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Pedro Paulo Balestrassi UNIFEI-Universidade Federal de Itajubá IEPG 35-36291161 88776958 “Pensar estatisticamente.

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1 Pedro Paulo Balestrassi UNIFEI-Universidade Federal de Itajubá IEPG “Pensar estatisticamente será um dia, para a eficiente prática da cidadania, tão necessário como a habilidade de ler e escrever.” H. G. Wells (Escritor Inglês, considerado o pai da moderna Ficção Científica, 1895) Engenharia da Qualidade I

2 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 2 Processo Fatores Incontroláveis (ruído) Fatores Controláveis EntradaSaída... x 1 x 2 x p z 1 z 2 z q y1y2ymy1y2ym... Motivação das empresas para estudo e uso de Estatística: Foco no Processo : Um dos principais requisitos da ISO 9001:2000

3 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 3 X •Pressão de ar air strip •Pressão de ar air bag •Pressão de ar front piston •Pressão Hidráulica •Temperatura •Vazão de óleo Solúvel •Pressão do Nitrogênio Y •Espessura da parede Top Wall •Espessura da Parede Mid Wall •Profundidade do Dome •Altura da Lata •Visualização Processo Bodymaker de fabricação de latas Z •Operador •Rede Elétrica •Qualidade da Bobina Exemplo de Processo Aplicação: Pense em um problema similar em sua área de atuação É complexo inferir sobre X,Y e Z sem Estatística! Y=f(X)+Z

4 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 4 DO THE REAL THING! Faça anotações! Aplicando os conhecimentos na sua área é a única forma de sedimentá-los! Cone of Learning

5 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 5 Statgame e Statquiz (Interessante para verificar o conhecimento básico) Recursos de Software O uso de recursos computacionais tornou os cálculos atividades fáceis permitindo uma maior ênfase na compreensão e interpretação dos resultados

6 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I Pratique: • Gere a planilha ao lado e entenda a diferença entre Worksheet e Project. Observe o que é Session. • Calcule as principais Estatísticas Descritivas da planilha gerada. Siga o caminho: Comandos Básicos

7 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I Pratique: • Navegue no Statguide • Navegue pelo Tutorial do Minitab • Cinco ícones importantes: Worksheet, Session, Show Graph Folders e Edit Last Dialog

8 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I Pratique: • Gere uma série de 100 valores aleatórios que poderia simular a variabilidade em Anéis de Pistão (considerando por exemplo Folga entre Pontas). Use e inclua os parâmetros convenientes. • Calcule as principais estatísticas descritivas da planilha usando Graphical Summary. Faça outros gráficos.

9 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I Pratique: • Entenda o procedimento ? • Salve a planilha na Desktop com um nome qualquer. • Feche o programa minitab e depois abra a planilha que você salvou.

10 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 10 Obtenha domínio sobre o Minitab a partir do arquivo minitab.pdf. Um bom Material de Apoio

11 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I Um Exemplo de Controle Estatístico da Qualidade A espessura de uma peça metálica é um importante parâmetro da qualidade para uma empresa. Uma grande quantidade de peças são produzidas diariamente e a cada lote produzido, 5 delas são medidas e colocadas em uma tabela, como ao lado. Pergunta-se: a)O Processo está sob Controle? b)O Processo atende as Especificações (LSL=0.060 e USL=0.066) c)Qual a solução para o problema? Use Set Base=9 N(0.0625; ) Para gerar tal tabela

12 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I

13 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I

14 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I Problema Prático Problema Estatístico Solução Estatística Solução Prática © 1994 Dr. Mikel J. Harry V3.0 Baixo Rendimento Média fora do alvo Identificar variável Vital Instalar um controlador

15 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I Six Sigma - DMAIC

16 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 16 Uma ótima bibliografia: Montgomery, D.C., Runger, G.C., Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros, 2ª ed., LTC Livros Técnicos e Científicos, 2002, 461 p. Não deixe de ler: Fora de Série (Outliers) – Malcolm Gladwell – Editora Sextante – Uma boa análise sobre Causa e Efeito em inúmeras situações. Uma Senhora Toma Chá – David Salsburg – Editora Zahar – Como a estatística revolucionou a ciência no século XX. O Andar do Bêbado – Leonard Mlodinow– Editora Zahar – Como a aleatoriedade impacta nossas vidas.

