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Prof.Ilydio Sá1 Matemática Financeira (Juros Simples x Juros Compostos)

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Apresentação em tema: "Prof.Ilydio Sá1 Matemática Financeira (Juros Simples x Juros Compostos)"— Transcrição da apresentação:

1 Prof.Ilydio Sá1 Matemática Financeira (Juros Simples x Juros Compostos)

2 Prof.Ilydio Sá2 Taxa de Juros FORMA PORCENTUAL • Na forma porcentual a taxa de juros é aplicada a centos do capital. Ex.: 12% ao ano. FORMA UNITÁRIA • Na forma unitária a taxa de juros é aplicada a unidades do capital. Ex.: 0,12 ao ano.

3 Prof.Ilydio Sá3 JUROS SIMPLES

4 Prof.Ilydio Sá4 CÁLCULO DO JURO - Ao valor aplicado; - Ao tempo de aplicação. - Ao valor aplicado; - Ao tempo de aplicação. JURO SIMPLES • A remuneração pelo capital inicial (o principal) é diretamente proporcional:

5 Prof.Ilydio Sá5 CÁLCULO DO JURO • FÓRMULA BÁSICA: J = C. i. n onde: J = Juro C = Capital inicial (Principal) i = Taxa de Juros (na forma unitária) n = prazo de aplicação (na mesma unidade que a taxa) EXEMPLO

6 Prof.Ilydio Sá6 Exemplo Suponhamos que se tome emprestada a quantia de $1.000,00, a juros simples, pelo prazo de 2 anos e à taxa de 10% a.a. Qual será o valor a ser pago como juro ? Resolução: Capital Inicial (C) = 1.000,00 Taxa de juros (i) = 10% a.a. Número de períodos (n) = 2 anos TOTAL DE JUROS = 20% VALOR DOS JUROS = 1000 X 0,2 = $200

7 Prof.Ilydio Sá7 MONTANTE JURO SIMPLES • Montante é a soma do juro mais o capital aplicado. M = C + J onde: C= principal n= prazo de aplicação i = taxa de juros M = C(1 + in) = C. FATOR EXEMPLO

8 Prof.Ilydio Sá8 Exemplo Qual é o montante de um capital de $ 1.000,00 aplicado à taxa de 10 % a.a. pelo prazo de 2 anos ? Resolução: Capital Inicial (C) = 1.000,00 Taxa de juros (i) = 0,10 a.a. Número de períodos (n) = 2 anos E sendo: M = C(1+in) Substituindo-se os valores, tem-se: M = 1.000(1+0,10 x 2) M = x 1,20 M = $ 1.200,00 Ou então, como você sabe, a taxa de 10% ao ano, para juros simples, em dois anos, gera um ganho de 20%, o que corresponde ao FATOR 1,2. Logo, 1000 x 1,2 = $1200.

9 Prof.Ilydio Sá9 TAXA PROPORCIONAL JURO SIMPLES A taxa i 1 (referida ao período n 1 ) é proporcional à taxa i 2 (referida ao período n 2 ) se: Ou, do mesmo modo, se: Ou ainda: EXEMPLO

10 Prof.Ilydio Sá10 Exemplo Verificar se as taxas de 5% ao trimestre e de 20% ao ano são proporcionais. Resolução: Temos: i 1 = 5% a.t. i 2 = 20% a.a. n 1 = 3 meses n 2 = 12 meses Vejamos: Logo, as taxas dadas são proporcionais.

11 Prof.Ilydio Sá11 Exemplo Sendo dada a taxa de juros de 24% ao ano, determinar a taxa proporcional mensal. Resolução: Temos: i 1 = 24% a.a. n 1 = 12 meses i 2 = ? n 2 = 1 mês E, como: tem-se: i = 24 : 12 = 2% a.m.

12 Prof.Ilydio Sá12 TAXAS EQUIVALENTES Duas taxas de juros são equivalentes se: • aplicadas ao mesmo capital; • pelo mesmo intervalo de tempo. => Ambas produzem o mesmo juro. No regime de juros simples, as taxas de juros proporcionais são igualmente equivalentes.

13 Prof.Ilydio Sá13 JURO EXATO Juro Exato é aquele em que: • o período a que se refere a taxa está expresso em dias. • é adotada a convenção do ano civil. EXEMPLO

14 Prof.Ilydio Sá14 Exemplo Qual é o juro exato de um capital de $ ,00 que é aplicado por 40 dias e à taxa de 36% a.a. ? Resolução: A TAXA SERÁ DE 36% : 365 = 0,09863 % AO DIA PARA 40 DIAS, TEREMOS 0,09863 % X 40 = 3,94521% J = X 0, = $ 394,52

15 Prof.Ilydio Sá15 JURO COMERCIAL Juro comercial é aquele em que: • o período a que se refere a taxa está expresso em dias. • é adotada a convenção do ano comercial (360 dias): EXEMPLO

16 Prof.Ilydio Sá16 Exemplo Calcular o juro comercial correspondente ao exercício do item an- terior. Resolução: Observe que, nas mesmas condições de aplicação, o juro comer- cial é maior que o juro exato. Taxa = (36 %: 360) x 40 = 4% CÁLCULO DOS JUROS SIMPLES 0,04 X = $ 400,00

17 Prof.Ilydio Sá17 JUROS COMPOSTOS

18 Prof.Ilydio Sá18 Juros Compostos Juros Simples: • Apenas o capital inicial rende juros; • O Juro é diretamente proporcional ao tempo e à taxa. Juros Compostos : • O Juro gerado pela aplicação, em um período, será incorporado; • No período seguinte, o capital mais o juro passa a ge- rar novos juros; • O regime de juros compostos é mais importante, por- que retrata melhor a nossa realidade.

