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Universidade Federal Fluminense Integração Numérica.

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Apresentação em tema: "Universidade Federal Fluminense Integração Numérica."— Transcrição da apresentação:

1 Universidade Federal Fluminense Integração Numérica

2 Universidade Federal Fluminense O objetivo da integração numérica (também denominada quadratura numérica) é obter uma aproximação para integrais definidas (com limites de integração finito ou não), singulares e múltiplas de funções reais. A utilização de técnicas numéricas para avaliar integrais é de grande valia quando: não conhecemos a expressão da lei da função integrando, somente valores dessa função em pontos do domínio de integração; o cálculo da função primitiva é trabalhoso e complexo.

3 Universidade Federal Fluminense 1 Integração Numérica sobre um Intervalo Finito 1.1 Integração de Função de uma Variável As fórmulas de integração numérica são construídas a partir do seguinte problema: encontrar n+1 pesos w i e n+1 pontos de integração x i tais que o erro de truncamento E n ( f ) se anule se f por um polinômio de grau menor ou igual a um certo número natural m peso ponto de integração erro de truncamento aproximação

4 Universidade Federal Fluminense Fórmulas de Newton-Cotes As formulas de Newton-Cotes são obtidas escolhendo-se os pontos de integração eqüidistantes no intervalo de integração, [ a,b ], ou seja ( h denota a distância entre os pontos), e determinando-se os pesos da integração, w i, pela integração do polinômio de interpolação de f nos pontos Formulas de Newton-Cotes fechadas: Formulas de Newton-Cotes abertas: limite inferior de integração limite superior de integração

5 Universidade Federal Fluminense Fórmulas de Newton-Cotes Fechadas Regra do Trapézio Simples (ou Regra Trapezoidal Simples) Qual o valor de w 0 e de w 1 ? na qual Verificar que:

6 Universidade Federal Fluminense Regra do Trapézio Simples: Exemplo 1: Estimar o valor da integral usando a regra do trapézio simples.

7 Universidade Federal Fluminense Teorema 1: Erro da regra do trapézio simples Se f é 2 vezes diferenciável em [a,b] e f é contínua em [a,b], então na qual derivada de ordem 2 de f Corolário 1: Sob as hipóteses do teorema anterior na qual derivada de ordem 2 de f

8 Universidade Federal Fluminense Exemplo 2: Estimar o erro cometido no Exemplo 1. OBS:

9 Universidade Federal Fluminense Regra do Trapézio Repetida Usando a propriedade da aditividade com respeito ao intervalo de integração da integral definida obtém-se: Utilizando a regra do trapézio simples obtém-se: e e portanto

10 Universidade Federal Fluminense ou seja, Regra do trapézio repetida 2 vezes !!

11 Universidade Federal Fluminense Vamos generalizar este procedimento. Suponha que pretendemos aplicar a regra do trapézio repetida m vezes para calcular uma aproximação da integral da função f no intervalo [ a,b ]. Primeiro passo: segmentar o intervalo [ a,b ] em m subintervalos [ x i, x i+1 ], com i=0, 1,..., m-1, com comprimentos iguais a h, sendo Segundo passo: utilizar a propriedade da aditividade com respeito ao intervalo de integração da integral definida para decompor a integral original na seguinte soma:

12 Universidade Federal Fluminense Terceiro passo: usar a regra do trapézio simples para aproximar a integral da função f no intervalo [ x i, x i+1 ], ou seja, Quarto passo: substituir a integral do somatório apresentado no segunda passo pela aproximação obtida no terceiro passo, isto é, ou seja,

13 Universidade Federal Fluminense Exemplo 3: Estimar o valor da integral usando a regra do trapézio repetida 10 vezes.

14 Universidade Federal Fluminense Teorema 2: Erro da regra do trapézio repetida Se f é 2 vezes diferenciável em [a,b] e f é contínua em [a,b], então derivada de ordem 2 de f Corolário 2: Sob as hipóteses do teorema anterior na qual derivada de ordem 2 de f na qual m é o número de vezes que a regra é repetida, e

15 Universidade Federal Fluminense Exemplo 4: Estimar o erro cometido no Exemplo 3. OBS:

16 Universidade Federal Fluminense Regra 1/3 de Simpson Simples Qual o valor de w 0, de w 1 e de w 2 ? Verificar quer:

17 Universidade Federal Fluminense Regra 1/3 de Simpson Simples: Exemplo 5: Estimar o valor da integral usando a regra 1/3 de Simpson simples.

