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1 ESTUDO DAS ESFERAS Prof. Ilydio Pereira de Sá UERJ - USS.

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1 1 ESTUDO DAS ESFERAS Prof. Ilydio Pereira de Sá UERJ - USS

2 2 1) Conceitos Iniciais 1.1) Definição: Considerando a rotação completa de um semicírculo em torno de um eixo e, a esfera é o sólido gerado por essa rotação. Assim, ela é limitada por uma superfície esférica e formada por todos os pontos pertencentes a essa superfície e ao seu interior. A superfície esférica é o lugar geométrico dos pontos do espaço eu são eqüidistantes de um ponto fixo que é o centro da esfera.

3 3 1.2) Seção na esfera: Ao seccionarmos uma esfera por um plano qualquer, à uma distância d do seu centro, iremos sempre obter um círculo. x 2 + d 2 = r 2 Se a seção for feita passando pelo centro da esfera (d = 0) o círculo obtido terá o mesmo raio da esfera e será denominado CÍRCULO MÁXIMO DA ESFERA.

4 4 2) O Princípio de Cavalieri e o Volume da esfera No século XVII o matemático Italiano Bonaventura Cavalieri estabelece um princípio básico para o cálculo de volumes, que diz que dois sólidos que tiverem a mesma altura e, sempre que seccionados por um mesmo plano gerarem áreas iguais, terão o mesmo volume. Se A 1 = A 2 então V 1 = V 2 Usaremos o Princípio de Cavalieri no cálculo do volume de uma esfera.

5 5 Vamos considerar uma esfera de raio r apoiada sobre um plano. Ainda sobre esse plano, tomemos um cilindro eqüilátero de raio r e altura 2r. Desse cilindro retira-se dois cones com raio r e centro no ponto médio da altura do cilindro. Observe a figura abaixo: Se mostrarmos que as seções obtidas na esfera e no sólido que restou com a retirada dos cones têm a mesma área, pelo Principio de Cavalieri, poderemos obter o volume da esfera através do cálculo do volume do sólido formado.

6 6 Verifiquemos que esses dois sólidos, quando cortados à uma distância h, de seus centros, geram áreas iguais. Sólido da esquerda – área da coroa = r 2 - h 2 =.(r 2 – h 2 ) Sólido da direita – área do círculo = x 2, mas como x 2 = r 2 – h 2, teremos Área do círculo =.(r 2 – h 2 ) x

7 7 Logo, de acordo com Cavalieri, esses sólidos terão o mesmo volume, o que garante que o volume da esfera é igual ao volume do sólido que sobrou ao retiramos os dois cones, do cilindro. Se calcularmos o volume desse sólido, teremos o volume da esfera. Esse volume será igual ao volume do cilindro eqüilátero, de raio r, menos duas vezes o volume do cone, de raio r e altura r, vejamos: CONCLUSÃO: O Volume de uma esfera de raio r é dado pela fórmula:

8 8 Cálculo da Área da Superfície Esférica A Partir do conhecimento da fórmula para o cálculo do volume da esfera, podemos usar um processo que, embora seja aproximado, é um bom método para a obtenção da área da superfície esférica. Podemos imaginar como se a superfície esférica estivesse recoberta por uma malha constituída um número muito grande (tendendo ao infinito) de pequenos círculos. Imaginando ainda que todos esses círculos estejam ligados ao centro da esfera, ela ficará subdividida em uma quantidade infinita de cones. Podemos considerar que a área de cada um desses pequenos círculos seja A, que a soma de todas elas seja igual a área da superfície esférica (S) e que a soma dos volumes desses cones seja igual ao volume da esfera. A altura de cada um desses pequenos cones será aproximadamente igual ao raio R, da esfera. Área A

9 9 3) Fuso Esférico e Cunha Esférica 3.1) Fuso Esférico Fuso esférico é a parte da superfície esférica compreendida entre dois de seus círculos máximos. A área de um fuso pode ser determinada por uma regra de três, lembrando que a área da superfície esférica corresponde a um fuso de 360º. 360º _________________ 4 R 2 º _________________ A

10 10 3.2) Cunha Esférica A Cunha esférica é a parte da esfera compreendida entre dois de seus círculos máximos. O volume de uma cunha esférica pode também ser obtido, a partir de uma regra de 3, do volume da esfera. Veja: 360º _________________ º_________________ V


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