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1 Pesquisa Operacional: Método Simplex – Duas Fases.

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1 1 Pesquisa Operacional: Método Simplex – Duas Fases

2 Minimizar Z = 3x 1 + 2x 2 Restrições: 2x 1 + x 2 10 x 1 + 5x 2 15 x 1 0 x 2 0 Exemplo 1: Minimização da função objetivo Pode-se transformar em um problema de maximização da seguinte forma:

3 Passo 1:Transformar para maximização e introduzir as variáveis de folga. Multiplicar a função objetivo por (-1) para utilizar o método Simplex como foi efetuado anteriormente na maximização. Max(-z) = Min(z) Max (-z) = -3x 1 - 2x 2 Restrições: 2x 1 + x 2 10 x 1 + 5x 2 15 x 1 0 e x 2 0 Minimizar Z = 3x 1 + 2x 2 Restrições: 2x 1 + x 2 10 x 1 + 5x 2 15 x 1 0 x 2 0

4 Passo 1:inserir as variáveis de folga. Max(-z) = Min(z) Max (-z) = -3x 1 - 2x 2 Restrições: 2x 1 + x 2 10 x 1 + 5x 2 15 x 1 0 e x 2 0 2x 1 + x 2 + f 1 = 10 x 1 + 5x 2 + f 2 = 15 2x 1 + x2 x2 + 1f 1 + 0f 2 = 10 x1 x1 + 5x 2 + 0f 1 + 1f 2 = 15 Função objetivo: -z + 3x 1 + 2x 2 + 0f 1 + 0f 2 = 0

5 Passo 2: Montagem do quadro de cálculos. BASEx1x1 x2x2 f1f1 f2f2 b f1f f2f z x 1 + x 2 + 1f 1 + 0f 2 = 10 x 1 + 5x 2 + 0f 1 + 1f 2 = 15 Função objetivo: -z + 3x 1 + 2x 2 + 0f 1 + 0f 2 = 0

6 Passo 3: Escolha da solução básica viável inicial. – Variáveis não-básicas: – Variáveis básicas: – Função objetivo:

7 1ª Iteração Passo 4: Variável que deve entrar na base. Qual é o produto que mais contribui para o lucro? (maior valor positivo (-z) = x 1 BASEx1x1 x2x2 f1f1 f2f2 b f1f f2f z32000 X1X1 Maior valor positivo

8 Passo 5: Variável que deve sair da base. Divisões: 1ª linha: 2ª linha: O menor quociente ocorreu na 1ª linha. Logo, a variável que deve sair é : f 1 BASEx1x1 x2x2 f1f1 f2f2 b f1f f2f z32000 Pivô (cruzamento) = 2

9 Passo 6: Transformação da matriz. Deverão ser realizadas as operações com as linhas da matriz, de forma que a coluna de X 1 venha a se tornar um vetor identidade, com o elemento 1 na 1ª linha. BASEx1x1 x2x2 f1f1 f2f2 b x1x1 1 f2f2 0 -z0 Entra X 1 no lugar de f 1

10 BASEx1x1 x2x2 f1f1 f2f2 b f1f f2f z Passo 6: Transformação da matriz. BASEx1x1 x2x2 f1f1 f2f2 b x1x1 11/2 05 f2f2 0-9/21/2-10 -z 01/2-3/20-15 Matriz de cálculo anterior L2 L2 – L1 L1 L1 / 2 L3 L3 - 3L3

11 Nova solução: – Variáveis não-básicas: – Variáveis básicas: – Função objetivo:

12 2ª Iteração Passo 4: Variável que deve entrar na base. Qual é o produto que mais contribui para o lucro? (maior valor positivo (-z) = x 2 ) X2X2 Maior valor positivo BASEx1x1 x2x2 f1f1 f2f2 b x1x1 11/2 05 f2f2 0-9/21/2-10 -z 01/2-3/20-15

