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Braquistócrona vs. Geodésica Um problema de Cálculo de Variações Hugo Araújo Luso 2006 Hugo Araújo Luso 2006.

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1 Braquistócrona vs. Geodésica Um problema de Cálculo de Variações Hugo Araújo Luso 2006 Hugo Araújo Luso 2006

2 1. Cálculo de Variações Objectivo: Procurar mínimos ou máximos de funcionais. Funcional: Exemplo: Comprimento de arco de curva no plano entre o ponto e. Objectivo: Procurar mínimos ou máximos de funcionais. Funcional: Exemplo: Comprimento de arco de curva no plano entre o ponto e.

3 Luso 2006 Seja de classe Cálculo variacional minimiza funcionais da forma onde e Diz-se que: minimiza a funcional se Seja de classe Cálculo variacional minimiza funcionais da forma onde e Diz-se que: minimiza a funcional se

4 Luso Equação de Euler-Lagrange Pretende-se minimizar a funcional: Assume-se queé de classe Condição necessária para mínimo: Eq. de Euler-Lagrange Uma curva ao longo da qual é verificada a eq. de Euler-Lagrange chama-se de extremal. Pretende-se minimizar a funcional: Assume-se queé de classe Condição necessária para mínimo: Eq. de Euler-Lagrange Uma curva ao longo da qual é verificada a eq. de Euler-Lagrange chama-se de extremal.

5 Luso Casos Particulares da eq. de E-L. 1º Caso - Se F não depende explicitamente de y, isto é, ou equivalentemente,, a equação de E-L escreve-se: 2º Caso - Se F não depende explicitamente de x, isto é, ou equivalentemente,, a equação de E-L implica: 1º Caso - Se F não depende explicitamente de y, isto é, ou equivalentemente,, a equação de E-L escreve-se: 2º Caso - Se F não depende explicitamente de x, isto é, ou equivalentemente,, a equação de E-L implica: Eq. da energia

6 Luso Demonstração do 2º caso particular Seja Logo, qualquer qualquer extremal verifica a eq. da energia. Nota 1: O recíproco é verdadeiro se é de classe e Seja Logo, qualquer qualquer extremal verifica a eq. da energia. Nota 1: O recíproco é verdadeiro se é de classe e

7 Luso Cálculo de Variações - Exemplo Exemplo: Comprimento de arco da curva entre e é dado pela seguinte funcional: Como, e a eq. de E-L é: As extremais para este problema chamam-se geodésicas. Exemplo: Comprimento de arco da curva entre e é dado pela seguinte funcional: Como, e a eq. de E-L é: As extremais para este problema chamam-se geodésicas.

8 Luso Braquistócrona no plano O problema da Braquistócrona foi proposto em 1696 por Johann Bernoulli. Este problema consiste em encontrar a curva que minimiza o tempo de queda, entre dois pontos num mesmo plano vertical, de um corpo largado do ponto inicial e sujeito apenas à força da gravidade. A publicação da solução deste problema em 1697, assinala o inicio do cálculo de variações. O problema da Braquistócrona foi proposto em 1696 por Johann Bernoulli. Este problema consiste em encontrar a curva que minimiza o tempo de queda, entre dois pontos num mesmo plano vertical, de um corpo largado do ponto inicial e sujeito apenas à força da gravidade. A publicação da solução deste problema em 1697, assinala o inicio do cálculo de variações.