17 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 17 Estatística Descritiva

18 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 18 A essência da ciência é a observação. Estatística: A ciência que se preocupa com a organização, descrição, análise e interpretação dos dados experimentais. Ramo da Matemática Aplicada. A palavra estatística provêm de Status. Do que trata a Estatística Estatística Básica (Anova, TH, Regressão) Séries Temporais Data Mining Six Sigma Redes Neurais Controle de Qualidade Estatística Bayseana Simulação / PO DOE /Taguchi /RSM Análise do Sistema de Medição Estatística Multivariada Amostragem / Pesquisa Confiabilidade Caos Em 1662, John Graunt publicou os primeiros informes estatísticos. Era sobre nascimento e mortes.

19 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 19  A População (ou Distribuição) é a coleção de todas as observações potenciais sobre determinado fenômeno.  O conjunto de dados efetivamente observados, ou extraídos, constitui uma Amostra da população.  Um Censo é uma coleção de dados relativos a Todos os elementos de uma população.  Um Parâmetro está para a População assim como uma Estatística está para a Amostra. População e Amostra

20 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 20 Ex.: Para uma população de peças produzidas em um determinado processo, poderíamos ter: VariávelTipo Estado: Perfeita ou defeituosaQualitativa Nominal Qualidade: 1 a, 2 a ou 3 a categoriaQualitativa Ordinal N o de peças defeituosasQuantitativa Discreta Diâmetro das peçasQuantitativa Contínua (Também Dados Categóricos ou de Atributos) Tipos de Dados (Variáveis)

21 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 21 Aplicação: Gere sequências de valores aleatórios que represente problemas em sua área. O que significa o procedimento ? Amostragem: Gere a sequência Selecione uma amostra com 10 valores a partir das sequências geradas anteriormente. Use Random Data> Números Aleatórios

22 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 22 Aplicação: Gere uma sequência de dados que represente um processo em sua área e calcule as estatísticas desse conjunto de dados. Use: e Ex.: Número de acessos à página do Site da Empresa durante os últimos 100 dias úteis.

23 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 23 Medidas de Posição: Média Aritmética Simples Aritmética Ponderada Um pouco sobre arredondamento de médias:  Tome uma decimal acima da dos dados: Ex.: 2,4 3,4 e 5,7 => média =3,73  Em várias operações, arredonde apenas o resultado final

24 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 24  Chama-se Robert  Pesa 78 Kg  Manequim 48  85 cm de cintura  Consome anualmente 8,5 Kg massa, 11,8Kg de bananas, 1,8 Kg de batatas fritas, 8,15Kg de sorvete e 35,8 Kg de carne.  Vê TV por ano 2567 horas  Recebe anualmente 585 “coisas” por correio (cartas e outros)  Diariamente dorme 7,7 horas, gasta 21 minutos para chegar ao trabalho e trabalha 6,1 horas Um Cidadão Americano “Médio”

25 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 25 Ex.: Se n é ímpar:Se n é par: Medidas de Posição: Mediana Mediana é o valor “do meio” de um conjunto de dados dispostos em ordem crescente ou decrescente. Inconveniente: Não considera todos os valores da amostra!

26 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 26 Média x Mediana Ex.:{ 200, 250, 250, 300, 450, 460, 510 } Ambas são boas medidas de Tendência Central. Prefira a média { 200, 250, 250, 300, 450, 460, 2300 } = 601 Devido ao Outlier 2300, a mediana é melhor estatística que a média.

27 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 27 Medidas de Dispersão Rode e Entenda o programa Interativo da PQ Systems Discuta: 1)Porque os bancos adotam fila única? 2)“Por favor, com quantos dias de antecedência eu devo postar uma carta de aniversário para minha mãe?”