18 Universidade Federal Fluminense Teorema 3: Erro da regra 1/3 de Simpson simples Se f é 4 vezes diferenciável em [a,b] e f iv é contínua em [a,b], então na qual derivada de ordem 4 de f Corolário 3: Sob as hipóteses do teorema anterior na qual derivada de ordem 4 de f

19 Universidade Federal Fluminense Exemplo 6: Estimar o erro cometido no Exemplo 5. OBS:

20 Universidade Federal Fluminense Regra 1/3 de Simpson Repetida Usando a propriedade da aditividade com respeito ao intervalo de integração da integral definida obtém-se: Utilizando a regra 1/3 de Simpson simples obtém-se: e e portanto

21 Universidade Federal Fluminense ou seja, Regra 1/3 de Simpson repetida 2 vezes !!

22 Universidade Federal Fluminense Vamos generalizar este procedimento. Suponha que pretendemos aplicar a regra 1/3 de Simpson repetida m vezes para calcular uma aproximação da integral da função f no intervalo [ a,b ]. Primeiro passo: segmentar o intervalo [ a,b ] em 2 m subintervalos [ x i, x i+1 ], com i=0, 1,..., 2m-1, com comprimentos iguais a h, sendo Segundo passo: utilizar a propriedade da aditividade com respeito ao intervalo de integração da integral definida para decompor a integral original na seguinte soma:

23 Universidade Federal Fluminense Terceiro passo: usar a regra 1/3 de Simpson simples para aproximar a integral da função f no intervalo [ x 2k-2, x 2k ], ou seja, Quarto passo: substituir a integral do somatório apresentado no segunda passo pela aproximação obtida no terceiro passo, isto é, ou seja,

24 Universidade Federal Fluminense Exemplo 7: Estimar o valor da integral usando a regra 1/3 de Simpson repetida 3 vezes.

25 Universidade Federal Fluminense Teorema 4: Erro da regra 1/3 de Simpson repetida Se f é 4 vezes diferenciável em [a,b] e f iv é contínua em [a,b], então derivada de ordem 4 de f Corolário 4: Sob as hipóteses do teorema anterior na qual derivada de ordem 4 de f na qual m é o número de vezes que a regra é repetida, e

26 Universidade Federal Fluminense Quadratura Gaussiana Os pontos e os pesos de integração da quadratura Gaussiana de p pontos são calculados para que na qual é uma função polinomial arbitrária de grau 2p-1 ou menor. Por exemplo, os pontos e os pesos de integração da quadratura Gaussiana de 2 pontos devem verificar a seguinte igualdade para todos

27 Universidade Federal Fluminense Colocando em evidência os obtém-se a seguinte igualdade, equivalente a anterior: para todos Logo,

28 Universidade Federal Fluminense OBS: Os pontos e pesos de integração das quadraturas Gaussianas são determinados a partir de polinômios de Legendre, sem a necessidade de se resolver sistemas de equações não-lineares.

29 Universidade Federal Fluminense Como proceder quando os limites de integração não são -1 e 1 ? Usar a seguinte mudança de variável na integral: na qual a e b são, respectivamente, o limite inferior e superior de integração. Logo, e portanto

30 Universidade Federal Fluminense Exemplo 8: Estimar o valor da integral usando a quadratura Gaussiana de 2 pontos. Temos que: Logo,

31 Universidade Federal Fluminense Teorema 5: Erro da quadratura Gaussiana derivada de ordem 2 p Corolário 5: Sob as hipóteses do teorema anterior na qual derivada de ordem 2 p na qual Se é 2p vezes diferenciável em [-1,1] e é contínua em [- 1, 1 ], então

32 Universidade Federal Fluminense Exemplo 9: Estimar o erro cometido no Exemplo 8. OBS:

33 Universidade Federal Fluminense 1.2 Integração de Função de mais de uma Variável Regra do Trapézio Simples para Integral Dupla Notamos que: Mas Portanto

34 Universidade Federal Fluminense Regra do Trapézio Repetida para Integral Dupla

35 Universidade Federal Fluminense Regra 1/3 de Simpson Simples para Integral Dupla Notamos que: Mas

36 Universidade Federal Fluminense Portanto

37 Universidade Federal Fluminense


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