A apresentação está carregando. Por favor, espere

A apresentação está carregando. Por favor, espere

~ tranças e números racionais ~

Apresentações semelhantes


Apresentação em tema: "~ tranças e números racionais ~"— Transcrição da apresentação:

1 ~ tranças e números racionais ~
Entre nós ~ tranças e números racionais ~ Jorge Picado Departamento de Matemática Universidade de Coimbra

2 Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais 1
Nós de marinheiro Lais de guia: o favorito dos velejadores. Este nó é ideal para fazer um lacete numa ponta de corda, não escorrega e é fácil de desfazer se não estiver sobre pressão. Algumas pessoas gostam de o memorizar dizendo "o coelho sai da sua toca, dá uma volta à árvore e volta para a toca". Nó de oito: Nó de travagem - evita que o cabo escape. Janeiro Nós, tranças e números racionais

3 O que é um nó “matemático”
Formando um nó (matemático) com um bocado de fio: Em matemática, um nó não passa de uma corda em que juntamos as pontas. O resultado é um fio entrelaçado, sem pontas. Um nó é isto, pensando no fio como não tendo espessura, a sua secção sendo um ponto. Janeiro Nós, tranças e números racionais

4 O que é um nó “matemático”
Nó: curva fechada no espaço que nunca se auto-intersecta. Nó trivial (Não-nó) Trevo (Nó cego) Nó de Oito Janeiro Nós, tranças e números racionais

5 Como manipular (desatar) um nó?
Alexandre o Grande: espada Nó Górdio Matemáticos: deformações (transformações) contínuas. Janeiro Nós, tranças e números racionais

6 Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais 4
Disfarces do trevo Pode ser muito difícil identificar um determinado nó: ele pode ser disfarçado de muitas maneiras diferentes! 7 para 3 cruzamentos 5 para 3 cruzamentos Janeiro Nós, tranças e números racionais

7 Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais 5
A versão mais simples de um nó pode, em alguns casos, parecer muito diferente da sua aparência usual. 8 Exemplo: Se ligarmos as pontas de um lais de guia, podemos manipular o nó, sem o alterar, até chegarmos ao diagrama mais simples deste nó: 6 cruzamentos. 6 A versão de seis cruzamentos do lais de guia é a representação mais simples possível deste nó. Diz-se que o lais de guia tem número de cruzamento 6. Janeiro Nós, tranças e números racionais

8 Manipulação de nós: movimentos de Reidemeister
Qualquer deformação de um nó pode ser alcançada por uma sequência de três tipos de movimento: Em 1926, Reidemeister provou que todas as diferentes transformações nos nós podem ser descritas em termos de três movimentos simples. Com estes movimentos podemos remover, inserir ou mudar cruzamentos de três modos diferentes. I – Remover (ou inserir) uma pequena volta (loop) II – Remover (ou inserir) cruzamentos gémeos III – Passar um terceiro pedaço por cima de um cruzamento. Reduzimos assim um processo complicado a uma sequência de passos simples. Janeiro Nós, tranças e números racionais

9 Quando é que dois nós são o mesmo?
(envolve geralmente a transformação de um diagrama em outro diagrama) [O Monstro, L. Kauffman] Janeiro Nós, tranças e números racionais

10 Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais 8
E quando é que dois nós não são o mesmo? (Envolve a questão mais subtil de garantir quando é que uma tal transformação não é possível) Uma tal garantia envolve a noção de invariante Exemplos de invariantes: Número de cruzamento Número de desatamento Janeiro Nós, tranças e números racionais

11 Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais 9
Classificação Lista dos nós primos até 9 cruzamentos. Nó primo: nó que não é composição de nós mais simples. Pode ser muito difícil comparar dois diagramas de nós e ver se são equivalentes! Alguns (poucos) movimentos podem tornar um nó irreconhecível. Isto torna a classificação dos nós uma tarefa muito complicada (um problema ainda em aberto hoje em dia); mesmo os casos mais simples têm demorado a ser todos encontrados. Janeiro Nós, tranças e números racionais

