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Álgebra Linear e Geometria Analítica 11ª aula. Rectas no plano, no espaço e em  n Planos no espaço e em  n.

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1 Álgebra Linear e Geometria Analítica 11ª aula

2 Rectas no plano, no espaço e em  n Planos no espaço e em  n

3 Em geometria euclidiana:

4 2 pontos definem uma recta

5 Em geometria euclidiana: 2 pontos definem uma recta ou 1 ponto e a direcção da recta

6 Em geometria euclidiana: 2 pontos definem uma recta ou 1 ponto e a direcção da recta ou seja: 1 ponto + 1 vector

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8 (u 1,u 2 ) (v 1,v 2 ) (u 1 +v 1, u 2 +v 2 )

9 (u 1,u 2 ) (v 1,v 2 ) (u 1 +v 1, u 2 +v 2 ) (-3,2) (4,6)

10 u=(7,4) (4,6) (-3,2)

11 Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?

12 É preciso encontrar uma condição a que obedeçam os pontos da recta e só esses.

13 (u 1,u 2 ) (ku 1,ku 2 ) u

14 (u 1,u 2 ) (ku 1,ku 2 ) u uu uu

15 Como encontrar a tal condição? Comecemos com a recta do exemplo: A = (-3, 2) ponto u = (7, 4)vector

16 Como encontrar a tal condição? Comecemos com a recta do exemplo: A = (-3, 2) ponto u = (7, 4)vector P = (x, y) ponto geral da recta

17 Como encontrar a tal condição? Comecemos com a recta do exemplo: A = (-3, 2) ponto u = (7, 4)vector P = (x, y) ponto geral da recta P = A +  u

18 Como encontrar a tal condição? Comecemos com a recta do exemplo: A = (-3, 2) ponto u = (7, 4)vector P = (x, y) ponto geral da recta P = A +  u (x, y) = (-3, 2) +  (7, 4)

19 Como encontrar a tal condição? P = A +  u (x, y) = (-3, 2) +  (7, 4)equação vectorial equações paramétricas

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23 Como encontrar a tal condição? Comecemos com a recta do exemplo: A = (-3, 2) ponto u = (7, 4)vector P = (x, y) ponto geral da recta

24 Como encontrar a tal condição? Comecemos com a recta do exemplo: A = (-3, 2) ponto u = (7, 4)vector P = (x, y) ponto geral da recta Equação Cartesiana

25 Observemos: A = (-3, 2) ponto u = (7, 4)vector

26 Observemos: A = (-3, 2) ponto u = (7, 4)vector

27 Observemos: A = (-3, 2) ponto u = (7, 4)vector

28 Equação geral da recta no plano:

29 Em geral: A = (a 1, a 2 ) ponto u = (u 1, u 2 )vector (x, y) = (a 1, a 2 ) +  (u 1, u 2 )

30 Em geral: A = (a 1, a 2 ) ponto u = (u 1, u 2 )vector (x, y) = (a 1, a 2 ) +  (u 1, u 2 )

31 Em geral: A = (a 1, a 2 ) ponto u = (u 1, u 2 )vector (x, y) = (a 1, a 2 ) +  (u 1, u 2 )

32 Em geral: A = (a 1, a 2 ) ponto u = (u 1, u 2 )vector (x, y) = (a 1, a 2 ) +  (u 1, u 2 )

33 Em geral: A = (a 1, a 2 ) ponto u = (u 1, u 2 )vector (x, y) = (a 1, a 2 ) +  (u 1, u 2 )

34 Em geral: A = (a 1, a 2 ) ponto u = (u 1, u 2 )vector (x, y) = (a 1, a 2 ) +  (u 1, u 2 ) Equação reduzida

35 Equação reduzida: Diz-se que temos uma equação reduzida da recta no plano se tivermos uma equação do tipo: y = m x + h

36 Equação reduzida: Diz-se que temos uma equação reduzida da recta no plano se tivermos uma equação do tipo: y = m x + h

37 u1u1 u2u2 

38 u1u1 u2u2 

39 Declive da recta: A chama-se declive da recta

40 Declive da recta: A chama-se declive da recta y = m x + h m declive hordenada na origem

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42 Declive da recta: A chama-se declive da recta Rectas paralelas têm o mesmo declive

43 -2x + y = -4 -2x + y = -1 -2x + y = 1 -2x + y = 6

44 Rectas ortogonais: A recta L definida por { A +  u } é ortogonal à recta L’ definida por { B +  v } se os vectores u e v forem ortogonais, isto é se u. v = 0

45 y = 2x + 2

46 Rectas ortogonais: Supor que: L definida por { A +  u } tem equação reduzida y = m x + h L’ definida por { B +  v } tem equação reduzida y = m’ x + h’ Se as rectas são ortogonais qual a relação entre m e m’?

