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Onda Plana Uniforme Unidade 2 – Onda Plana Uniforme Objetivos: Desenvolver a equação de onda eletromagnética a partir das equações de Maxwell. Desenvolver.

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1 Onda Plana Uniforme Unidade 2 – Onda Plana Uniforme Objetivos: Desenvolver a equação de onda eletromagnética a partir das equações de Maxwell. Desenvolver a equação de onda eletromagnética a partir das equações de Maxwell. Diferenciar emissor e receptor de ondas eletromagnéticas. Diferenciar emissor e receptor de ondas eletromagnéticas. Determinar a equação de onda plana nos diferentes meios de propagação. Determinar a equação de onda plana nos diferentes meios de propagação. Definir o vetor de Poynting. Relacioná-lo com transmissão de energia. Definir o vetor de Poynting. Relacioná-lo com transmissão de energia. Definir Polarização da onda eletromagnética. Definir Polarização da onda eletromagnética. introdução Propagação de ondas no espaço Lívre Propagação de Ondas em Dielétricos Vetor de Poynting e Considerações de Potência Propagação em Bons Condutores: Efeito Pelicular Polarização de Ondas.

2 Onda Plana Uniforme introdução introdução Inicialmente nesta unidade vamos partir das equações de Maxwell será definida a equação de onda e velocidade de propagação. Este processo será realizado de duas formas diferentes, sendo o segundo método utilizando a interpretação fasorial. Posteriormente serão demonstradas as soluções das equações de onda tanto no espaço livre como no dielétrico. A diferença entre as soluções é apenas a condição de contorno (cc). No meio dielétrico, isotrópico, a onda eletromagnética sofre uma atenuação que será descrito. Sabe-se que a onda transporta energia sem transporte de matéria. Neste ínterim será apresentado o teorema de Poyntig que define a energia de onda eletromagnética bem como a potência transportada. Finalizando, será definido e descrito o processo de polarização da onda eletromagnética.

3 Onda Plana Uniforme Propagação de ondas no espaço Livre Propagação de ondas no espaço Livre Equações de Maxwell Lembrando Constante de permissividade magnética Constante de permissividade elétrica Equações de Maxwell no vácuo

4 Onda Plana Uniforme Propagação de ondas no espaço Livre Propagação de ondas no espaço Livre Se E(t) em um ponto H possui um rotacional em trono do ponto no espaço. Se E(t) H(t) não necessariamente do mesmo modo. Da mesma forma, a 2ª equação indica que E forma pequenos anéis fechados em torno das linhas de H. Determinando as equações de onda. Aplicando-se o rotacional na equação (2) temos. Observando-se a equação (1) =0 devido à equação (3)

5 Onda Plana Uniforme Propagação de ondas no espaço Livre Propagação de ondas no espaço Livre 5 Se observarmos, a equação (5) é análoga a equação de onda Corresponde à equação de onda de uma corda. Portanto: Corresponde à velocidade da luz no vácuo. Exercício: Verificar esta afirmação.

6 Onda Plana Uniforme Desta forma temos as equações de onda para o vácuo: Propagação de ondas no espaço Livre Propagação de ondas no espaço Livre 67 Exercício: Partir das equações de Maxwell e chegar nesta equação. O cálculo da velocidade da luz foi obtida por Maxwell em A 1ª experiência de produção de ondas eletromagnéticas diferentes da luz foi em 1887 realizada por Heinrich Hertz com circuito RLC produzindo 10 8 Hz e =1 m. Interpretação fasorial. Vamos tratar a solução como um caso especial senoidal com o tempo (efetuando a notação complexa e fasores. Dado o campo vetorial Sendo: 8 Função real no espaço

7 Onda Plana Uniforme Propagação de ondas no espaço Livre Propagação de ondas no espaço Livre Lembrando a identidade de Euler: Onde j é 0 número imaginário: Re indica a parte real da função. Suprimindo a função dependente do tempo E x pode ser descrito como um fasor. Identificador do fasor. Indica o domínio da frequência, indicado como uma função de frequência complexa.

8 Onda Plana Uniforme Propagação de ondas no espaço Livre Propagação de ondas no espaço Livre Exemplo1: Expresse a função como um V/m fasor. Exemplo2: Dado o vetor de intensidade do como, E s =100<30 0 a x +20<-50 0 a y +40<210 0 a z V/m identificado como um fasor por seu subscrito s, desejamos o vetor como uma função real do tempo. Solução: considerando a frequencia de1 MHz. Inserindo a dependência temporal:

9 Onda Plana Uniforme Propagação de ondas no espaço Livre Propagação de ondas no espaço Livre Apesar das amplitudes não estarem sendo expressas em função das coordenadas, é possível que isto ocorra. A partir de (8), aplicando-se a equação (1). Tomando apenas a parte real, obtendo o vetor real. Lembrando a identidade de Euler: É o fasor da derivada temporal.

10 Onda Plana Uniforme Propagação de ondas no espaço Livre Propagação de ondas no espaço Livre Substituindo os resultados nas equações de Maxweel (1) a (4) temos: São as equações de Maxwell na forma fasorial para o espaço lívre. Nota-se que (11) e (12) não são mais independentes e podem ser obtidas tomando-se a divergência de (9) e (10). (Isto pode ser comprovado como exercício desenvolvido pelo aluno). Outro exercícios é aplicar a derivada temporal da equação (2) e obter a equação (10).

