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GEOMETRIA DESCRITIVA A 10.º Ano Métodos Geométricos Auxiliares I Mudança de Diedros de Projecção © antónio de campos, 2010.

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1 GEOMETRIA DESCRITIVA A 10.º Ano Métodos Geométricos Auxiliares I Mudança de Diedros de Projecção © antónio de campos, 2010

2 GENERALIDADES Quando se utiliza o método da mudança do diedro de projecção é necessário designar os planos de projecção e as projecções novas dos pontos com uma nomenclatura específica. O plano xy (o Plano Horizontal de Projecção) passa a ser designado por plano 1, com a projecção de um ponto A nesse plano a ser identificado como A 1, como normalmente o é. O plano xz (o Plano Frontal de Projecção) passa a ser designado por plano 2, com a projecção de um ponto A nesse plano a ser identificado como A 2, como normalmente o é. O plano yz (o Plano Perfil de Projecção) passa a ser designado por plano 3, com a projecção de um ponto A nesse plano a ser identificado como A 3, como normalmente o é. Os novos planos que vão substituir planos existentes passam a ser designados por plano 4, plano 5, etc.; com a projecção de um ponto A nesses planos a serem identificados como A 4, A 5, etc., respectivamente.

3 A relação entre um novo plano de projecção e um existente deve sempre ser de ortogonalidade entre os dois planos. x plano 2 plano 1 α A B C A2A2 B2B2 C2C2 C1C1 A1A1 B1B1 C4C4 A4A4 B4B4 plano 4 x

4 O método da mudança do diedro de projecção desenvolve-se com as partes seguintes: 1 – Escolher o plano a ser substituído; 2 – Escolher a posição do novo plano de projecção a ser introduzido; 3 – Manter a projecção do objecto sobre o plano de projecção que se mantém, mantendo as restectivas coordenadas; 4 – Determinar a nova projecção do objecto sobre o novo plano de projecção a ser introduzido, com novas coordenadas.

5 TRANSFORMAÇÃO DE UM SEGMENTO DE RECTA OBLÍQUO NUM SEGMENTO DE RECTA HORIZONTAL Pretende-se determinar a V.G. do segmento de recta oblíquo [AB], via a transformação num segmento de recta horizontal. x plano 2 plano 1 A B A2A2 B2B2 A1A1 B1B1 x 2 1 A1A1 A2A2 B1B1 B2B2 plano 4 x 2 4 A4A4 B4B4 V.G. A4A4 B4B4

6 TRANSFORMAÇÃO DE UM SEGMENTO DE RECTA OBLÍQUO NUM SEGMENTO DE RECTA FRONTAL Pretende-se determinar a V.G. do segmento de recta oblíquo [AB], via a transformação num segmento de recta frontal. x plano 2 plano 1 A B A2A2 B2B2 A1A1 B1B1 x 2 1 A1A1 A2A2 B1B1 B2B2 plano 4 x 4 1 A4A4 B4B4 V.G. A4A4 B4B4

7 TRANSFORMAÇÃO DE UMA RECTA HORIZONTAL NUMA RECTA DE TOPO Pretende-se transformar a de recta horizontal h numa recta de topo. x plano 2 plano 1 A A2A2 A1A1 x 2 1 plano 4 x 4 1 h2h2 h2h2 h1h1 h1h1 h A1A1 A2A2 A4A4 (h 4 ) A4A4

8 É dado um segmento de recta oblíquo [AB], sendo A (1; 2; 4) e B (-3; 1; 2). Determina a V.G. do segmento de recta [AB], transformando-o num segmento de recta horizontal com 2 cm de cota. x 2 1 y z A1A1 A2A2 B1B1 B2B2 x 2 4 A4A4 B4B4 V.G.

9 É dado um segmento de recta oblíquo [AB], sendo A (1; 2; 4) e B (-3; 1; 2). Determina a V.G. do segmento de recta [AB], transformando-o num segmento de recta frontal com 3 cm de afastamento. x 2 1 y z A1A1 A2A2 B1B1 B2B2 x 4 1 A4A4 B4B4 V.G.