9 Luso 2006 Considere-se que o corpo que é largado do ponto e chega ao ponto com e Sejauma curva parametrizada pelo tempo t e o seu vector velocidade. Cálculo do tempo de percurso do corpo pela curva Assumimos que ao longo desta curva se tem Pelo Teorema da Conservação da Energia Considere-se que o corpo que é largado do ponto e chega ao ponto com e Sejauma curva parametrizada pelo tempo t e o seu vector velocidade. Cálculo do tempo de percurso do corpo pela curva Assumimos que ao longo desta curva se tem Pelo Teorema da Conservação da Energia Assumindo que y é função de x: Tempo de percurso entre e ao longo de

10 Luso 2006 Seja Pretende-se minimizar a seguinte funcional: Como, utiliza-se a eq. da energia. Eq. da energia para o problema da Braquistócrona. Utilize-se a seguinte mudança de variável: Pelo teorema da função implícita: Resolução da equação diferencial

11 Luso 2006 A curva paramétrica satisfaz a eq. da energia. Esta curva tem o nome de ciclóide. A curva paramétrica satisfaz a eq. da energia. Esta curva tem o nome de ciclóide. Nota 2: É possível mostrar que: A ciclóide define com função de (expressão difícil de obter); Essa função é de classe e Pela nota 1 satisfaz a eq. de E-L, pelo que é uma extremal; A ciclóide é a única extremal. Usando técnicas de controlo óptimo é ainda possível mostrar que a ciclóide minimiza o tempo de percurso. Nota 2: É possível mostrar que: A ciclóide define com função de (expressão difícil de obter); Essa função é de classe e Pela nota 1 satisfaz a eq. de E-L, pelo que é uma extremal; A ciclóide é a única extremal. Usando técnicas de controlo óptimo é ainda possível mostrar que a ciclóide minimiza o tempo de percurso.

12 Luso 2006 Vai-se comparar o tempo de queda do corpo pela ciclóide com constanteentre os pontos e o tempo de queda do corpo pela geodésica entre os mesmos pontos. Vai-se comparar o tempo de queda do corpo pela ciclóide com constanteentre os pontos e o tempo de queda do corpo pela geodésica entre os mesmos pontos Braquistócrona vs. Geodésica e e

13 Luso 2006 Tempo de queda do corpo numa curva paramétrica. Como já anteriormente tínhamos visto: Tempo de percurso na curva paramétrica. Consideremos a ciclóide com constanteentre os pontos e

14 Luso 2006 Tempo de queda do corpo pela recta entre os pontos e Verifica-se que o caminho mais rápido é pela ciclóide, com o tempo de aproximadamente 1,064. Tempo de percurso pela geodésica. Substituindo, Tempo de percurso pela ciclóide.

15 Luso Tautócrona

16 Luso 2006 Tempo de queda do corpo pela ciclóide entre os pontos e Considere-se a ciclóide: Tempo de queda do corpo pela ciclóide entre os pontos e Considere-se a ciclóide: Analogamente ao que foi feito anteriormente, o tempo de queda do corpo pela ciclóide entre os pontos e, é obtido por: Tempo de percurso entree, largado em

17 Luso 2006 Tempo de queda do corpo pela ciclóide entre os pontos e com, onde Formula para o tempo de percurso entre e, largado em Sejauma curva parametrizada pelo tempo t e o seu vector velocidade. Analogamente ao efectuado anteriormente, pelo teorema da conservação da energia, Sejauma curva parametrizada pelo tempo t e o seu vector velocidade. Analogamente ao efectuado anteriormente, pelo teorema da conservação da energia, Ao longo da ciclóide tem-se:

18 Luso 2006 Utilize-se as seguintes igualdades trigonométricas: Para concluir que: Tempo de percurso entre e, largado em

19 Luso Braquistócrona no cilindro vertical Comece-se por parametrizar o cilindro vertical no plano Considere-se que o corpo que é largado do ponto e chega ao ponto com e A curva no cilindro terá por coordenadas paramétricas. Assuma-se que é função de Proceda-se agora de forma análoga ao efectuado no plano. Comece-se por parametrizar o cilindro vertical no plano Considere-se que o corpo que é largado do ponto e chega ao ponto com e A curva no cilindro terá por coordenadas paramétricas. Assuma-se que é função de Proceda-se agora de forma análoga ao efectuado no plano. Tempo de percurso entre e ao longo da curva