28 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 28 A = { 3, 4, 5, 6, 7 } B = { 1, 3, 5, 7, 9 } C = { 5, 5, 5, 5 } D = { 3, 5, 5, 7 } E = { 3.5, 5, 6.5 } Uma medida de Posição não é suficiente para descrever um conjunto de dados. Os Conjuntos ao lado mostram isso! Eles possuem mesma média, sendo diferentes. Algumas medidas de Variabilidade: Amplitude (H): Tem o inconveniente de levar em conta apenas os dois valores extremos: H Á =7-3=4 Variabilidade Amplitude=Range

29 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 29 Considerando os desvios em relação à média, temos, para A, por exemplo: A = { 3, 4, 5, 6, 7 } x i - {-2, -1, 0, 1, 2} Medidas de Dispersão Inconveniente: Uma opção para analisar os desvios das observações é: considerar o total dos quadrados dos desvios.

30 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 30 Desvio Padrão. Associando ao número de elementos da amostra (n), tem-se:...que é a Variância ( Var(x)) S 2 =...que é o Desvio Padrão (DP(x)), uma medida que é expressa na mesma unidade dos dados originais

31 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 31 Dispersão: Fórmulas Alternativas Variância Amostral n-1 está Relacionado a um problema de tendenciosidade Variância Populacional (  2 ou  n 2 )

32 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 32 Média = 3 Soma da última coluna = 10 Soma da última coluna = 10 Divide a Soma por (n-1): = Variância = S 2 = 2,5 Divide a Soma por (n-1): = Variância = S 2 = 2,5 = Soma dos pontos de dados Número dos pontos de dados X Raiz Qadrada da Variância = Desv.Pa. = S = 1,58 Raiz Qadrada da Variância = Desv.Pa. = S = 1,58 Calcular a Variância e o Desvio Padrão de X Exemplo Uma Regra Prática para conjunto de dados típicos: S=Amplitude/4

33 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 33 N n Estimador Tendencioso de σ Estimador Não-Tendencioso σ n-1

34 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I Simulação (n-1)

35 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 35 25% 50% 75% D B P * Outlier ( fora da distância do Q3 + 1,5D ) Q3=75ª Percentil Observação Máxima Q1=25ª Percentil Q2=Mediana (50ª Percentil) D=Q3-Q1 Interquartil EDA (Exploratory Data Analysis) e Método dos Cinco Números Outra Estratégia: Percentis e Boxplot Boxplot é desgastante quando feito sem computador pois supõe a ordenação de dados.

36 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 36  Valor do meio Quartis:  Q1=Quarta Observação Crescente=71.7  Q3=Quarta Observação Decrescente=150.6 Outliers: Q3+1.5D= ( )=  São outliers valores maiores que Percentis e Boxplot 2.(n+1)/4 0 3.(n+1)/4 0 (n+1)/4 0 Para valores não inteiros dos quartis, usa-se interpolação graficos.mtw

37 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 37 Escores padronizados (z) GrupoPeso médioDesvio Padrão A66.5 kg6.38 kg B72.9 kg7.75 kg Ex.: Dois grupos de pessoas acusam os seguintes dados: x i - considera o afastamento de x i em relação à média. A divisão por s torna s como unidade ou padrão de medida. Nesses grupos há duas pessoas que pesam respectivamente, 81.2 kg e 88.0 kg. Logo, a pessoa de A revela um maior excesso relativo de peso.

38 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 38  (z)  z x  -3  -2  -  +  +2  +3  Distribuião Normal Reduzida ou Padronizada Z: N(0; 1) Tal fórmula está tabelada e fornece valores acumulados Qual o formato da curva acumulada? Distribuição Normal N(0,1) é a distribuição Benchmark

39 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 39 Escores padronizados (z) Uma mulher deu à luz um filho 308 dias após a visita de seu marido que serve na marinha dos EUA. Sabendo-se que uma gravidez normal tem média de 268 dias e desvio-padrão de 15 dias, determine se o tempo de gravidez da mulher pode ser considerado comum. O marido tem razão de se preocupar?

