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Ensino Superior 1.3 – Proposições Simples e Compostas Amintas Paiva Afonso Lógica Matemática e Computacional.

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1 Ensino Superior 1.3 – Proposições Simples e Compostas Amintas Paiva Afonso Lógica Matemática e Computacional

2 Proposição NÃO contém nenhuma outra proposição como parte integrante de si mesmo. Minha casa é grande. PROPOSIÇÃO SIMPLES (ÁTOMOS) Seus olhos são azuis. Está calor. PROPOSIÇÕES SIMPLES OU ATÔMICAS

3 São designadas pelas letras latinas minúsculas p,q,r,s,..., chamadas letras proposicionais. p: Minha casa é grande. q: Seus olhos são azuis. r: Está calor. PROPOSIÇÕES SIMPLES OU ATÔMICAS PROPOSIÇÃO SIMPLES (ÁTOMOS)

4 Formada pela combinação de 2 ou mais PROPOSIÇÕES. Minha casa é grande e meu carro é azul. PROPOSIÇAO COMPOSTA (MOLÉCULAS) Seus olhos são azuis ou verdes. Se está calor, então é verão. PROPOSIÇÕES COMPOSTAS OU MOLECULARES

5 São designadas pelas letras latinas maiúsculas P,Q,R,S,..., chamadas letras proposicionais. P: Minha casa é grande e meu carro é azul. Q: Seus olhos são azuis ou verdes. R: Se está calor, então é verão. PROPOSIÇÃO COMPOSTA (MOLÉCULAS) PROPOSIÇÕES COMPOSTAS OU MOLECULARES

6 Também chamadas de fórmulas proposicionais ou fórmulas. PROPOSIÇÃO COMPOSTA (MOLÉCULAS) Notação: P(q,r,s) – significa que P é uma proposição composta das proposições atômicas q,r e s. PROPOSIÇÕES COMPOSTAS OU MOLECULARES

7 Os símbolos da Linguagem do Cálculo Proposicional VARIÁVEIS PROPOSICIONAIS SIMPLES E COMPOSTAS Proposições Simples: letras minúsculas p, q, r, s,.... Ex: A lua é quadrada: p A neve é branca: q Proposições Compostas: letras maiúsculas P, Q, R, S,.... Ex: Carlos é estudante e Pedro é Careca: P Se André é médico então sabe biologia: Q P (p, q, r,...) indica que a proposição composta P é combinação das proposições simples p, q, r,... O valor lógico de uma proposição simples p indica-se por V(p) e o de uma proposição composta P por V(P).

8 Termos usados para formar novas proposições a partir de outras. E E OU NÃO SE... ENTÃO... SE... ENTÃO......SE E SOMENTE SE......SE E SOMENTE SE... Conectivos Lógicos

9 CONECTIVO – Exemplos: P: Minha casa é grande e meu carro é azul. Q: Seus olhos são azuis ou verdes. R: Se está calor então é verão. S: Não está chovendo. T: O triângulo é equilátero se e somente se é equiângulo. Conectivos Lógicos

10 Operadores Lógicos Assim como operamos com números, as proposições também podem ser “operadas” utilizando os operadores lógicos. São eles: Conjunção - E (^) Disjunção - Ou (v) Condicional - Se... então (  ) Bi-condicional - Se e só se (  )

11 Conectivos Lógicos

12 Exemplos A lua é quadrada e a neve é branca. p  q (p e q são chamados conjunctos) A lua é quadrada ou a neve é branca. p  q (p e q são chamados disjunctos) Se a lua é quadrada então a neve é branca. p  q (p é o antecedente e q o consequente) A lua é quadrada se e somente se a neve é branca.: p  q A lua não é quadrada.: ~p

13 Outros Exemplos Pedro é estudante e Carlos professor. p  q (p e q são chamados conjunctos) O triângulo ABC é retângulo ou isósceles. p  q (p e q são chamados disjunctos) Se Roberto é engenheiro então sabe matemática. p  q (p é o antecedente e q o conseqüente) O triângulo ABC é equilátero se e somente se tem os três lados iguais.: p  q Não tenho carro.: ~p

14 Símbolos Auxiliares ( ), servem para denotar o "alcance" dos conectivos. Exemplos: p: a lua é quadrada e q: a neve é branca · Se a lua é quadrada e a neve é branca então a lua não é quadrada.: ((p  q)  ~p) · A lua não é quadrada se e somente se a neve é branca.: ((~p)  q))

15 Definição de Fórmula 1.Toda fórmula atômica é uma fórmula. 2.Se A e B são fórmulas então (A  B), (A  B), (A  B), (A  B) e (~ A) também são fórmulas. 3.São fórmulas apenas as obtidas por 1. e 2.. Os parênteses serão usados segundo a seguinte ordem dos conectivos: ~, , , , . Com o mesmo conectivo adotaremos a convenção pela direita. Exemplo: a fórmula p  q  ~ r  p  ~ q deve ser entendida como (((p  q)  (~ r))  ( p  (~ q)))

16 Negação (~) Dada uma proposição p, sua negação será denotada por ~p (não p). Se p é verdadeira então ~ p será falsa e vice versa. Ex: p = Bia está usando tênis preto. ~p = Bia não está usando tênis preto. p = Esta frase possui cinco palavras. ~p = Esta frase não possui cinco palavras. Chama-se negação de uma proposição p a proposição representada por não p cujo valor lógico é a verdade (v) se p é falsa e a falsidade (f) se p é verdadeira. Simbolicamente: ~p.

