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Grafos Histórico, exemplos e problemas. Pontes de Königsberg Königsberg, Prússia (atual Калинингра́д), Rússia.

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1 Grafos Histórico, exemplos e problemas

2 Pontes de Königsberg Königsberg, Prússia (atual Калинингра́д), Rússia

3 Pontes de Königsberg É possível cruzar cada ponte uma única vez e voltar ao ponto de partida?

4 Pontes de Königsberg É possível cruzar cada ponte uma única vez e voltar ao ponto de partida?

5 Pontes de Königsberg Ninguém conseguia uma solução. Alguns achavam que era impossível.

6 Leonhard Euler (Óiler) Um dos matemáticos mais produtivos da história –13 filhos –mais de 800 artigos publicados séries – Cálculo equações diferenciais – Cálculo e Cálculo Numérico –Ficou cego e continuou escrevendo artigos por mais 17 anos até sua morte

7 –Resolvido em 1736 por Leonhard Euler –Necessário um modelo para representar o problema –Abstração de detalhes irrelevantes: Área de cada ilha Formato de cada ilha Tipo da ponte, etc. Pontes de Königsberg

8 Euler demonstrou que o problema das pontes de Königsberg não tem solução Ele usou um modelo simplificado das ligações entre as regiões Euler usou um raciocínio muito simples. Transformou os caminhos em retas e suas intersecções em pontos criando possivelmente o primeiro grafo da história.

9 Pontes de Königsberg Então percebeu que só seria possível atravessar o caminho inteiro passando uma única vez em cada ponte se houvesse no máximo dois pontos de onde saia um número ímpar de caminhos. A razão de tal coisa é: de cada ponto deve haver um número par de caminhos, pois será preciso um caminho para "entrar" e outro para "sair". Os dois pontos com caminhos ímpares referem-se ao início e ao final do percurso, pois estes não precisam de um para entrar e um para sair, respectivamente

10 Pontes de Königsberg Euler estabeleceu um teorema que diz em que condições é possível percorrer cada linha exatamente uma vez e voltar ao ponto inicial –Foi o primeiro teorema da Teoria dos Grafos

11 Pontes de Königsberg Como os graus de todos os vértices são impares, é fácil verificar que este grafo não apresenta nem uma trilha, nem um ciclo euleriano, visto que ele não satisfaz o teorema de euler, nem tampouco é um grafo atravessável. Logo, a travessia proposta não é possível. –Teorema de euler: Um multigrafo M é euleriano se e somente se M é conexo e cada vértice de M tem grau par. –Teorema de grafo atravessável: Um multigrafo M é atravessável se e somente se M é conexo e tem exatamente dois vértices de grau impar. Consequentemente, qualquer trilha euleriana de M começa em um dos vértices de grau impar e termina no outro vértice de grau impar.

12 Euler mostrou que não existe o trajeto proposto utilizando o modelo em grafos Verifique nos grafos abaixo se o trajeto proposto é possível Pontes de Königsberg

13 Mais história Um século sem estudos em grafos Leis de Kirchoff (Kirchoff, 1847) Problema das 4 cores (De Morgan, 1852) Aplicações em Química orgânica (Cayley, 1857) Problema do ciclo Hamiltoniano (Hamilton 1859)

14 É possível conectar os 3 serviços às 3 casas sem haver cruzamento de tubulação? água luz telefone A teoria dos grafos mostra que não é possível O problema das 3 casas

15 Mapas Quantas cores são necessárias?

16 Mapas Quantas cores são necessárias?

17 Questões sobre o caminho mínimo De forma a reduzir seus custos operacionais, uma empresa de transporte de cargas deseja oferecer aos motoristas de sua frota um mecanismo que os auxilie a selecionar o melhor caminho (o de menor distância) entre quaisquer duas cidades por ela servidas, de forma a que sejam minimizados os custos de transporte.

18 Estamos interessados em objetos e nas relações entre eles Quem são eles nos problemas apresentados? Como representar graficamente? Modelagem com grafos

19 No problema das casas –Vértices são casas e serviços –Arestas são as tubulações entre casas e serviços No problema da coloração de mapas –Vértices são estados –Arestas relacionam estados vizinhos No problema do caminho mais curto –Vértices são as cidades –Arestas são as ligações entre as cidades

20 Três desenvolvimentos isolados despertaram o interesse pela área Formulação do problema das 4 cores (De Morgan 1852). Qual a quantidade mínima de cores para colorir um mapa de tal forma que países fronteiriços possuam cores diferentes? Apresenta-se um exemplo em que 3 cores não são suficientes. Uma prova de que 5 cores é suficiente foi formulada. Conjecturou-se então que 4 cores seriam suficientes. Esta questão ficou em aberto até 1976 quando Appel e Haken provaram para 4 cores.

21 Três desenvolvimentos isolados despertaram o interesse pela área Problema do ciclo Hamiltoniano (Hamilton 1859) Existem n cidades. Cada par de cidades pode ser adjacente ou não arbitrariamente. Partindo de uma cidade qualquer, o problema consiste em determinar um trajeto que passe exatamente uma vez em cada cidade e retorne ao ponto de partida.

22 Três desenvolvimentos isolados despertaram o interesse pela área Teoria das árvores - Kirchoff (1847) - problemas de circuitos elétricos - Cayley (1857) - Química Orgânica

23 Então, o que é um grafo? Informalmente, um conjunto de objetos e ligações (relações) entre eles Alguns chamam de rede Muitas vezes representado graficamente (pontos e linhas) Os objetos são chamados de vértices e as ligações, de arestas

24 O que são Grafos Diagrama - Corresponde a soma de pontos e linhas, onde os pontos apresentam alguma informação e as linhas indicam o relacionamento entre dois pontos quaisquer Ferramenta de modelagem Abstração matemática que representa situações reais através de um diagrama.

25 Grafo vs gráfico Um grafo pode ser representado graficamente de diversas maneiras

26 Grafo vs gráfico O que importa são as relações que existem entre os vértices

27 –Importante ferramenta matemática com aplicação em diversas áreas do conhecimento Genética, química, pesquisa operacional, telecomunicações, engenharia elétrica, redes de computadores, conexão de vôos aéreos, restrições de precedência, fluxo de programas, dentre outros –Utilizados na definição e/ou resolução de problemas Porque estudar Grafos ?

28 Porque estudar Grafos –Em computação: estudar grafos é mais uma forma de solucionar problemas computáveis –Os estudos teóricos em grafos, buscam o desenvolvimento de algoritmos mais eficientes.


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