47 Recta L: Recta L’:

48 Recta L: Recta L’:

49 Recta L: Recta L’:

50 Recta L: Recta L’:

51 Ângulo de duas rectas: O ângulo de duas rectas é igual ao ângulo entre os vectores que definem as rectas

52 Posição relativa de duas rectas: Duas rectas no plano podem ser: Paralelas Coincidentes Concorrentes: – Perpendiculares – Oblíquas

53 Posição relativa de duas rectas: Como reconhecer cada caso?

54 Posição relativa de duas rectas: Como reconhecer cada caso?

55 Posição relativa de duas rectas: Como reconhecer cada caso?

56 1º caso: sistema possível e determinado: as rectas são concorrentes 2º caso: sistema impossível: as rectas são paralelas 3º caso:sistema indeterminado: as rectas são coincidentes

57 Distância de um ponto a uma recta

58 Exemplo

59 Equação da recta: Equação geral da família de rectas perpendiculares à recta: Equação da recta perpendicular à recta dada que passa no ponto A = (5, 1): h = 4   1 = 17

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63 Outra forma de calcular a distância: Encontrar um vector n normal à recta Considerar um ponto P sobre a recta Considerar o vector AP Fazer a projecção de AP sobre n.

64 Distância do ponto A = (x 1, y 1 ) à recta de equação ax + by + c = 0

65 Rectas em  3 Para definir uma recta são necessários: 2 pontos ou 1 ponto e 1vector

66 u P + u P L = {0 +  u} L’ = {P +  u}

67 Equações de rectas no espaço: L = {P +  u} com P = (p 1, p 2, p 3 ) e u = (u 1,u 2,u 3 )

68 Equações de rectas no espaço: L = {P +  u} com P = (p 1, p 2, p 3 ) e u = (u 1,u 2,u 3 )

69 Equações de rectas no espaço: L = {P +  u} com P = (p 1, p 2, p 3 ) e u = (u 1,u 2,u 3 )

70 Planos em  3 Para definir um plano são necessários: 3 pontos não colineares ou 1 ponto e 2 vectores linearmente independentes 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano

71 Planos em  3 Um plano M é um conjunto de pontos da forma: em que P é um ponto e u e v são vectores linearmente independentes.

72 Exemplo Encontrar uma condição que defina o plano M sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)

73 Exemplo Encontrar uma condição que defina o plano M sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4) (x, y, z) = (1,2,-3) +  (1,2,1) +  (1,0,4)

74 Exemplo Encontrar uma condição que defina o plano M sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4) (x, y, z) = (1,2,-3) +  (1,2,1) +  (1,0,4)

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78 Exemplo (outra forma de calcular) Encontrar uma condição que defina o plano M sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)

79 Exemplo Encontrar uma condição que defina o plano M sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4) 1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao plano

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85 Distância de um ponto a um plano: Q ponto que não pertence ao plano

86 Distância de um ponto a um plano: Q ponto que não pertence ao plano n vector ortogonal ao plano

87 Distância de um ponto a um plano: Q ponto que não pertence ao plano n vector ortogonal ao plano

88 Distância de um ponto a um plano: Q = (x 0, y 0, z 0 ) ponto que não pertence ao plano n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação ax + by + cz + d = 0

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90 P n Q

91 P n Q

92 P n Q

93 Ângulo entre dois planos: O ângulo entre dois planos é igual ao ângulo entre os vectores ortogonais aos planos

94 Posição relativa de dois planos: A intersecção de dois planos não paralelos é uma recta Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia ou são coincidentes

95 Posição relativa de dois planos: A intersecção de dois planos não paralelos é uma recta Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia ou são coincidentes Planos paralelos têm o mesmo vector ortogonal. Dois planos paralelos são coincidentes se um ponto de um dos planos pertencer ao outro.

96 Planos paralelos: ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são paralelos o vector normal é n = (a, b, c)

97 Planos paralelos: ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são paralelos o vector normal é n = (a, b, c) A distância entre os dois planos paralelos é dada por

98 Ângulos entre rectas e planos: Define-se o ângulo entre uma recta e um plano através do ângulo entre um vector com a direcção da recta e um vector normal ao plano.

99 Ângulos entre rectas e planos: Define-se o ângulo entre uma recta e um plano através do ângulo entre um vector com a direcção da recta e um vector normal ao plano. Qual a relação entre estes ângulos?


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