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Álgebra Linear e Geometria Analítica

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Apresentação em tema: "Álgebra Linear e Geometria Analítica"— Transcrição da apresentação:

1 Álgebra Linear e Geometria Analítica
7ª aula

2 ESPAÇOS VECTORIAIS

3 O que é preciso para ter um espaço vectorial?
Um conjunto não vazio V Uma operação de adição definida nesse conjunto Um produto de um número real por um elemento desse conjunto As “boas” propriedades destas operações

4 O que são as “boas” propriedades?
Fechado para a soma u, vV, u + v  V Fechado para o produto por um escalar , uV, u  V

5 O que são as “boas” propriedades? Propriedades da soma
Comutativa: u, vV, u + v = v + u Associativa: u, v, wV, (u + v) + w = u + (v + w) Elemento Neutro: uV, u + 0 = u Simétricos: uV, u + (-u) = 0

6 O que são as “boas” propriedades
O que são as “boas” propriedades? Propriedades da soma e do produto por um escalar: Distributiva: u, vV, ,(u + v )= u + v uV, , ,( + ) u = u + u “Associativa” uV, , ,( ) u =  (u) Elemento neutro uV, 1u = u

7 Exemplos Vectores no plano com as operações soma e produto por um número real

8 Exemplos Conjunto das matrizes mn com as operações soma e produto por um número real. Conjunto das matrizes linha com as operações soma e produto por um número real Conjunto das matrizes coluna com as operações soma e produto por um número real

9 Exemplos

10 Casos particulares importantes:

11 Casos particulares importantes:

12 Propriedades dos espaços vectoriais
O vector nulo é único O simétrico de cada vector de V é único Qualquer número real multiplicado pelo vector nulo dá o vector nulo Zero multiplicado por qualquer vector dá o vector nulo Se o produto de um número real por um vector dá o vector nulo então ou o número real é nulo ou o vector é nulo.

13 Combinações Lineares:
u diz-se combinação linear de u1, u2, …, uk

14 Exemplo: (2,3,-5) é combinação linear de {(1,0,0), (0,1,0),(0,0,1)} com coeficientes 2, 3 e -5 respectivamente

15 Exemplo: (2,3,-5) será combinação linear de {(1,1,1), (1,1,0),(1,0,1)}?

16 (2,3,-5) será combinação linear de {(1,1,1), (1,1,0),(1,0,1)}?
Exemplo: (2,3,-5) será combinação linear de {(1,1,1), (1,1,0),(1,0,1)}? (2,3,-5) = (1,1,1) + (1,1,0) + (1,0,1)

17 (2,3,-5) será combinação linear de {(1,1,1), (1,1,0),(1,0,1)}?
Exemplo: (2,3,-5) será combinação linear de {(1,1,1), (1,1,0),(1,0,1)}? (2,3,-5) = (1,1,1) + (1,1,0) + (1,0,1)

18 (2,3,-5) será combinação linear de {(1,1,1), (1,1,0),(1,0,1)}?
Exemplo: (2,3,-5) será combinação linear de {(1,1,1), (1,1,0),(1,0,1)}? (2,3,-5) = (1,1,1) + (1,1,0) + (1,0,1)

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21 (2,3,-5) = (1,1,1) + (1,1,0) + (1,0,1) (2,3,-5) = -4(1,1,1) + 7(1,1,0) - (1,0,1)

22 (2,3,-5) será combinação linear de {(1,1,1), (1,1,2),(0,0,3)}?
Exemplo: (2,3,-5) será combinação linear de {(1,1,1), (1,1,2),(0,0,3)}? (2,3,-5) = (1,1,1) + (1,1,2) + (0,0,3)

23 (2,3,-5) será combinação linear de {(1,1,1), (1,1,2),(0,0,3)}?
Exemplo: (2,3,-5) será combinação linear de {(1,1,1), (1,1,2),(0,0,3)}? (2,3,-5) = (1,1,1) + (1,1,2) + (0,0,3)

