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Entre nós Jorge Picado Departamento de Matemática Universidade de Coimbra ~ tranças e números racionais ~

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Apresentação em tema: "Entre nós Jorge Picado Departamento de Matemática Universidade de Coimbra ~ tranças e números racionais ~"— Transcrição da apresentação:

1 Entre nós Jorge Picado Departamento de Matemática Universidade de Coimbra ~ tranças e números racionais ~

2 Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais 1 Nós de marinheiro Lais de guia : o favorito dos velejadores. Este nó é ideal para fazer um lacete numa ponta de corda, não escorrega e é fácil de desfazer se não estiver sobre pressão. Algumas pessoas gostam de o memorizar dizendo "o coelho sai da sua toca, dá uma volta à árvore e volta para a toca". Nó de oito : Nó de travagem - evita que o cabo escape.

3 Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais 2 O que é um nó matemático O resultado é um fio entrelaçado, sem pontas. Um nó é isto, pensando no fio como não tendo espessura, a sua secção sendo um ponto. Formando um nó (matemático) com um bocado de fio:

4 Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais 2 O que é um nó matemático Nó : curva fechada no espaço que nunca se auto-intersecta. Nó trivial (Não-nó) Trevo (Nó cego) Nó de Oito

5 Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais 3 Como manipular (desatar) um nó? Alexandre o Grande: espada Matemáticos: deformações (transformações) contínuas. Nó Górdio

6 7 para 3 cruzamentos Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais 4 5 para 3 cruzamentos Disfarces do trevo

7 Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais 5 A versão de seis cruzamentos do lais de guia é a representação mais simples possível deste nó. Diz-se que o lais de guia tem número de cruzamento A versão mais simples de um nó pode, em alguns casos, parecer muito diferente da sua aparência usual.

8 Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais 6 Manipulação de nós: movimentos de Reidemeister Qualquer deformação de um nó pode ser alcançada por uma sequência de três tipos de movimento:

9 Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais 7 Quando é que dois nós são o mesmo? (envolve geralmente a transformação de um diagrama em outro diagrama) [O Monstro, L. Kauffman]

10 Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais 8 E quando é que dois nós não são o mesmo? (Envolve a questão mais subtil de garantir quando é que uma tal transformação não é possível) Exemplos de invariantes: Número de cruzamento Número de desatamento Uma tal garantia envolve a noção de invariante

11 Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais 9 Classificação Lista dos nós primos até 9 cruzamentos. Nó primo: nó que não é composição de nós mais simples.

12 Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais TOTAL: Cruzamentos - Nós [J. Hoste, M. Thistlethwaite, J. Weeks]

13 Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais 9 Mais exemplos de invariantes: Número de cruzamento Número de desatamento Número de coloração Número de ponte Polinómios: Alexander, Conway, Jones Invariantes de Vassiliev.

14 Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais 10 Polinómio de Conway

15 Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais 10 Polinómio de Conway mas

16 Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais 11 Polinómio de Jones invariante COMPLETO ? : problema em ABERTO

17 Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais 12 Tranças Região no plano de projecção delimitada por um círculo de tal modo que o nó atravessa esse círculo precisamente em quatro pontos. 0 1

18 Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais 13 Tranças

19 Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais 14 Tranças Racionais ,0,0

20 -3, 0-3 Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais 15 Notação de Conway 3,

21 Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais 15 Notação de Conway 3,3,3,-2

22 Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais 16 Surpreendentemente, existe um modo muito simples de dizer quando é que duas tranças são equivalentes -2,3,2 3,-2,3

23 Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais 17 Tranças 0

24 Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais 18 TEOREMA DE CONWAY: As tranças racionais são univocamente determinadas pelas correspondentes fracções contínuas. De facto: F é um invariante completo !

25 Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais FIM Bibliografia Bibliografia D. Lopes e J. Picado, A álgebra das tranças, Outubro 2005, E ainda: C. Adams, The Knot Book, AMS, B. Cipra, From knot to unknot, em: Whats Happening in the Mathematical Sciences, Vol. 2, AMS, J.R. Goldman e L.H. Kauffman, Rational Tangles, Advances in Appl. Math. 18 (1997) J. Hoste, M. Thistlethwaite e J. Weeks, The first knots, The Math. Intellig. 20 (4) (1998), R. Scharein, KnotPlot: a program for viewing mathematical knots, Dezembro 2004, A. Sossinsky, Knots: Mathematics with a twist, Harvard Univ. Press, Mathematics and Knots, Univ. Wales, Bangor, 1996, (tradução portuguesa em: Exposição de Nós, Página do Atractor, ).

26 Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais FIM Bibliografia D. Lopes e J. Picado, A álgebra das tranças, Outubro 2005, E ainda: C. Adams, The Knot Book, AMS, B. Cipra, From knot to unknot, em: Whats Happening in the Mathematical Sciences, Vol. 2, AMS, J.R. Goldman e L.H. Kauffman, Rational Tangles, Advances in Appl. Math. 18 (1997) J. Hoste, M. Thistlethwaite e J. Weeks, The first knots, The Math. Intellig. 20 (4) (1998), R. Scharein, KnotPlot: a program for viewing mathematical knots, Dezembro 2004, A. Sossinsky, Knots: Mathematics with a twist, Harvard Univ. Press, Mathematics and Knots, Univ. Wales, Bangor, 1996, (tradução portuguesa em: Exposição de Nós, Página do Atractor, ).


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