A apresentação está carregando. Por favor, espere

A apresentação está carregando. Por favor, espere

Álgebra Linear e Geometria Analítica 7ª aula. ESPAÇOS VECTORIAIS.

Apresentações semelhantes


Apresentação em tema: "Álgebra Linear e Geometria Analítica 7ª aula. ESPAÇOS VECTORIAIS."— Transcrição da apresentação:

1 Álgebra Linear e Geometria Analítica 7ª aula

2 ESPAÇOS VECTORIAIS

3 O que é preciso para ter um espaço vectorial? Um conjunto não vazio V Uma operação de adição definida nesse conjunto Um produto de um número real por um elemento desse conjunto As boas propriedades destas operações

4 O que são as boas propriedades? Fechado para a soma u, v V, u + v V Fechado para o produto por um escalar, u V, u V

5 O que são as boas propriedades? Propriedades da soma Comutativa: u, v V, u + v = v + u Associativa: u, v, w V, (u + v) + w = u + (v + w) Elemento Neutro: u V, u + 0 = u Simétricos: u V, u + (-u) = 0

6 O que são as boas propriedades? Propriedades da soma e do produto por um escalar: Distributiva: u, v V,, (u + v )= u + v Distributiva: u V,,,( + ) u = u + u Associativa u V,,,( ) u = ( u) Elemento neutro u V, 1u = u

7 Exemplos Vectores no plano com as operações soma e produto por um número real

8 Exemplos Conjunto das matrizes m n com as operações soma e produto por um número real. Conjunto das matrizes linha com as operações soma e produto por um número real Conjunto das matrizes coluna com as operações soma e produto por um número real

9 Exemplos

10 Casos particulares importantes:

11

12 Propriedades dos espaços vectoriais O vector nulo é único O simétrico de cada vector de V é único Qualquer número real multiplicado pelo vector nulo dá o vector nulo Zero multiplicado por qualquer vector dá o vector nulo Se o produto de um número real por um vector dá o vector nulo então ou o número real é nulo ou o vector é nulo.

13 Combinações Lineares: u diz-se combinação linear de u 1, u 2, …, u k

14 Exemplo: (2,3,-5) é combinação linear de {(1,0,0), (0,1,0),(0,0,1)} com coeficientes 2, 3 e -5 respectivamente

15 Exemplo: (2,3,-5) será combinação linear de {(1,1,1), (1,1,0),(1,0,1)}?

16 Exemplo: (2,3,-5) será combinação linear de {(1,1,1), (1,1,0),(1,0,1)}? (2,3,-5) = (1,1,1) + (1,1,0) + (1,0,1)

17 Exemplo: (2,3,-5) será combinação linear de {(1,1,1), (1,1,0),(1,0,1)}? (2,3,-5) = (1,1,1) + (1,1,0) + (1,0,1)

18 Exemplo: (2,3,-5) será combinação linear de {(1,1,1), (1,1,0),(1,0,1)}? (2,3,-5) = (1,1,1) + (1,1,0) + (1,0,1)

19

20

21 (2,3,-5) = -4(1,1,1) + 7(1,1,0) - (1,0,1)

22 Exemplo: (2,3,-5) será combinação linear de {(1,1,1), (1,1,2),(0,0,3)}? (2,3,-5) = (1,1,1) + (1,1,2) + (0,0,3)

23 Exemplo: (2,3,-5) será combinação linear de {(1,1,1), (1,1,2),(0,0,3)}? (2,3,-5) = (1,1,1) + (1,1,2) + (0,0,3)

24 Exemplo: (2,3,-5) será combinação linear de {(1,1,1), (1,1,2),(0,0,3)}? (2,3,-5) = (1,1,1) + (1,1,2) + (0,0,3) Sistema impossível

25 Exemplo: Então (2,3,-5) não pode ser combinação linear de {(1,1,1), (1,1,2),(0,0,3)}

26 Exemplo: Quais serão os vectores (a, b, c) que podem ser combinação linear de {(1,1,1), (1,1,2),(0,0,3)}?

27 Exemplo: (a, b, c) = x(1,1,1) + y (1,1,2) + z(0,0,3)

28 Exemplo: (a, b, c) = x(1,1,1) + y (1,1,2) + z(0,0,3)

29

30

31

32

33

34 Exemplo: Quais serão os vectores (a, b, c) que podem ser combinação linear de {(1,1,1), (1,1,2),(0,0,3)}? Resposta: vectores da forma (a, a, c)

35 Exemplo: (0, 0, 0) pode ser combinação linear de {(1,1,1), (1,1,2),(0,0,3)}?

36 Exemplo: (0, 0, 0) pode ser combinação linear de {(1,1,1), (1,1,2),(0,0,3)}? SIM (0, 0, 0) = 0(1,1,1) + 0(1,1,2) + 0(0,0,3)

37 Propriedade O vector nulo de qualquer espaço vectorial pode ser escrito como combinação linear de qualquer conjunto de vectores. (O sistema homogéneo tem sempre solução)

38 Exemplo: (0, 0, 0) pode ser combinação linear de {(1,1,1), (1,1,2),(0,0,3)}? SIM (0, 0, 0) = 3(1,1,1) - 3(1,1,2) + 1(0,0,3)

39 Vectores linearmente independentes Definição: Um conjunto de vectores de V {v 1, v 2, …, v k } diz-se linearmente independente se a única combinação linear nula destes vectores é a trivial.

