hρhρ fρfρ hρhρ i i 1 r1r1 H2H2 H1H1 F2F2 F1F1 r2r2 P2P2 P1P1 i2i2 r F H P A recta comum aos dois planos tem a sua projecção horizontal coincidente com o traço horizontal do plano frontal φ (projectante horizontal). Como a projecção horizontal da recta i tem afastamento igual, a recta comum aos dois planos só pode ser fronto-horizontal, tendo em conta o plano de rampa. Para obter o traço frontal da recta i, recorre-se a uma recta auxiliar qualquer r do plano de rampa, com os traços horizontal e frontal da recta r a determinar a projecção frontal da recta r. A seguir é identificado um ponto (P) que fica na recta i, e consequentemente, localiza a projecção frontal da recta i.

11 Um plano de topo α faz um diedro de 45º (a.d.) com o Plano Horizontal de Projecção. Um plano de rampa ρ tem o seu traço horizontal com 2 cm de afastamento, e o seu traço frontal com 4 cm de cota. Determina as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre os dois planos. x fρfρ hρhρ fαfα hαhα i 2 H2H2 H1H1 F2F2 F1F1 i1i1 A recta comum aos dois planos tem a sua projecção frontal coincidente com o traço frontal do plano de topo α (projectante frontal). Como a recta i pertence aos dois planos, os traços da recta i situam-se na intersecção dos traços dos dois planos. A partir dos traços da recta i, é possível obter a sua projecção horizontal.

12 Um plano horizontal υ tem 2cm de cota. Um plano de rampa ρ tem o seu traço horizontal com 2 cm de afastamento, e o seu traço frontal com 4 cm de cota. Determina as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre os dois planos. Que tipo de recta se trata? x fρfρ hρhρ (f υ ) i 2 F2F2 F1F1 H2H2 H1H1 r1r1 r2r2 P2P2 P1P1 i1i1 A recta comum aos dois planos tem a sua projecção frontal coincidente com o traço frontal do plano horizontal υ (projectante frontal). Com a projecção frontal da recta i tem cota igual, a recta comum aos dois planos só pode ser fronto-horizontal, tendo em conta o plano de rampa. Para obter o traço horizontal da recta i, recorre-se a uma recta auxiliar qualquer r do plano de rampa, com os traços horizontal e frontal da recta r a determinar a projecção horizontal da recta r. A seguir é identificado um ponto (P) que fica na recta i, e consequentemente, localiza a projecção horizontal da recta i.

13 Um plano frontal φ tem 3 cm de afastamento. Um plano oblíquo δ tem os seus traços coincidentes, e o seu traço horizontal faz um ângulo de 60º (a.d.) com o eixo x. Determina as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre os dois planos. Que tipo de recta se trata? x (h φ ) i 1 f δ h δ H2H2 H1H1 i2i2 A recta comum aos dois planos tem a sua projecção horizontal coincidente com o traço horizontal do plano frontal φ (projectante horizontal). Como a recta i pertence aos dois planos, o traço horizontal da recta i situa-se na intersecção dos traços horizontais dos dois planos. A partir da projecção frontal (H 2 ) do traço horizontal da recta i, é possível obter a sua projecção frontal, com a mesma orientação do traço frontal (f δ ) do plano δ.

14 INTERSECÇÃO ENTRE DOIS PLANOS NÃO PROJECTANTES Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre dois planos oblíquos. x xz xy α x fαfα hαhα fαfα hαhα θ i fθfθ hθhθ fθfθ hθhθ H2H2 H1H1 H F F2F2 F1F1 i1i1 i2i2 Como a recta i pertence aos dois planos, os traços da recta i situam-se na intersecção dos traços dos dois planos.

15 Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre dois planos oblíquos, sendo os seus traços horizontais paralelos entre si. x xz xy α x fαfα hαhα fαfα hαhα δ fδfδ hδhδ i hδhδ fδfδ F2F2 F1F1 i1i1 i2i2 Como os traços horizontais dos dois planos são paralelos, a recta i será uma recta horizontal, localizado pelo traço frontal comum aos dois planos. A projecção horizontal da recta i terá que ter a mesma orientação que os traços horizontais dos planos. F

16 Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre dois planos oblíquos, sendo os seus traços frontais paralelos entre si. Como os traços frontais dos dois planos são paralelos, a recta i será uma recta frontal, localizado pelo traço horizontal comum aos dois planos. A projecção frontal da recta i terá que ter a mesma orientação que os traços frontais dos planos. x xz xy α x fαfα hαhα fαfα hαhα δ fδfδ fδfδ hδhδ hδhδ H H2H2 H1H1 i2i2 i1i1

17 Um plano oblíquo α corta o eixo x num ponto A com 4 cm de abcissa. O traço horizontal do plano oblíquo α faz um ângulo de 30º (a.d.) com o eixo x. O seu traço frontal faz um ângulo de 45º (a.d.) com o eixo x. Um plano oblíquo θ corta o eixo x num ponto B com -3 cm de abcissa, e os seus traços são paralelos aos traços contrários do plano α. Determina as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre os dois planos. x y z A 0 A 1 A 2 B 0 B 1 B 2 fαfα hαhα fθfθ hθhθ H2H2 H1H1 Como a recta i pertence aos dois planos, os traços da recta i situam-se na intersecção dos traços dos dois planos. F2F2 F1F1 i2i2 i1i1