19 Prof.Ilydio Sá19 Diferença entre os regimes de capitalização C o = 1000,00 i= 20 % a.a. n= 5 anos

20 Prof.Ilydio Sá20

21 Prof.Ilydio Sá21 Uma questão: Será que, pelo que vimos no gráfico anterior, podemos então concluir que os montantes gerados, sob as mesmas condições e sobre o mesmo capital, a juros simples e a juros compostos ou são iguais ou o montante dos juros compostos será maior? Para ajudar na resposta, vamos incluir na tabela e no gráfico anterior mais uma linha. Vamos calcular os dois montantes para um prazo de 15 dias após o início da aplicação, ou seja, após meio mês.

22 Prof.Ilydio Sá22

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24 Prof.Ilydio Sá24 Montante O cálculo do montante, em juros compostos é dado pela fórmula: M = montante ao fim de “n” períodos C = capital inicial n = número de períodos i = taxa de juros por período, efetiva F = fator de correção da taxa i

25 Prof.Ilydio Sá25 Exemplo Uma pessoa toma $ 1.000,00 emprestado sob taxa efetiva 2% a.m. pelo prazo de 10 meses com capitalização composta. Qual o montante a ser devolvido ? Resolução: C = i = 2% a.m. n = 10 meses Temos:

26 Prof.Ilydio Sá26 Valor Atual e Valor Nominal • O Valor Atual corresponde ao valor da aplicação em uma data inferior à do vencimento. • O Valor Nominal é o valor do título na data do seu vencimento. V = valor atual N = valor nominal i = taxa de juros n = número de períodos que antecedem o vencimento do título

27 Prof.Ilydio Sá27 Exemplo a) Por quanto devo comprar um título, vencível daqui a 5 me- ses, com valor nominal de $ 1.131,40, se a taxa de juros com- postos corrente for de 2,5% a.m. ? Resolução: n = 5 Meses N=1.131,40 V

28 Prof.Ilydio Sá28 N = 1.131,40 i = 2,5 % a.m. n = 5 meses Portanto, se comprar o título por $ 1.000,00, não esta- rei fazendo mau negócio.

29 Prof.Ilydio Sá29 Exemplo b) Uma pessoa possui uma letra de câmbio que vence daqui a 1 ano, com valor nominal de $ 1.344,89. Foi-lhe proposta a tro- ca daquele título por outro, vencível daqui a 3 meses e no valor de $ 1.080,00. Sabendo-se que a taxa corrente de mercado é de 2,5% a.m., pergunta-se se a troca proposta é vantajosa. Resolução: N=1.344,89 N * =1.080,

30 Prof.Ilydio Sá30 Exemplo O valor atual na data focal zero da letra de câmbio que vence em 12 meses é dado por: Calculemos agora o valor atual na data zero, da letra que vence em 3 meses:

31 Prof.Ilydio Sá31 Comparando os dois valores atuais constatamos que: Ou seja, o título que vence em 3 meses tem um valor atual um pouco maior que o que vence em 12 meses. Portanto, a troca seria vantajosa.

32 TAXAS COMPOSTAS Os diversos tipos de taxas para juros compostos.

33 Prof.Ilydio Sá33 TAXA NOMINAL É uma taxa “simbólica” para juros compostos e usada apenas como referência para cálculos rápidos da taxa efetiva. É fácil determinar quando a taxa é nominal, pois ela estará sempre referida a uma unidade de tempo, distinta da unidade que define o período de capitalização. Ex: 24% ao ano, com capitalização mensal. TAXA EFETIVA É a taxa de juros compostos que já está referida à mesma unidade de tempo que o período de capitalização. Ex: 1% ao mês, com capitalização mensal; 24% ao ano, com capitalização anual; 0,5% quinzenal, com capitalização quinzenal. Importante: A passagem da taxa nominal para a taxa efetiva (que é a usada na fórmula dos juros compostos) é feita de modo proporcional, como nos juros simples, por convenção, para facilitar os cálculos. 24% ao ano, com capitalização mensal TAXA NOMINAL 24%:12 = 2% ao mês, com capitalização mensal TAXA EFETIVA

34 Prof.Ilydio Sá34 Exemplo: Um capital de R$ 5000,00 foi investido, capitalizado trimestralmente, sob taxa de 20% ao ano. Obtenha o montante final dessa aplicação, sabendo-se que ela foi feita por um prazo de 2 anos. 20% ao ano, com capitalização trimestral TAXA NOMINAL 20%:4 = 5% ao trimestre TAXA EFETIVA 2 anos = 8 trimestres Lembre-se: Você nunca poderá usar a TAXA NOMINAL nos cálculos com juros compostos.

35 Prof.Ilydio Sá35 TAXAS EQUIVALENTES São taxas efetivas, que geram montantes iguais, aplicadas ao mesmo capital e no mesmo prazo. Exemplo: 4% ao mês é equivalente a 8,16% ao bimestre. Veja, por exemplo, que se aplicarmos essas duas taxas sobre um capital de R$ 1000,0, para um investimento de um ano, vão gerar os seguintes montantes: 4% ao mês8,16% ao bimestre Na prática, quando queremos determinar uma taxa que seja equivalente a outra, com capitalização distinta, usamos apenas os fatores de correção, já que ao igualar os montantes, os capitais (que são iguais) serão cancelados. Vejamos dois exemplos disso.

36 Prof.Ilydio Sá36 EX. 1: Qual a taxa bimestral equivalente a 15,9693% ao ano? Como um ano tem 6 bimestres, é claro que o fator bimestral (procurado), elevado ao expoente 6, terá de ser igual ao fator anual, vejamos: EX. 2: Qual a taxa mensal equivalente a 0,05% ao dia?


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