40 Vectores linearmente independentes Definição: Um conjunto de vectores de V {v 1, v 2, …, v k } diz-se linearmente independente se a única combinação linear nula destes vectores é a trivial.

41 Vectores linearmente dependentes Definição: Um conjunto de vectores de V {v 1, v 2, …, v k } diz-se linearmente dependente se não é independente, isto é, se é possível obter o vector nulo com uma combinação linear que não tem os coeficientes todos nulos.

42 Vectores linearmente independentes Para que o conjunto de vectores de V {v 1, v 2, …, v k } seja linearmente independente é preciso que o sistema seja determinado, isto é, que a característica da matriz do sistema seja k.

43 Um conjunto de vectores não pode ser independente se: Contiver o vector nulo; Tiver dois vectores iguais; Tiver um vector múltiplo de outro; Se um dos vectores for combinação linear de outros.

44 EXEMPLO: Será {(1,2,3,4), (2,-1,3,5), (4,7,-3,-7), (1,-8,-3,-2)} linearmente independente?

45 EXEMPLO: Será {(1,2,3,4), (2,-1,3,5), (4,7,-3,-7), (1,-8,-3,-2)} linearmente independente? a(1,2,3,4)+ b(2,-1,3,5)+ c(4,7,-3,-7)+ d(1,-8,-3,-2) = (0,0,0,0)

46 EXEMPLO: Será {(1,2,3,4), (2,-1,3,5), (4,7,-3,-7), (1,-8,-3,-2)} linearmente independente? a(1,2,3,4)+ b(2,-1,3,5)+ c(4,7,-3,-7)+ d(1,-8,-3,-2) = (0,0,0,0)

47 car(A) = 3 sistema indeterminado conjunto dependente

48 Subespaço Vectorial Seja V um espaço vectorial. Um subconjunto não vazio F de V é um subespaço vectorial de V se e só se ou seja: F é fechado para a soma e para o produto por um escalar.

49 Exemplo de subespaço vectorial

50 F é o conjunto das soluções do sistema

51 Exemplo de subespaço vectorial F é o conjunto das soluções do sistema F é o núcleo da matriz

52 Expansão linear e geradores Considere-se W o conjunto de todas as combinações lineares de {v 1, v 2, …, v k } vectores de um espaço vectorial V 1.W é um subespaço vectorial 2.W é o menor subespaço vectorial de V que contém {v 1, v 2, …, v k }

53 Expansão linear e geradores Chama-se expansão linear de {v 1, v 2, …, v k } ou subespaço vectorial gerado pelos vectores {v 1, v 2, …, v k } e representa-se por Os vectores {v 1, v 2, …, v k } dizem-se um conjunto de geradores de W

54 Exemplos

55

56 Bases e dimensão A um conjunto de geradores de um espaço que seja linearmente independente chama-se base desse espaço. Um espaço tem várias bases Todas as bases têm o mesmo número de elementos A esse número de elementos chama-se dimensão do espaço

57 Bases e dimensão Se um espaço vectorial tem dimensão n não pode haver conjuntos de vectores independentes com mais do que n elementos Se um espaço vectorial tem dimensão n não pode haver conjuntos de vectores geradores do espaço com menos do que n elementos

58 Exemplo:

59

60

61 dimF = 1

62 Como saber se um vector pertence a um subespaço? 1.Encontra-se uma base para o subespaço 2.Verifica-se se o vector pode ser combinação linear dos elementos da base.

63 Exemplo: Será que (3, -2, -7, -12) é um elemento de F?

64 Exemplo: Será que (3, -2, -7, -12) é um elemento de F? Isto é, será que (3, -2, -7, -12) é uma combinação linear de (1,2,3,4) e (5,6,7,8)?

65 Exemplo: Será que (3, -2, -7, -12) é um elemento de F? Isto é, será que (3, -2, -7, 12) é uma combinação linear de (1,2,3,4) e (5,6,7,8)? (3, -2, -7, -12)= a(1,2,3,4) + b(5,6,7,8)

66

67

68

69 (3, -2, -7, 12)= a(1,2,3,4) + b(5,6,7,8)

70

71

72 O mesmo exemplo, outra abordagem: Será que (3, -2, -7, -12) é um elemento de F? Isto é, será que (3, -2, -7, -12) é uma combinação linear de (1,2,3,4) e (5,6,7,8)?

73 O mesmo exemplo, outra abordagem: Será que (3, -2, -7, 12) é um elemento de F? Isto é, será que (3, -2, -7, -12) é uma combinação linear de (1,2,3,4) e (5,6,7,8)? Se tal se verificar a característica da matriz 3 4 que tem estes vectores nas suas linhas terá que ser 2.

74 O mesmo exemplo, outra abordagem:

75

76 Como saber qual o espaço gerado por um conjunto de vectores?

77 Agora ver quais as condições sobre x, y, z e w para a última linha da matriz em escada ser nula

78 Como saber qual o espaço gerado por um conjunto de vectores?

79

80 Como a última linha ficou nula pode-se concluir que é combinação linear das anteriores. (Só não se sabe quais são os coeficientes da combinação linear, para o saber é preciso resolver o sistema como se fez antes)

81 Os coeficientes da combinação linear de um vector em relação a uma base chamam-se coordenadas do vector


Carregar ppt "Álgebra Linear e Geometria Analítica 7ª aula. ESPAÇOS VECTORIAIS."

Apresentações semelhantes


Anúncios Google