18 Um plano oblíquo α corta o eixo x num ponto A com 4 cm de abcissa. O traço horizontal do plano oblíquo α faz um ângulo de 30º (a.d.) com o eixo x. O seu traço frontal faz um ângulo de 45º (a.d.) com o eixo x. Um plano de rampa ρ tem o traço horizontal com 3 cm afastamento e tem o traço frontal com 2 cm de cota. Determina as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre os dois planos. x y z A 0 A 1 A 2 hαhα fαfα fρfρ hρhρ Como a recta i pertence aos dois planos, os traços da recta i situam-se na intersecção dos traços dos dois planos. H2H2 H1H1 F2F2 F1F1 i2i2 i1i1

19 Um plano oblíquo φ tem os seus traços simétricos em relação ao eixo x, com o seu traço horizontal a fazer um ângulo de 60º (a.d.) com o eixo x. Um plano de rampa ρ tem os seus traços coincidentes, tendo o traço horizontal -4 cm de afastamento. Determina as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre os dois planos. x hφhφ fφfφ f ρ h ρ Como a recta i pertence aos dois planos, os traços da recta i situam-se na intersecção dos traços dos dois planos. H2H2 H1H1 F2F2 F1F1 i1i1 i2i2

20 Um plano oblíquo ψ intersecta o eixo x num ponto com –3 cm de abcissa. O plano ψ tem os seus traços simétricos em relação ao eixo x, com o seu traço frontal a fazer um ângulo de 30º (a.e.) com o eixo x. Um plano oblíquo ω intersecta o eixo x num ponto com 2 cm de abcissa. O traço horizontal do plano ω é perpendicular a h ψ, e o seu traço frontal é paralelo a f ψ. Determina as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre os dois planos. Que tipo de recta se trata? x y z fψfψ hψhψ hωhω fωfω H1H1 H2H2 Como os traços frontais dos dois planos são paralelos, a recta i será uma recta frontal, localizado pelo traço horizontal comum aos dois planos. A projecção frontal da recta i terá que ter a mesma orientação que os traços frontais dos planos. i2i2 i1i1

21 INTERSECÇÃO ENTRE UM PLANO PROJECTANTE E UM PLANO NÃO DEFINIDO PELOS SEUS TRAÇOS Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre um plano horizontal υ (projectante frontal) e um plano oblíquo α (definido por duas rectas paralelas). x (f υ ) r2r2 r1r1 s1s1 s2s2 R2R2 R1R1 S2S2 S1S1 i1i1 i 2 x xz xy υ (f υ ) r s α i R S Como o plano υ é projectante frontal, a projecção frontal da recta i é coincidente com o traço frontal do plano. Através do ponto de intersecção entre as rectas r e s com o plano υ, se obtem os pontos R e S, que permitem obter a projecção horizontal da recta i.

22 Um plano vertical α corta o eixo x num ponto com 3 cm de abcissa, e faz um ângulo de 50º (a.d.) com o Plano Frontal de Projecção. Um plano oblíquo δ está definido por duas rectas, h e f, concorrentes no ponto A (-3; 2; 3). A recta h é horizontal e faz um ângulo de 45º (a.e.) com o Plano Frontal de Projecção. A recta f é frontal e faz um ângulo de 30º (a.e.) com o Plano Horizontal de Projecção. Determina as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre os dois planos. x y z fαfα hαhα A2A2 A1A1 f1f1 h2h2 h1h1 f2f2 i 1 M2M2 M1M1 N2N2 N1N1 i2i2 Como o plano α é projectante horizontal, a projecção horizontal da recta i é coincidente com o traço horizontal do plano. Através do ponto de intersecção entre as rectas h e f com o plano α, se obtem os pontos M e N, que permitem obter a projecção frontal da recta i.

23 Um plano oblíquo α está definido por duas rectas paralelas, a e b. A recta a contém os pontos R (2; 4; 3) e S (-3; 0; –2). A recta b contém o ponto T (-2; 2; 2). Um plano frontal φ tem 3 cm de afastamento. Determina as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre os dois planos. x y z R2R2 R1R1 S2S2 S1S1 T2T2 T1T1 a2a2 a1a1 b1b1 b2b2 (h φ ) Como o plano φ é projectante horizontal, a projecção horizontal da recta i é coincidente com o traço horizontal do plano. Através do ponto de intersecção entre as rectas a e b com o plano φ, se obtem os pontos A e B, que permitem obter a projecção frontal da recta i. i 1 A2A2 A1A1 B2B2 B1B1 i2i2

24 Um plano oblíquo θ está definido pelos pontos A (3; 2; 2), B (0; 1; 5) e C (-2; 5; 1). Um plano horizontal υ tem 3 cm de cota. Determina as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre os dois planos. x y z A2A2 A1A1 C2C2 C1C1 B1B1 B2B2 (f υ ) Como o plano υ é projectante frontal, a projecção frontal da recta i é coincidente com o traço frontal do plano. Para obter a projecção horizontal da recta i, é necessário recorrer a duas rectas auxiliares do plano θ (utilizandoos pontos dados). Através do ponto de intersecção entre as rectas r e s com o plano υ, se obtem os pontos M e N, que permitem obter a projecção horizontal da recta i. r2r2 r1r1 s2s2 s1s1 i 2 M2M2 M1M1 N2N2 N1N1 i1i1


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