17 Sejam as proposições p e q, traduzir para a linguagem corrente as seguintes proposições: 1. p: Está frio e q: Está Chovendo. a) ~p b) p ^ q c) p v q d) q  p e) p  ~q f) p v ~q g) ~p ^ ~q h) p  ~q i) p ^ ~q  p 2. p: Jorge é rico e q: Carlos é feliz. a) q  p b) p v ~q c) q  ~p d) ~p  q e) ~~p f) ~p ^ q  p 3. p: Claudio fala inglês e q: Claudio fala alemão. a) q v p b) p ^ q c) p ^ ~q d) ~p ^ ~q e) ~~p f) ~(~p ^ ~q) 4. p: João é gaúcho e q: Jaime é paulista. a) ~(~p ^ ~q) b) ~~p c) ~(~p v ~q) d) p  ~q e) ~p  ~q f) ~(~q  p)

18 Sejam as proposições p e q, traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições: a) Marcos é alto e elegante b) Marcos é alto, mas não é elegante c) Não é verdade que Marcos é baixo ou elegante d) Marcos não é nem alto e nem elegante e) Marcos é alto ou é baixo e elegante f) É falso que Marcos é baixo ou que não é elegante 5. p: Marcos é alto e q: Marcos é elegante.

19 Sejam as proposições p e q, traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições: a) Suely é pobre, mas feliz b) Suely é rica ou infeliz c) Suely é pobre e infeliz d) Suely é pobre ou rica, mas infeliz 6. p: Suely é rica e q: Suely é feliz.

20 Sejam as proposições p e q, traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições: a) Carlos fala francês ou inglês, mas não fala alemão b) Carlos fala francês e inglês, ou não fala francês e alemão c) É falso que Carlos fala francês mas que não fala alemão d) É falso que Carlos fala inglês ou alemão mas que não fala francês 7. p: Carlos fala francês e q: Carlos fala inglês e r: Carlos fala alemão.

21 Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições matemáticas: 8. a) x = 0 ou x > 0 b) x  0 ou y  0 c) x > 1 ou x + y > 0 d) x 2 = x. x ou x 0 = 1 9. a) (x + y = 0 e z > 0) ou z = 0 b) x = 0 e (y + z > x ou z = 0) d) x + y = 0 e z > 0) ou z = 0 c) x  0 ou (x = 0 e y < 0 e z = 0)

22 Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições matemáticas: 10. a) Se x > 0 então y = 2 b) Se x + y = 2 então z > 0 d) Se z > 5 então x  1 e x  2 c) x = 1 ou z = 2 então y > 1 e) Se x  y então x + z > 5 e y + z < 5 f) Se x + y > z e z = 1 então x + y > 1 g) Se x < 2 então x = 1 ou x = 0 h) Se y = 4 e se x < y então x < 5

23 Gabarito 1. a) Não está frio b) Está frio e está chovendo c) Está frio ou está chovendo d) Está chovendo se e somente se está frio e) Se está frio, então não está chovendo f) Está frio ou não está chovendo g) Não está frio e não está chovendo h) Está frio se e somente se não está chovendo i) Se está frio e não está chovendo, então está frio

24 2. a) Se Carlos é feliz, então Jorge é rico b) Jorge é rico ou Carlos não é feliz c) Carlos é feliz se e somente se Jorge não é rico d) Se Jorge não é rico, então Carlos é feliz e) Não é verdade que Jorge não é rico f) Se Jorge não é rico, e Carlos é feliz, então Jorge é rico Gabarito

25 3. a) Cláudio fala alemão ou inglês b) Cláudio fala inglês e alemão c) Cláudio fala inglês, mas não alemão d) Não é verdade que Cláudio fala inglês e alemão e) Não é verdade que Cláudio não fala inglês f) Não é verdade que Cláudio não fala inglês e nem alemão

26 Gabarito 4. a) Não é verdade que João não é gaúcho e Jaime não é paulista b) Não é verdade que João não é gaúcho c) Não é verdade que João não é gaúcho ou que Jaime não é paulista d) Se João é gaúcho, então Jaime não é paulista e) Se João não é gaúcho então Jaime não é paulista f) Não é verdade que, se Jaime não é paulista, então João é gaúcho

27 Gabarito 5. a) p ^ q b) p ^ ~q c) ~(~p v q) d) ~p ^ ~q e) p v (~p ^ q) f) ~(~p v ~q) 6. a) ~p ^ q b) p v ~q c) ~p ^ ~q d) (~p v q) ^ ~q

28 Gabarito 7. a) (p v q) ^ ~r b) (p ^ q) v ~(p ^ r) c) ~(p ^ ~r) d) ~((q v r) ^ ~p) 8. a) x = 0 v x > 0 b) x  0 v y  0 c) x > 1 v x + y > 0 d) x 2 = x. x v x 0 = 1

29 Gabarito 9. a)(x + y = 0 ^ z > 0) v z = 0 b) x = 0 ^ (y + z > x v z = 0) c) x  0 v (x = 0 ^ y < 0 ^ z = 0) d) (x + y = 0 ^ z > 0) v z = 0

30 Gabarito 10. a) x > 0  y = 2 b) x + y = 2  z > 0 c) x = 1 v z = 2  y > 1 d) z > 5  x  1 ^ x  2 e) x  y  x + z > 5 ^ y + z < 5 f) (x + y > z ^ z = 1)  x + y > 1 g) x < 2  x = 1 v x = 0 h) y = 4 ^ (x < y  x < 5)

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