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Estatística Erros e var. aleatórias Erros e variáveis aleatórias 1 -tipos dos erros, exactidão e precisão -variáveis aleatórias e seus tipos -função de.

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1 Estatística Erros e var. aleatórias Erros e variáveis aleatórias 1 -tipos dos erros, exactidão e precisão -variáveis aleatórias e seus tipos -função de distribuição cumulativa -função de distribuição de probabilidade, e função densidade de probabilidade -distribuições conjuntas de duas variáveis aleatórias -valor de esperança matemática e suas propriedades -variância e suas propriedades, covariância -desigualdades de Markov e Chebyshev Pontos mais importantes:

2 Estatística Erros e var. aleatórias Revisão sugerida: - Integração de funções simples (linear, exponencial) - Integração de funções simples com duas variáveis - Definição de funções matemáticos - Definição de valor médio de uma função contínua 2

3 Estatística Erros e var. aleatórias Em qualquer área de estudos de que resultem valores numéricos, é essencial uma estimativa dos erros associados à medição, sem isso temos pouca informação. 3 -a concentração de ácido láctico em duas mostras de iogurte produzido pela lactobacilos “A” e “B” são 100mg/l e 107 mg/l respectivamente. Se o erro de determinação for 1 mg/l as amostras são diferentes? E se o erro de determinação for 10 mg/l? - Em quatro réplicas da mesma titulação resultam consumos de 24.69, 24.73, e ml. Podemos desprezar o último valor?

4 Estatística Erros e var. aleatórias 4 Tipos dos erros: -erro grosso: um erro muito sério, a experiência tem que ser repetida -erro aleatório: resultados individuais andam à volta do valor verdadeiro sem uma sequência previsível. A grandeza deste tipo do erro determina a precisão da experiência. É impossível eliminar, mas pode ser facilmente quantificado. -erro sistemático: desvio de medição do valor verdadeiro no mesmo sentido. O termo correspondente a este erro chama-se exactidão. Geralmente é difícil identificar. erro aleatório erro sistemático incerteza

5 Estatística Erros e var. aleatórias 5 Exemplo: 4 alunos (A-D) titularam exactamente 10ml de 0.1M NaOH com exactamente 0.1 HCl. A experiência foi repetida 5 vezes Resultado correcto A B C D ml Preciso, não exacto Não preciso, exacto Não preciso, não exacto Preciso, exacto

6 Estatística Erros e var. aleatórias 6 Objectivos da análise estatística: -cuidadoso planeamento das experiências -análise dos resultados e quantificação dos erros

7 Estatística Erros e var. aleatórias 7 Variáveis aleatórias (v.a.): o resultado (quantidade) de uma experiência (estatística) não se conhece antecipadamente, pois pode ter vários valores, mas se conhece as probabilidades de ocorrência, chama-se a isto uma variável aleatória. Seja X o total do lançamento de dois dados honestos: P { X = 2} = P{( 1, 1)} = 1/ 36 P { X = 3} = P{( 1, 2),( 2, 1)} = 2/ 36 P { X = 4} = P{( 1, 3),( 2, 2),( 3, 1)} = 3/ 36 P { X = 5} = P{( 1, 4),( 2, 3),( 3, 2),( 4, 1)} = 4/ 36 P { X = 6} = P{( 1, 5),( 2, 4),( 3, 3),( 4, 2),( 5, 1)} = 5/ 36 P { X = 7} = P{( 1, 6),( 2, 5),( 3, 4),( 4, 3),( 5, 2),( 6, 1)} = 6/ 36 P { X = 8} = P{( 2, 6),( 3, 5),( 4, 4),( 5, 3),( 6, 2)} = 5/ 36 P { X = 9} = P{( 3, 6),( 4, 5),( 5, 4),( 6, 3)} = 4/ 36 P { X = 10} = P{( 4, 6),( 5, 5),( 6, 4)} = 3/ 36 P { X = 11} = P{( 5, 6),( 6, 5)} = 2/ 36 P { X = 12} = P{( 6, 6)} = 1/ 36