13 Passo 5: Variável que deve sair da base. Divisões: 1ª linha: 2ª linha: O menor quociente ocorreu na 2ª linha. Logo, a variável que deve sair é : f 2 Pivô (cruzamento) = -9/2 BASEx1x1 x2x2 f1f1 f2f2 b x1x1 11/2 05 f2f2 0-9/21/2-10 -z 01/2-3/20-15

14 Passo 6: Transformação da matriz. Deverão ser realizadas as operações com as linhas da matriz, de forma que a coluna de X 2 venha a se tornar um vetor identidade, com o elemento 1 na 2ª linha. BASEx1x1 x2x2 f1f1 f2f2 b x1x1 0 x2x2 1 -z0 Entra X 2 no lugar de f 2

15 BASEx1x1 x2x2 f1f1 f2f2 b x1x1 11/2 05 f2f2 0-9/21/2-10 -z 01/2-3/20-15 Passo 6: Transformação da matriz. BASEx1x1 x2x2 f1f1 f2f2 b x1x1 105/9-1/93,88 x2x2 01-1/92/92,22 -z 00-1,44-0,11-16,11 Matriz de cálculo anterior L2 – 2L2/9 L1 L1 - L2/2 L3 L3 – L2/2

16 Assim, obtemos a solução ótima para: x 1 = 3,89f 1 = 0 x 2 = 2,22f 2 = 0 -z = -16,11z = 16,11 BASEx1x1 x2x2 f1f1 f2f2 b x1x1 105/9-1/93,88 x2x2 01-1/92/92,22 -z 00-1,44-0,11-16,11

17 Quando maximizamos ou minimizamos uma função objetivo temos: Maximizar L = x 1 + 2x 2 Restrições: 3x 1 + 4x x 1 + 2x 2 20 x 1 0 x 2 0 Minimizar Z = 3x 1 + 2x 2 Restrições: 2x 1 + x 2 10 x 1 + 5x 2 15 x 1 0 x 2 0 delimita o maior valor possível para as restrições delimita o menor valor possível para as restrições

18 O método Simples Duas Fases resolve problemas das restrições conforme demonstrado abaixo: Maximizar L = x 1 + 2x 2 Restrições: 3x 1 + 4x x 1 + 2x 2 = 20 x 1 0 x 2 0 Minimizar Z = 3x 1 + 2x 2 Restrições: 2x 1 + x 2 = 10 x 1 + 5x 2 15 x 1 0 x 2 0 Solução não existe

19 19 Método Simplex – Duas Fases O Método Simplex utiliza uma solução inicial viável para começar o processo iterativo, trabalhando sempre dentro da região viável. Nos casos apresentados de maximização até o presente momento, a solução para xi = 0, para i = 1,..., n era uma solução viável, já que todas as restrições apresentadas foram do tipo (). Quando as restrições são do tipo (=) ou (), esta solução não existe.

20 Seja o exemplo abaixo: minimizar z = 10 x x x 3 sujeito a:8 x x x x x 2 8 x 1, x 2, x 3 0 Como temos uma restrição do tipo ( ), a variável de folga deve ter coeficiente negativo, tendo o significado de uma variável de excesso.

21 O problema transformado é: minimizar z = 10 x1 x1 + 4 x2 x2 + 5 x3x3 sujeito a:8 x1 x1 + 3 x2 x2 + 4 x3 x3 - f1 f1 = 10 4 x1 x1 + 3 x2 x2 + f2 f2 = 8 x 1, x 2, x 3, f 1, f2 f2 0 onde f 1 é uma variável de excesso e f 2 é uma variável de folga.

22 Pelo processo de solução anterior, a variável de excesso (f 1 ) passaria a ter valor negativo na solução inicial (-10), o que não é permitido. Assim, a solução x 1 = x 2 = x 3 = 0 é inviável. É necessário então encontrar uma solução viável para que o método Simplex possa ser iniciado.

23 A forma de se resolver isto é inventando novas variáveis, também chamadas de variáveis artificiais, e representadas por z i. Uma variável artificial será colocada em cada restrição do modelo, ou seja: 8 x x x 3 - f 1 + z 1 = 10 4 x x 2 + f 2 + z 2 = 8 x 1, x 2, x 3, f 1, f 2, z 1, z 2 0 Percebe-se que o problema com as restrições acima não é o mesmo problema, a não ser que todas as variáveis z i sejam iguais a zero.