11 Onda Plana Uniforme Propagação de ondas no espaço Livre Propagação de ondas no espaço Livre Determinando novamente a equação de onda. Aplicando-se o rotacional em (10). 0 – equação (11) equação (9) Fazendo-se: 13 Número de onda do espaço livre.

12 Onda Plana Uniforme Equação Vetorial de Helmholtz Desta forma, a equação de onda: Propagação de ondas no espaço Livre Propagação de ondas no espaço Livre 14 Considerando que E xs constante em x e y temos: 15 Usando apenas a componente x de (14): 16

13 Onda Plana Uniforme Propagação de ondas no espaço Livre Propagação de ondas no espaço Livre A solução da equação (16) pode ser: Reinserindo o fator temporal e tomando-se a parte real temos: Pode ser medido na prática. Valor de E x (0,0). Medido em radianos onde: [ ]=rad/s; [k 0 ]=rad/m sendo k 0 definido como: frequência espacial, número de ondas do espaço livre. É uma constante de fase de uma onda plana uniforme no espaço livr. 17 Onde c é a velocidade da luz. Portanto. A equação (17) pode ser escrita como: 18

14 Onda Plana Uniforme Propagação de ondas no espaço Livre Propagação de ondas no espaço Livre Para t=0. Sabendo-se que a função de onda se repete a cada comprimento de onda, portanto: (espaço livre) Considerando a crista (um ponto). A próxima ocorrência do ponto dever ser após uma volta: 2. Para m-ésima crista da onda temos. A crista da onda move-se na direção positiva de z.

15 Onda Plana Uniforme Propagação de ondas no espaço Livre Propagação de ondas no espaço Livre Retomando às equações de Maxwell (9) a (12) determinaremos H. Dado E s, H s é obtido de (10) Deforma simplificada 0 pois E xs varia apenas na direção z.

16 Onda Plana Uniforme Propagação de ondas no espaço Livre Propagação de ondas no espaço Livre Colocando a dependência temporal 19 Real que é constante. Comparando-se as equações (17) e (19) observa-se que E oscila em x e H em y com a razão de intensidades dada pela relação: 20

17 Onda Plana Uniforme Propagação de ondas no espaço Livre Propagação de ondas no espaço Livre Usando a linguagem de teoria de circuitos, pode-se dizer que E x e H y estão em fase, sendo que a relação refere-se tanto ao espaço quanto ao tempo.

18 Onda Plana Uniforme Propagação de ondas no espaço Livre Propagação de ondas no espaço Livre De acordo com as equações (17) e (19) apresentadas abaixo, observa-se que os máximos de E x e H y ocorrem quando (t-z/c) for múltiplo inteiro de 2 rad. Impedância intrínseca [ ] = ohms = Para o espaço livre: Neste caso a onda é chamada de onda plana uniforme. A energia flui na direção positiva de z. E e H são perpendiculares à direção de propagação. Dúvidas???? Exercícios.

19 Onda Plana Uniforme Propagação de Ondas em Dielétricos Propagação de Ondas em Dielétricos Vamos estudar a propagação da onda eletromagnética no meio dielético considerando-o: Isotrópico e homogênio; Permissividade ; Permeabilidade. Partindo da equação de Helmholtz: 21 O número de onda pode se formalizado: 22 Para E xs temos: 23

20 Onda Plana Uniforme Propagação de Ondas em Dielétricos Propagação de Ondas em Dielétricos Neste caso k pode ser complexo e portanto pode ser escrito da forma: 24 Consequentemente a solução da equação de onda pode ser: 25 Inserindo a parte temporal e j t e multiplicando à (25) temos: 26 É a equação da onda plana uniforme que se propaga na direção z com fase constante. Analisando. >0: diminui a amplitude com o aumento de z com fator e - z. É um coeficiente de atejnuação <0: Amplificador Laser. É coeficiente de ganho

21 Onda Plana Uniforme Propagação de Ondas em Dielétricos Propagação de Ondas em Dielétricos ]=nepers/metro=Np/m -Dado em homenagem a John Napier (Matemático Escocês que que propôs o uso do logarítmo) Examinando a unidade de. Se p/m a amplitude da onda em z=50m. Vezes o valor inicial em z=0 Propagando-se à uma distância 1/ na direção +z a ampitude é reduzida num fator e -1 ou 0,368. O campo elétrico da onda, alterado no meio material, é descrito por uma constante de permissividade complexa. 27 É originado por dois mecanismos que resultam na perda da onda: Oscilações iônicas Relaxamento do dipolo – Estudar o Apêndice D do Hayt Mecanismo adicional: Condução de elétrons livres ou lacunas

22 Onda Plana Uniforme Propagação de Ondas em Dielétricos Propagação de Ondas em Dielétricos Com relação ao campo magnético Com relação ao campo magnético. As perdas podem ocorrer e serem modeladas pela permeabilidade complexa. Exemplos: materiais ferromagnéticos ou ferrites. A resposta magnética é muito fraca quando comparada à resposta do dielétrico, na maioria dos materiais de interesse de propagação de onda. Portanto nesses materiais = 0. Desta forma serão discutidos os mecanismos descritos através da permissividade complexa. Substituindo (27) em (22) 28 é real é complexo – ocorrem perdas quantificadas por.


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