12 Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais 9
Cruzamentos Nós 1 3 4 5 2 6 7 8 21 9 49 10 166 11 552 12 2 176 13 9 988 14 46 972 15 16 17 TOTAL: [J. Hoste, M. Thistlethwaite, J. Weeks] Janeiro Nós, tranças e números racionais

13 Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais 9
Mais exemplos de invariantes: Número de cruzamento Número de desatamento Número de coloração Número de ponte Polinómios: Alexander, Conway, Jones Invariantes de Vassiliev. Janeiro Nós, tranças e números racionais

14 Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais 10
Polinómio de Conway Polinómio de Alexander, Invariantes de Vassiliev Janeiro Nós, tranças e números racionais

15 Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais 10
Polinómio de Conway Não é suficientemente refinado para distinguir estes dois nós. NÃO É um invariante COMPLETO. mas Janeiro Nós, tranças e números racionais

16 Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais 11
Polinómio de Jones É muito mais sensível que o polinómio de Conway invariante COMPLETO ? : problema em ABERTO Janeiro Nós, tranças e números racionais

17 Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais 12
Região no plano de projecção delimitada por um círculo de tal modo que o nó atravessa esse círculo precisamente em quatro pontos. A notação de Conway. 1 Janeiro Nós, tranças e números racionais

18 Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais 13

19 Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais 14
Tranças Racionais - 3 + 3 -3 ,0 Janeiro Nós, tranças e números racionais

20 Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais 15
Notação de Conway 3 , -3, 0 -3 Janeiro Nós, tranças e números racionais

21 Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais 15
Notação de Conway 3 ,-2 ,3 Janeiro Nós, tranças e números racionais

22 Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais 16
Surpreendentemente, existe um modo muito simples de dizer quando é que duas tranças são equivalentes -2,3,2 3,-2,3 Janeiro Nós, tranças e números racionais

23 Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais 17
Janeiro Nós, tranças e números racionais

24 Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais 18
As tranças racionais são univocamente determinadas pelas correspondentes fracções contínuas. De facto: TEOREMA DE CONWAY: F é um invariante completo ! Janeiro Nós, tranças e números racionais

25 Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais FIM
Bibliografia D. Lopes e J. Picado, A álgebra das tranças, Outubro 2005, E ainda: C. Adams, The Knot Book, AMS, 2004. B. Cipra, From knot to unknot, em: What’s Happening in the Mathematical Sciences, Vol. 2, AMS, 1994. J.R. Goldman e L.H. Kauffman, Rational Tangles, Advances in Appl. Math. 18 (1997) J. Hoste, M. Thistlethwaite e J. Weeks, The first knots, The Math. Intellig. 20 (4) (1998), R. Scharein, KnotPlot: a program for viewing mathematical knots, Dezembro 2004, A. Sossinsky, Knots: Mathematics with a twist, Harvard Univ. Press, 2002. Mathematics and Knots, Univ. Wales, Bangor, 1996, (tradução portuguesa em: Exposição de Nós, Página do Atractor, Janeiro Nós, tranças e números racionais FIM

26 Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais FIM
Bibliografia D. Lopes e J. Picado, A álgebra das tranças, Outubro 2005, E ainda: C. Adams, The Knot Book, AMS, 2004. B. Cipra, From knot to unknot, em: What’s Happening in the Mathematical Sciences, Vol. 2, AMS, 1994. J.R. Goldman e L.H. Kauffman, Rational Tangles, Advances in Appl. Math. 18 (1997) J. Hoste, M. Thistlethwaite e J. Weeks, The first knots, The Math. Intellig. 20 (4) (1998), R. Scharein, KnotPlot: a program for viewing mathematical knots, Dezembro 2004, A. Sossinsky, Knots: Mathematics with a twist, Harvard Univ. Press, 2002. Mathematics and Knots, Univ. Wales, Bangor, 1996, (tradução portuguesa em: Exposição de Nós, Página do Atractor, Janeiro Nós, tranças e números racionais FIM


Carregar ppt "~ tranças e números racionais ~"

Apresentações semelhantes


Anúncios Google