24 Desta forma, podemos resolver o problema em duas fases: Na primeira fase, substituímos a função objetivo original por uma função objetivo auxiliar da seguinte forma: Soma-se as variáveis das duas restrições: 8 x x x 3 - f 1 + z 1 = 10 4 x x x 3 + f 2 + z 2 = 8 12 x x x 3 - f 1 + f 2 + z 1 + z 2 = 18 Representa-se as restrições em função de z 1 e z 2 12 x x x 3 - f 1 + f = - z 1 - z 2 portanto, a função objetivo auxiliar será: zaux = - z1 - z2 = 12 x x x 3 - f 1 + f

25 Nesse momento, aplicamos o método Simplex de forma a maximizar a função objetivo auxiliar, com as restrições contendo as variáveis auxiliares. A função objetivo auxiliar será maximizada quando todas as variáveis z i forem iguais a zero, já que não podem conter valores negativos. A primeira fase do problema então consiste na maximização da função objetivo auxiliar, que fornecerá uma solução viável para o problema original. A segunda fase consiste em resolver o problema original tomando como solução inicial os valores obtidos pela primeira fase para as variáveis x i e f i.

26 Resolvendo o problema: minimizar z = 10 x x x 3 sujeito a:8 x x x 3 - f 1 + z 1 = 10 4 x x 2 + f 2 + z 2 = 8 x 1, x 2, x 3, f 1, f 2 0 zaux = - z 1 - z 2 = 12 x x x 3 - f 1 + f z = -z = 10 x x x 3 - 0f 1 + 0f 2 + 0z 1 + 0z 2 Função objetivo: Função objetivo auxiliar:

27 Para resolver o problema, monta-se o quadro de forma semelhante à sistemática anterior, colocando-se a função objetivo artificial na última linha. Basex1x1 x2x2 x3x3 f1f1 f2f2 z1z1 z2z2 b z1z z2z z' = - z z aux Como o problema é de minimização e vamos maximizar, é necessário multiplicar a função objetivo auxiliar por (-1). Aplica-se Simplex usando como função objetivo a última linha.

28 Quando a solução ótima for atingida, dois casos podem ocorrer: z aux = 0: neste caso foi obtida uma solução básica do problema original e o processo de solução deve continuar, desprezando-se as variáveis artificiais e os elementos da última linha. É o início da segunda fase do processo. z aux 0: neste caso o problema original não tem solução viável, o que significa que as restrições devem ser inconsistentes.

29 Fase 1 - Primeira iteração Variável a entrar na base: x 1 (coluna com maior valor negativo na última linha) Variável a sair da base: z 1 (o quociente 10/8 é o menor quociente entre a última coluna e a coluna da variável x 1, que vai entrar na base) Basex1x1 x2x2 x3x3 f1f1 f2f2 z1z1 z2z2 b z1z z2z z' = -z z aux Pivô = 8 x1x Montagem da matriz identidade

30 Basex1x1 x2x2 x3x3 f1f1 f2f2 z1z1 z2z2 b x1x1 13/81/2-1/801/805/4 z2z2 03/6-21/21-1/213 z' = - z 01/405/40-5/40-12,5 z aux 0-3/62-1/23/20-3 L1 L1 / 8 L4 L L1 L2 L2 - 4 L1 L3 L L1 Basex1x1 x2x2 x3x3 f1f1 f2f2 z1z1 z2z2 b z1z z2z z' = - z z aux Matriz de cálculo anterior

31 Fase 1 – Segunda iteração Variável a entrar na base: x 2 (coluna com maior valor negativo na última linha) Variável a sair da base: z 2 (o quociente 3/(3/2) é o menor quociente entre a última coluna e a coluna da variável x 2, que vai entrar na base) Pivô = 3/6 X2X Montagem da matriz identidade Basex1x1 x2x2 x3x3 f1f1 f2f2 z1z1 z2z2 b x1x1 13/81/2-1/801/805/4 z2z2 03/6-21/21-1/213 z' = -z01/405/40-5/40-12,5 z aux 0-3/62-1/23/20-3