8 Estatística Erros e var. aleatórias 8 Tipos de variáveis aleatórias: -discreta: variável aleatória que só pode ter um número de valores numeráveis e.g. seja Y o número de vezes que se lança uma moeda honesta até sair coroa. P{ Y = 1} = 1/ 2 P{ Y = 2} = 1/ 4... P{ Y = n } = ½ (½) n -1 Y só pode assumir valores inteiros positivos; Os p Y n formam uma sequência infinita numerável. X e Y são variáveis aleatórias discretas. -contínua: pode assumir qualquer valor real positivo, o seu domínio tem a potência do contínuo e.g. duração da vida de uma automóvel

9 Estatística Erros e var. aleatórias 9 Função de distribuição cumulativa: Para descrever variáveis aleatórias e as suas probabilidades é muito útil definir a função F de uma variável aleatória X, F=P(X  x)x  F é a probabilidade de X ter um valor menor ou igual a x. Usando a Função de distribuição cumulativa podemos determinar todas as probabilidades. Suponha que queremos calcular a probabilidade de P(a

10 Estatística Erros e var. aleatórias 10 Exemplo: qual é a probabilidade de X>1 se, Características:-crescente monótona -F(-  )=0 - F(  )=1 -todas as funções reais com estas características definem funções de distribuição P(X>1)= 1-P(X  1)= 1-F(1)= exp(-1)=0.386

11 Estatística Erros e var. aleatórias 11 Função de distribuição de probabilidade: Seja X uma variável aleatória discreta. A função de distribuição de probabilidades p(a) de X é definida pela, p(a)=P(X=a) Características:-X só pode ter valores x 1,x 2,...,x n, onde n é finito, p(x i )>0, i=1,2,...,n p(x)=0, todos outros - -a relação entre F(x) e p(x): -F(x) é uma função de degrau

12 Estatística Erros e var. aleatórias 12 Exemplo: Seja X uma variável aleatória que pode assumir valores de 1,2,3 com as respectivas probabilidades, 1/2, 1/3, 1/6 x p(x) 1 1/6 1/3 1/2 32 x F(x) 1 1/2 5/ p(1)=1/2 p(2)=1/3 p(3)=1/6

13 Estatística Erros e var. aleatórias 13 Função densidade de probabilidade: No caso de uma variável contínua a probabilidade P(X=a)=0. Seja X uma v.a. contínua, existe uma função não negativa f(x) definida para x  R, que tem a propriedade, onde f(x) chama-se Função densidade de probabilidade de X. A probabilidade de X estar em (b-a) é igual o integral de f(x) sob b-a. Também pode se dizer que a probabilidade de X estar na vizinhança de “a” no intervalo  é igual a  f(a),

14 Estatística Erros e var. aleatórias 14 Características: Exemplo: Seja X uma v.a. tal que: Calcule a probabilidade x>1!

15 Estatística Erros e var. aleatórias 15 Distribuições conjuntas de duas v.a.: Muitas vezes o que tem interesse é saber as probabilidades de duas variáveis aleatórias. A definição de função de distribuição conjunta de X e Y, F(x,y)=P(X  x, Y  y)x,y  Teoricamente, qualquer questão de probabilidade sobre X e Y pode ser calculada sabendo F(X,Y). A função de distribuição de individuais, F(x)= P(X  x)= P(X  x, Y  )=F(x,  ); F(y)= P(Y  y)= P(X , Y  y)=F( ,y); As características das funções de distribuição são também verdadeiras para v.a. conjuntas

16 Estatística Erros e var. aleatórias 16 No caso de variáveis discretas, a função de distribuição de probabilidade de X (x 1,x 2,...) e Y (y 1,y 2,...) é definida pela: p(x i,y j )=P(X=x i,Y=y j ) A função de distribuição de probabilidade individual (marginal) pode obter-se: i \ j p (X i) p (Y j) Exemplo: Sequência das probabilidades de ter X filhos e Y filhas numa família portuguesa se: 15% tem 0, 20% tem 1, 35% tem 2 e 30% tem 3 crianças.