24 (2,3,-5) será combinação linear de {(1,1,1), (1,1,2),(0,0,3)}?
Exemplo: (2,3,-5) será combinação linear de {(1,1,1), (1,1,2),(0,0,3)}? (2,3,-5) = (1,1,1) + (1,1,2) + (0,0,3) Sistema impossível

25 Exemplo: Então (2,3,-5) não pode ser combinação linear de {(1,1,1), (1,1,2),(0,0,3)}

26 Exemplo: Quais serão os vectores (a, b, c) que podem ser combinação linear de {(1,1,1), (1,1,2),(0,0,3)}?

27 Exemplo: (a, b, c) = x(1,1,1) + y (1,1,2) + z(0,0,3)

28 Exemplo: (a, b, c) = x(1,1,1) + y (1,1,2) + z(0,0,3)

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34 Exemplo: Quais serão os vectores (a, b, c) que podem ser combinação linear de {(1,1,1), (1,1,2),(0,0,3)}? Resposta: vectores da forma (a, a, c)

35 Exemplo: (0, 0, 0) pode ser combinação linear de {(1,1,1), (1,1,2),(0,0,3)}?

36 Exemplo: (0, 0, 0) pode ser combinação linear de {(1,1,1), (1,1,2),(0,0,3)}? SIM (0, 0, 0) = 0(1,1,1) + 0(1,1,2) + 0(0,0,3)

37 Propriedade O vector nulo de qualquer espaço vectorial pode ser escrito como combinação linear de qualquer conjunto de vectores. (O sistema homogéneo tem sempre solução)

38 Exemplo: (0, 0, 0) pode ser combinação linear de {(1,1,1), (1,1,2),(0,0,3)}? SIM (0, 0, 0) = 3(1,1,1) - 3(1,1,2) + 1(0,0,3)

39 Vectores linearmente independentes
Definição: Um conjunto de vectores de V {v1, v2, … , vk} diz-se linearmente independente se a única combinação linear nula destes vectores é a trivial.

40 Vectores linearmente independentes
Definição: Um conjunto de vectores de V {v1, v2, … , vk} diz-se linearmente independente se a única combinação linear nula destes vectores é a trivial.

41 Vectores linearmente dependentes
Definição: Um conjunto de vectores de V {v1, v2, … , vk} diz-se linearmente dependente se não é independente, isto é, se é possível obter o vector nulo com uma combinação linear que não tem os coeficientes todos nulos.

42 Vectores linearmente independentes
Para que o conjunto de vectores de V {v1, v2, … , vk} seja linearmente independente é preciso que o sistema seja determinado, isto é, que a característica da matriz do sistema seja k.

43 Um conjunto de vectores não pode ser independente se:
Contiver o vector nulo; Tiver dois vectores iguais; Tiver um vector múltiplo de outro; Se um dos vectores for combinação linear de outros.

44 EXEMPLO: Será {(1,2,3,4), (2,-1,3,5), (4,7,-3,-7), (1,-8,-3,-2)} linearmente independente?

45 EXEMPLO: Será {(1,2,3,4), (2,-1,3,5), (4,7,-3,-7), (1,-8,-3,-2)} linearmente independente? a(1,2,3,4)+ b(2,-1,3,5)+ c(4,7,-3,-7)+ d(1,-8,-3,-2) = (0,0,0,0)

46 EXEMPLO: Será {(1,2,3,4), (2,-1,3,5), (4,7,-3,-7), (1,-8,-3,-2)} linearmente independente? a(1,2,3,4)+ b(2,-1,3,5)+ c(4,7,-3,-7)+ d(1,-8,-3,-2) = (0,0,0,0)

47 car(A) = 3 sistema indeterminado
conjunto dependente

48 Subespaço Vectorial Seja V um espaço vectorial. Um subconjunto não vazio F de V é um subespaço vectorial de V se e só se ou seja: F é fechado para a soma e para o produto por um escalar.