32 Basex1x1 x2x2 x3x3 f1f1 f2f2 z1z1 z2z2 b x1x /4 1/4-1/41/2 x2x2 01-4/31/32/3-1/32/32 z' = -z001/37/6-1/6-7/61/6-13 z aux Basex1x1 x2x2 x3x3 f1f1 f2f2 z1z1 z2z2 b x1x1 13/81/2-1/801/805/4 z2z2 03/6-21/21-1/213 z' = - z 01/405/40-5/40-12,5 z aux 0-3/62-1/23/20-3 Matriz de cálculo anterior L2 2 L2 / 3 L1 L1 - 3 L2 / 8 L3 L3 - L2 / 4 L4 L4 + 3 L2 / 2 Como na última linha o valor da função objetivo artificial é zero, a primeira fase terminou e a solução encontrada é a solução básica inicial para a segunda fase.

33 Removendo a última linha e as colunas referentes às variáveis artificiais, o quadro se torna: Basex1x1 x2x2 x3x3 f1f1 f2f2 z1z1 z2z2 b x1x /4 1/4-1/41/2 x2x2 01-4/31/32/3-1/32/32 z' = -z001/37/6-1/6-7/61/6-13 z aux Basex1x1 x2x2 x3x3 f1f1 f2f2 b x1x /4 1/2 x2x2 01-4/31/32/32 z' = -z001/37/6-1/6-13 Retirar z aux, z 1 e z 2 Matriz para 2ª fase

34 Fase 2 - Primeira iteração Variável a entrar na base: f 2 (coluna com maior valor negativo na última linha) Variável a sair da base: x 2 (o quociente 2/(2/3) é o menor quociente entre a última coluna e a coluna da variável f 2, que vai entrar na base) Pivô = 2/3 f2f Montagem da matriz identidade Basex1x1 x2x2 x3x3 f1f1 f2f2 b x1x /4 1/2 x2x2 01-4/31/32/32 z' = -z001/37/6-1/6-13

35 Basex1x1 x2x2 x3x3 f1f1 f2f2 b x1x /4 1/2 x2x2 01-4/31/32/32 z' = -z001/37/6-1/6-13 Matriz de cálculo anterior Basex1x1 x2x2 x3x3 f1f1 f2f2 b x1x1 13/81/2-1/805/4 f2f2 03/6-21/213 z' = -z01/405/40-12,5 L1 L1 + L2 / 4 L2 3 L2 / 2 L3 L3 + L2 / 6 Todos os valores da última linha (função z-transformada) são positivos ou nulos, concluímos que a solução encontrada é ótima.

36 x 1 = 1,25 x 2 = 0 z = -z' = 12,5 Basex1x1 x2x2 x3x3 f1f1 f2f2 b x1x1 13/81/2-1/805/4 f2f2 03/6-21/213 z' = -z01/405/40-12,5 Resposta ao problema: minimizar z = 10 x x x 3 sujeito a:8 x x x x x 2 8 x 1, x 2, x 3, f 1, f 2 0

37 37 Memória de aula 1.Formulação de um problema utilizando modelos matemáticos. 2.Funcionamento do método simplex. 3.Maximizar uma função usando o método simplex. 4.Minimizar uma função usando o método simplex. 5.Funcionamento do método simplex duas Fases. 6.Resolver lista de exercícios (lista 4) disponível no site.

38 38 Bibliografia indicada LISBOA, Erico Fagundes Anicet. Rio de Janeiro, versão digital disponível na Internet (http://www.ericolisboa.eng.br).http://www.ericolisboa.eng.br ANDRADE, Eduardo Leopoldino de. Introdução à Pesquisa Operacional: métodos e modelos para a análise de decisão. Rio de Janeiro: Editora LTC, LACHTERMACHER, Gerson. Pesquisa Operacional na Tomada de Decisões: modelagem em Excel. Rio de Janeiro: Editora Elsevier, 2004.


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