17 Estatística Erros e var. aleatórias 17 Se X e Y foram duas v.a.-s contínuas, existe uma função f(x,y) para a qual se verifica: X,Y  R Onde f(x,y) se chama função densidade de probabilidade conjunta de X e Y. As funções densidade de probabilidade marginais são dadas por: A relação entre F(x,y) e f(x,y):

18 Estatística Erros e var. aleatórias 18 Exemplo: Seja f(x,y) a função densidade de probabilidade conjunta das variáveis aleatórias continuas X e Y: Calcule a) P(X>1,Y<1) e b) P(X

19 Estatística Erros e var. aleatórias 19 Distribuições condicionais de duas v.a.: -Discretas: Assim, é relativamente fácil definir a função de distr. de prob. condicional: -Contínuas: -Independência: f(x,y)=f X (x)f Y (y) p(x,y)=p X (x)p Y (y)

20 Estatística Erros e var. aleatórias 20 Valor de esperança matemática: O valor esperança de uma variável aleatória discreta X é a média pesada dos valores possíveis: O factor de peso é a probabilidade do correspondente valor da v.a. Por outras palavras, o valor de esperança é o valor médio que se obtém após um grande número de repetições. Exemplo: Seja X uma v.a. que representa o dinheiro que uma pessoa ganha num jogo de azar (x 1, x 2,... x n ) com as probabilidades respectivas (p(x 1 ), p(x 2 ),... P(x n )). Calcule quanto é que pode esperar ganhar por jogo numa noite. Aproximadamente toda noite Np(x i ) vezes vamos ganhar x i (nota que n i = Np(x i )), por isso o dinheiro total que vamos ganhar:

21 Estatística Erros e var. aleatórias 21 Um caso especial é quando todos os valores de v.a. tem a mesma probabilidade: Exemplo: Calcule o valor de esperança dos lançamentos do um dado

22 Estatística Erros e var. aleatórias 22 Exemplo: Suponha que uma aula teórica deve acabar alguns minutos depois hh:50 min. As que horas vai acabar a aula em média se a função densidade de probabilidade do atraso é dada pela: Em média a aula acaba hh:58 min. Agora, suponha que X é uma v.a. continua. A probabilidade de X estar na vizinhança (para dx pequeno) de x é: P(x

23 Estatística Erros e var. aleatórias 23 Propriedades de valor de esperança matemática: Dada uma v.a. X e a correspondente distribuição de probabilidade. Suponha que estamos interessados no valor de esperança de uma função de g(X) (E[g(X)]). Como se calcule? Discreta: Exemplo: Seja X uma v.a. com a função de distr. de probabilidade: p(0)=0.2p(1)=0.5p(2)=0.3 Calcule E[X 2 ]

24 Estatística Erros e var. aleatórias 24 Exemplo: O tempo que demora a localizar um problema no processamento de leite (X) tem uma função densidade de probabilidade: Contínua: O custo relacionado a reparação é X 3 mil contos. Qual é o custo esperado de resolução dos problemas?

