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Algebra Linear Boldrini/Costa/Figueiredo/Wetzler Objetivo: Calcular determinantes pelo desenvolvimento de Laplace. Inverter Matrizes. • Conceito • Representação.

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1 Algebra Linear Boldrini/Costa/Figueiredo/Wetzler Objetivo: Calcular determinantes pelo desenvolvimento de Laplace. Inverter Matrizes. • Conceito • Representação • Propriedades • Desenvolvimento de Laplace • Matriz Adjunta e Matriz Inversa

2 Histórico: 250 aC – China Sec XVII – Início no Ocidente Leibniz (1646-1716) Cramer (1704-1752) – Regra de Cramer (1750) Sec XIX – Início do Estudo Sistemático Tratado de Cauchy em 1812 Seguido por Jacobi Conceito: O conceito de um número associado a uma matriz quadrada mostrou-se útil para caracterizar situações como uma matriz inversível, se um sistema admite ou não solução.

3 Dada a matriz quadrada Matriz Quadrada A mxm = a 22 a 21 a 23.......a 24 a 12 a 11 a 13.......a 14 a m2 a m1 a m3.......a mm................ =[a ij ] mxm Escreve-se det A ou |A| ou det [a ij ] det [a] = a - determinante de uma matriz 1x1

4 Propriedades: 1.Se todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz são nulos então det A=0. 2.Det A = det A´. 3.Multiplicando-se os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz por uma constante, o determinante fica multiplicado por este valor. 4.Uma vez trocada a posição de duas linhas (ou colunas), o determinante troca de sinal. 5.Se uma matriz possui duas linhas (ou colunas) iguais o determinante é nulo. 6. Em geral det (A+B) ≠ det A + det B 7.O determinante não se altera se somarmos uma linha a outra multiplicada por uma constante. Exemplo: 8. det (A.B) = det A. det B

5 Desenvolvimento de Laplace: Dada uma matriz A de ordem 3

6 ...........................................................................................................................................................................................Desenvolvimento de Laplace Foi retirada a i-ésima linha e j-ésima coluna. Pode-se definir o cofator correspondente como: Portanto o determinante da matriz A mxn pode ser calculado como: Determinante afetado pelo sinal da submatriz A ij obtida retirando-se a i-ésima linha e a j-ésima coluna. É chamado de cofator ou complemento algébrico do elemento a ij, O cálculo do determinante utilizando o desenvolvimento de Laplace vale para a escolha de qualquer linha ou coluna, calculando-se os cofatores correspondentes aos elementos a ij e somando-se, conforme indicado na equação. Generalizando, Para uma determinada linha i o determinante pode ser calculado:

7 Exemplo: Calcule o determinante da matriz abaixo utilizando o desenvolvimento de Laplace...........................................................................................................................................................................................Desenvolvimento de Laplace 12 -231 -2 2 1 1 2 = 1 2 -2 2 - (-2) 12 -2 +3 = 1 (2-1) +2 (4-2) + 3 (-2+2) = 1+4 = 5 Exemplo2: Calculando o determinante da matriz acima utilizando-se a propriedade 7 12 -231 -2 2 12 -231 0 0 1 = L 3 =1.L 2 +L 3 12 -21 = 1 = 1 (1+4) = 5

8 Exemplo3: Calcule o determinante da matriz: 24 0 23 2 -3 0 -4 0 52 31 20 0 23-5 2 -3 0 -4 0 5-8 31 C 1 =C 1 +(-2)C 2 == 3-5 -3 -4 0 -8 31 2 0-10 -5 -3 -4 0 -13 01 2= L 1 =L 1 +L 2 L 3 =L 3 +L 2 = = -10-4 -13 1 2.(-3)= -6 (-10-52) = -6 (-62) = 372...........................................................................................................................................................................................Desenvolvimento de Laplace

9 Matriz Adjunta e Matriz Inversa: Dada a matriz A. Cujo cofatores são: A Matriz dos cofatores é dada por: Matriz dos cofatores ou Matriz cofatora Exemplo:12 -3 1 0 4 1 65 A= Os cofatores são: 14 65   =(-1) 1+1 = -19 -34 15   =(-1) 1+2 = 19 -31 16   =(-1) 1+3 = -19 10 65   =(-1) 2+1 = -5 20 15   =(-1) 2+2 = 10 21 16   =(-1) 2+3 = -11 10 14   =(-1) 3+1 = 4 20 -34   =(-1) 3+2 = -8 21 -31   =(-1) 3+3 = 5

10 .......................................................................................................................................................................................Matriz Adjunta e Matriz Inversa 19-19 -5 10 -19 -11 4 -85 Matriz dos cofatores ou Matriz cofatora Matriz Adjunta: É a matriz transposta da matriz cofatora. -5-19 19 10 4 -8 -19 -115 Calculando-se o produto da matriz A com a sua adjunta: 0-19 0 0 0 0 0 = -19 01 0 1 0 0 0 01 Calculando-se |A|: Matriz Identidade A partir dos resultados acima tem-se: Como: Conclui-se que: Matriz Inversa

11 .......................................................................................................................................................................................Matriz Adjunta e Matriz Inversa Exemplo: dada: a)Determine A -1 b)Calcule AA -1 a) 32 1 4 A=   =(-1) 1+1 4 = 4   =(-1) 1+2 1 = -1   =(-1) 2+1 3 = -3   =(-1) 2+2 2 = 2 4 -3 2 4 2 b) 32 1 4 Há diversas outras formas de se determinar a matriz inversa, mas este exercício será deixado como pesquisa para o aluno.

12 .......................................................................................................................................................................................Matriz Adjunta e Matriz Inversa Observações Finais: 1)Sendo A e B inversíveis, então A.B é inversível e (AB) -1 =B -1 A -1 (A.B)(B -1 A -1 ) = ABB -1 A -1 = AIA -1 = AA -1 = I. Analogamente: (B -1 A -1 )(AB)=I 2) Se A é matriz quadrada e existe B tal que BA=I então A é inversível, ou seja A -1 existe e além disso, B=A -1. 3) Nem toda matriz possui a inversa.

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