10 É dada uma recta frontal f, que passa pelo ponto A (2; 3) e faz um ângulo de 30º (a.d.) com o Plano Horizontal de Projecção. Transforma a recta f numa recta vertical. x 2 1 A1A1 A2A2 f1f1 f2f2 x 2 4 A4A4 (f 4 )

11 É dada uma recta horizontal h, com 3 cm de cota e faz um ângulo de 45º (a.e.) com o Plano Frontal de Projecção. Transforma a recta h numa recta de topo. x 2 1 h2h2 h1h1 x 4 1 A1A1 A2A2 A4A4 (h 4 )

12 É dada uma recta oblíqua r, que passa pelo ponto R (2; 1). A projecção horizontal da recta r faz um ângulo de 25º (a.d.) com o eixo x. A projecção frontal da recta r faz um ângulo de 35º (a.d.) com o eixo x. Desenha as projecções de um segmento de recta [RS], com 4 cm de comprimento, situado no 1.º diedro e contido na recta r. x 2 1 R1R1 R2R2 r1r1 r2r2 P1P1 P2P2 x 4 1 R4R4 P4P4 r4r4 S1S1 S4S4 S2S2

13 TRANSFORMAÇÃO DE UM PLANO VERTICAL NUM PLANO FRONTAL Pretende-se determinar a V.G. de um triângulo contido num plano vertical α, via a transformação do plano α num plano frontal. x plano 2 plano 1 α fαfα hαhα A B C A1A1 B1B1 C1C1 B2B2 C2C2 A2A2 x hαhα fαfα A1A1 A2A2 B1B1 B2B2 C1C1 C2C2 plano 4 x A4A4 B4B4 C4C4 2 1 x 4 1 A4A4 B4B4 C4C4 V.G.

14 TRANSFORMAÇÃO DE UM PLANO DE TOPO NUM PLANO HORIZONTAL Pretende-se a transformação de um plano de topo γ num plano horizontal. x plano 2 plano 1 γ fγfγ hγhγ x fγfγ hγhγ plano 4 x (h 4γ ) 2 1 x 2 4

15 É dado um triângulo [PQR], contido num plano de topo, sendo P (2; 3; 1), Q (-2; 4; 4) e R (1; 3). Determina a V.G. do triângulo. x 2 1 y z P1P1 P2P2 Q1Q1 Q2Q2 fαfα hαhα R1R1 R2R2 x 2 4 P4P4 Q4Q4 R4R4 V.G.

16 É dado um rectângulo [ABCD], contido num plano vertical γ. O plano γ faz um diedro de 60º (a.e.) com o Plano Frontal de Projecção. A diagonal [AC] está contida no β 1,3, sendo que A tem 2 cm de cota e C tem 6 cm de afastamento. O lado [AB] do polígono é vertical e o lado [BC] é horizontal. Desenha as projecções do rectângulo e determina a sua V.G. x 2 1 hγhγ fγfγ i 1 i2i2 A1A1 A2A2 C1C1 C2C2 B 1 B2B2 D 1 D2D2 x 4 1 B4B4 A4A4 C4C4 D4D4 V.G.

17 É dado um plano vertical δ, que faz um diedro de 30º (a.d.) com o Plano Frontal de Projecção. São dados dois pontos A (1; 4) e B (2; 0), pertencentes ao plano δ. Os pontos A e B são vértices de um triângulo equilátero [ABC], contido no plano δ. Desenha as projecções do triângulo, construindo a figura em V.G., após transformar o plano δ num plano frontal com 2 cm de afastamento. x 2 1 hδhδ fδfδ A1A1 A2A2 B1B1 B2B2 x 4 1 A4A4 B4B4 C4C4 V.G. C1C1 C2C2

18 É dado um plano θ, definido por duas rectas, r e s, concorrentes no ponto P (1; 3). As projecções da recta r são paralelas entre si, e a sua projecção horizontal faz um ângulo de 40º (a.d.) com o eixo x. A recta s é passante, e a sua projecção frontal está coincidente com a projecção frontal de r. De que plano se trata? Transforma o plano θ num plano horizontal com 2,5 cm de cota. x 2 1 P1P1 P2P2 r1r1 r2r2 s 2 s1s1 Trata-se de um plano de topo (um plano projectante frontal), pois as projecções frontais das duas rectas estão coincidentes. x 2 4 R 1 R 2 F1F1 F2F2 P4P4 R4R4 s4s4 F4F4 r4r4


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