25 Estatística Erros e var. aleatórias 25 Caso especial: transformação linear de v.a., g(X)=aX+b, onde a e b são constantes Discreta: Contínua:

26 Estatística Erros e var. aleatórias 26 As propriedades de valores de esperança pode ser aplicadas para mais que uma v.a. Discreta: Contínua: E.g. E[X 1 + X X n ]= E[X 1 ]+E[ X 2 ]+...+E[ X n ]

27 Estatística Erros e var. aleatórias 27 Variância: As funções de distribuição de probabilidade podem-lhes tornar complicadas, por isso seria muito útil somar as características mais essenciais em umas medidas. O valor de esperança E[X] é um bom candidato, mas insuficiente, porque não fornece informação sobre a dispersão da v.a. em volta da média pesada. E.g.: A altura dos adultos de Portugal em média é 1.70 m. Um extraterrestre de Marte podia pensar que ninguém é mais alto que 1.71m, um outro de Vénus podia pensar que há pessoas mais baixas que 0.1m. O que longe os valores de X podem ser esperados da média  )  -E[X-  ]=0----> não funciona -E[|X-  |] ----> não é conveniente calcular o modulo -E[(X-  ) 2 ]

28 Estatística Erros e var. aleatórias 28 Variância: Var(X)=E[(X-  ) 2 ]=  2 Cálculo alternativo: Exemplo: Calcule a variância dos lançamentos do um dado  2 =91/6-(7/2) 2 =35/12

29 Estatística Erros e var. aleatórias 29 Propriedades da variância:

30 Estatística Erros e var. aleatórias 30 Suponha que num supermercado o peso de embalagem de pimento assado tem  =0.5 kg com Var=0.05kg 2. A dispersão é grande ou não? É difícil avaliar, porque  e Var(X) não têm a mesma dimensão. Desvio padrão (  ): No exemplo anterior,  =0.5 kg e  =0.22kg, a dispersão dos peso das embalagens é bastante grande.

31 Estatística Erros e var. aleatórias 31 Covariância: A covariância é medida de dependência linear entre variáveis aleatórias. Definição de covariância de duas v.a.: Propriedades:a) Cov(X,Y)=Cov(Y,X) b) Cov(X,X)=Var(X) c) Cov(aX,Y)=aCov(X,Y) d) Cov(X+Z,Y)=Cov(X,Y)+Cov(Z,Y) e) v.a. independentes Cov(X,Y)=0

32 Estatística Erros e var. aleatórias 32 Propriedade d) pode ser generalizada para a covariância de  X e  Y: Assim, a variância de soma de n v.a.-s pode ser determinada usando a propriedade b: Independência(!):

33 Estatística Erros e var. aleatórias 33 Exemplos para Cov(X,Y)  0: -altura e peso das pessoas: Pessoas mais altas tendem ser mais pesadas-----> cov>0 -velocidade de reacção dos condutores e a quantidade de álcool consumido: com aumento de álcool bebido, a velocidade de reacção diminuí-----> cov<0 O valor de covariância depende das unidades usadas no cálculo (kg/g; min/s; l/ml, etc.). A “covariância normalizada” chama-se coeficiente de correlação: Independência:  x,y =0

34 Estatística Erros e var. aleatórias 34 Por vezes dado um número de v.a. (e.g. parâmetros de um modelo matemático) e queremos saber a dependência linear entre eles. O resultado é a matriz de covariância (simétrica): Ou em termos de coeficiente de correlação:

35 Estatística Erros e var. aleatórias 35 Desigualdades de Markov e Chebyshev: -Desigualdade de Markov: se a v.a. X for não-negativa, então: v.a. contínua: -Desigualdade de Chebyshev: seja a=k 2 e a v.a. não-negativa igual a (X-  ) 2 :

36 Estatística Erros e var. aleatórias 36 A importância destas desigualdades é que permitem estabelecer limites de probabilidades quando só a média e/ou a variância estão conhecidas (sem saber a função de distribuição de probabilidade) Exemplo: O número de testes feitos num laboratório de controlo de qualidade em média 50/dia. -Calcule o limite da probabilidade do número de testes exceder 75 num dia! P(X>75)  E[X]/75=50/75=2/3 -se a variância for 25, qual é o limite de prob. de o número de testes serem cera de 40-60/dia? P(|X-50|  10)  2 /10 2 =1/ > P(|X-50| 1-1/4=3/4


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