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Determinantes Consideramos o conjunto das matrizes quadradas de elementos reais. Determinante de ordem 1 M = EXEMPLO: A = det M = a 11 det A =16 Seja M.

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1 Determinantes Consideramos o conjunto das matrizes quadradas de elementos reais. Determinante de ordem 1 M = EXEMPLO: A = det M = a 11 det A =16 Seja M uma matriz de ordem n desse conjunto. Chamamos determinante da matriz M o número que podemos obter operando com os elementos de M da seguinte forma:

2 Determinantes Determinante de ordem 2 det M = EXEMPLO: A = det A =5.3 M = a 11. a 22 - a 12. a 21 1.7 =8 -

3 Determinantes Determinante de ordem 3 M = Regra de Sarrus det M = (a 11.a 22.a 33 + a 12.a 23.a 31 + a 13.a 21.a 32 ) – (a 13.a 22.a 31 + a 11.a 23.a 32 + a 12.a 21.a 33 ) a 11.a 22.a 33 a 12.a 23.a 31 a 13.a 21.a 32 a 12.a 21.a 33 a 11.a 23.a 32 a 13.a 22.a 31

4 Determinantes Determinante de ordem 3 A = EXEMPLO: det A = (1.5.4 + (-2).2.3 + 3.0.(-1)) – (3.5.3 + 1.2.(-1) + (-2).0.4) 1.5.4 (-2).2.3 3.0.(-1) (-2).0.4 1.2.(-1) 3.5.3 - 35

5 Determinantes Teorema Fundamental (Laplace) Menor Complementar Dada uma matriz quadrada A, chamamos menor complementar do A = M 11 = elemento aij, e indicamos por Mij, o determinante da matriz quadrada de ordem n – 1, que se obtém suprimindo a linha i e a coluna j da matriz A.

6 Determinantes Teorema Fundamental (Laplace) Menor Complementar A = M 23 = Dada uma matriz quadrada A, chamamos menor complementar do elemento aij, e indicamos por Mij, o determinante da matriz quadrada de ordem n – 1, que se obtém suprimindo a linha i e a coluna j da matriz A.

7 Determinantes Teorema Fundamental (Laplace) Co-fator Chamamos co-fator do elemento aij, e indicamos com Aij, A = A ij = (-1) i+j.M ij A 11 =(-1) 1+1.M 11 = (-1) 2. o número (–1) i+j · Mij, em que Mij é o menor complementar de aij.

8 Determinantes Teorema Fundamental (Laplace) Co-fator A = Matriz co-fator Cof A= A ij = (-1) i+j.M ij

9 Determinantes Teorema Fundamental (Laplace) Determinante de uma matriz de ordem n O determinante de uma matriz quadrada de ordem n,, é a soma dos A = det A =a 11.A 11 + a 21.A 21 + a 31.A 31 det A =a 21.A 21 + a 22.A 22 + a 23.A 23 det A =a 31.A 31 + a 32.A 32 + a 33.A 33 o número (–1) i+j · Mij, em que Mij é o menor complementar de aij.

10 Determinantes Regra de Chió Abaixamento de ordem de um determinante Exemplo: A = B= = det A = det B


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