49 Exemplo de subespaço vectorial

50 Exemplo de subespaço vectorial
F é o conjunto das soluções do sistema

51 Exemplo de subespaço vectorial
F é o conjunto das soluções do sistema F é o núcleo da matriz

52 Expansão linear e geradores
Considere-se W o conjunto de todas as combinações lineares de {v1, v2, … , vk} vectores de um espaço vectorial V W é um subespaço vectorial W é o menor subespaço vectorial de V que contém {v1, v2, … , vk}

53 Expansão linear e geradores
Chama-se expansão linear de {v1, v2, … , vk} ou subespaço vectorial gerado pelos vectores {v1, v2, … , vk} e representa-se por <v1, v2, … , vk> Os vectores {v1, v2, … , vk} dizem-se um conjunto de geradores de W

54 Exemplos

55 Exemplos

56 Bases e dimensão A um conjunto de geradores de um espaço que seja linearmente independente chama-se base desse espaço. Um espaço tem várias bases Todas as bases têm o mesmo número de elementos A esse número de elementos chama-se dimensão do espaço

57 Bases e dimensão Se um espaço vectorial tem dimensão n não pode haver conjuntos de vectores independentes com mais do que n elementos Se um espaço vectorial tem dimensão n não pode haver conjuntos de vectores geradores do espaço com menos do que n elementos

58 Exemplo:

59 Exemplo:

60 Exemplo:

61 Exemplo: dimF = 1

62 Como saber se um vector pertence a um subespaço?
Encontra-se uma base para o subespaço Verifica-se se o vector pode ser combinação linear dos elementos da base.

63 Exemplo: Será que (3, -2, -7, -12) é um elemento de F?

64 Exemplo: Será que (3, -2, -7, -12) é um elemento de F?
Isto é, será que (3, -2, -7, -12) é uma combinação linear de (1,2,3,4) e (5,6,7,8)?

65 Exemplo: Será que (3, -2, -7, -12) é um elemento de F?
Isto é, será que (3, -2, -7, 12) é uma combinação linear de (1,2,3,4) e (5,6,7,8)? (3, -2, -7, -12)= a(1,2,3,4) + b(5,6,7,8)

66 (3, -2, -7, -12)= a(1,2,3,4) + b(5,6,7,8)

67 (3, -2, -7, -12)= a(1,2,3,4) + b(5,6,7,8)

68 (3, -2, -7, -12)= a(1,2,3,4) + b(5,6,7,8)

69 (3, -2, -7, 12)= a(1,2,3,4) + b(5,6,7,8)

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72 O mesmo exemplo, outra abordagem:
Será que (3, -2, -7, -12) é um elemento de F? Isto é, será que (3, -2, -7, -12) é uma combinação linear de (1,2,3,4) e (5,6,7,8)?

73 O mesmo exemplo, outra abordagem:
Será que (3, -2, -7, 12) é um elemento de F? Isto é, será que (3, -2, -7, -12) é uma combinação linear de (1,2,3,4) e (5,6,7,8)? Se tal se verificar a característica da matriz 34 que tem estes vectores nas suas linhas terá que ser 2.

74 O mesmo exemplo, outra abordagem:

75 O mesmo exemplo, outra abordagem:

76 Como saber qual o espaço gerado por um conjunto de vectores?

77 Como saber qual o espaço gerado por um conjunto de vectores?
Agora ver quais as condições sobre x, y, z e w para a última linha da matriz em escada ser nula

78 Como saber qual o espaço gerado por um conjunto de vectores?

79 Como saber qual o espaço gerado por um conjunto de vectores?

80 Como a última linha ficou nula pode-se concluir que é combinação linear das anteriores.
(Só não se sabe quais são os coeficientes da combinação linear, para o saber é preciso resolver o sistema como se fez antes)

81 Os coeficientes da combinação linear de um vector em relação a uma base chamam-se coordenadas do vector


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