20 Luso 2006 De forma análoga ao efectuado no plano obtem-se a eq. da energia para o problema da Braquistócrona no cilindro vertical: Prosseguindo-se chegou-se à seguinte curva como solução: De forma análoga ao efectuado no plano obtem-se a eq. da energia para o problema da Braquistócrona no cilindro vertical: Prosseguindo-se chegou-se à seguinte curva como solução:

21 Luso Braquistócrona no cilindro horizontal Analogamente ao problema para o cilindro vertical comece-se por parametrizar o cilindro horizontal. Considere-se que o corpo que é largado do ponto e chega ao ponto com e Assuma-se que e proceda-se agora de forma análoga ao efectuado no cilindro vertical. Analogamente ao problema para o cilindro vertical comece-se por parametrizar o cilindro horizontal. Considere-se que o corpo que é largado do ponto e chega ao ponto com e Assuma-se que e proceda-se agora de forma análoga ao efectuado no cilindro vertical. Tempo de percurso entre e ao longo da curva

22 Luso 2006 Analogamente obtem-se a eq. da energia para o problema da Braquistócrona no cilindro horizontal: Utilize-se agora a seguinte mudança de variável:, i. e. Nota 3: Quando, logo o ponto de partida verifica-se para Pelo teorema da função inversa: Obtem-se que: Analogamente obtem-se a eq. da energia para o problema da Braquistócrona no cilindro horizontal: Utilize-se agora a seguinte mudança de variável:, i. e. Nota 3: Quando, logo o ponto de partida verifica-se para Pelo teorema da função inversa: Obtem-se que:

23 Luso 2006 Realize-se agora a seguinte mudança de variável i. e. Obtem-se que: Se Realize-se agora a seguinte mudança de variável i. e. Obtem-se que: Se

24 Luso 2006 Como devemos ter, determina-se a constante, e obtem-se a solução paramétrica. Se Como devemos ter, determina-se a constante, e obtem-se a solução paramétrica. Se

25 Luso 2006 Finalmente obteve-se a seguinte curva como solução: Se Finalmente obteve-se a seguinte curva como solução: Se

26 Luso Braquistócrona crescente no cilindro horizontal Se é ou não possível estender a braquistócrona para além de ? Defina-se o seguinte ramo direito para a Braquistócrona: Se é ou não possível estender a braquistócrona para além de ? Defina-se o seguinte ramo direito para a Braquistócrona:

27 Luso 2006 Nota 4: Mostrámos que a curva paramétrica estendida tem as seguintes propriedades: Define com função de satisfaz a eq. da energia é de classe Logo pela nota 1 a eq. de Euler-Lagrange é satisfeita; Logo conclui-se que a curva ainda é uma extremal do problema da braquistócrona no cilindro horizontal. Nota 4: Mostrámos que a curva paramétrica estendida tem as seguintes propriedades: Define com função de satisfaz a eq. da energia é de classe Logo pela nota 1 a eq. de Euler-Lagrange é satisfeita; Logo conclui-se que a curva ainda é uma extremal do problema da braquistócrona no cilindro horizontal.

28 Luso 2006 Curva paramétrica para :

29 Luso 2006 Bibliografia Clegg, J. C., “Calculus of variations”, Oliver & Boyal, Davis, F. Soares, “O cálculo variacional clássico e algumas das suas aplicações à física matemática”, EDP - Eletricidade de Portugal, Makaremko, G. I. e Kiseliov, A. I., “Calculo Variacional: (Ejemplos y problemas)”, MIR, Hector J. Sussmann and Jan C. Willems, “300 Years of Optimal Control: from the Brachystochrone to the Maximum Principle”. Clegg, J. C., “Calculus of variations”, Oliver & Boyal, Davis, F. Soares, “O cálculo variacional clássico e algumas das suas aplicações à física matemática”, EDP - Eletricidade de Portugal, Makaremko, G. I. e Kiseliov, A. I., “Calculo Variacional: (Ejemplos y problemas)”, MIR, Hector J. Sussmann and Jan C. Willems, “300 Years of Optimal Control: from the Brachystochrone to the Maximum Principle”.


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