40 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 40 Escores padronizados (z) Regra  Cerca de 68% dos valores estão a menos de 1 desvio padrão a contar da média (-1 < z < 1)  Cerca de 95% dos valores estão a menos de 2 desvios padrão a contar da média (-2 < z < 2)  Cerca de 99% dos valores estão a menos de 3 desvios padrão a contar da média (-3 < z < 3) Regra

41 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 41 Assimetria (Skewness) Próximo de 0: Simétrico Menor que 0: Assimétrico à Esquerda Maior que 0: Assimétrico à Direita Achatamento (Kurtosis) Próximo de 0: Pico Normal Menor que 0: Mais achatada que o Normal (Uniforme) Maior que 0: Menos achatada que o normal (Afinada) Skewness and Kurtosis

42 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 42 Assimetria, Percentis e Boxplot

43 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 43 Exercício Encontre todas as estatísticas descritivas para a série da tabela a seguir

44 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 44 Ex.: População = X=Diâmetro de determinada peça (em mm). Dados brutos: { 168, 164, 164, 163, 165, 168, 165, 164, 168, 168 } Rol: { 163, 164, 164, 164, 165, 165, 168, 168, 168, 168 } Amplitude (H) = = 5 X n i (Frequência Absoluta) f i (Frequência Relativa) N i (Frequência Absoluta Acumulada) F i Frequência Relativa Acumulada)  101 Distribuição de Freqüências

45 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 45 x (Variável) x i (ponto médio) n i (frequência absoluta) f i (frequência relativa) f% (frequência percentual) N i (Absoluta Acum.) F i (Relativa Acum.) F% (Percentual Acum.) 10 ├ ─ ├ ─ ├ ─ ├ ─ ├ ─  Classes (ou Categorias) DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS

46 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 46 x (Variável) x i (ponto médio) n i (frequência absoluta) (Xi).(ni) 10 ├ ─ ├ ─ ├ ─ ├ ─ ├ ─  Classes (ou Categorias) EXEMPLO – MÉDIA P/DADOS AGRUPADOS

47 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 47 Construção da tabela de distribuição de freqüências a partir do histograma de classes desiguais. Exercício: Complete a tabela. Xnini fifi 10 | | | |-- 60  1 Histogramas

48 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 48 Processo A Processo B Tempo Total (A+B) ? = 3 s = 1 = 7 s = 2 Correto; Some as variâncias e depois obtenha o Desvio Padrão Incorreto; Soma de Normais

49 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 49 Linha A Linha B Diferença: Linha A – Linha B ? = 3 s = 1 = 7 s= (2) (1) S S S 222 B 2 ABA   – Correto Incorreto Diferença de Normais

50 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 50 Representação Gráfica:Ramo-e-folhas  x Ramos  xxFolhas  xxxxx  xxx Ex.: graficos.mtw

51 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 51 Stem-and-Leaf Display: folha_ramo Stem-and-leaf of Ramo N = 33 Leaf Unit = (10) Obtendo o seguinte Folha e Ramo. Compare os resultados fazendo um Histograma. O que representa tal coluna? Coluna folha_ramo Ramo-e-folhas

52 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 52 Exercício no Minitab: Faça o gráfico abaixo a partir dos dados seguintes. Plot graficos.mtw

53 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 53 Faça o gráfico bidimensional a partir dos dados a seguir graficos.mtw

54 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 54  Os dados representam uma série temporal  Tal gráfico é útil para ver a estabilidade de um processo.  Control Chart é Melhor! •Column=Tempo na fila •Subgroup Size=1 Runchart runchart.mtw

55 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 55 •Identifica Diversos tipos de variação •A análise de efeitos é similar em DOE •Permite identificar interações •Não é o mesmo que Estatística Multivariada Use os Dados a seguir : Response: Força (y) Factor1: TempoSinter (x1) Factor2: TipoMetal (x2) Multi-Vari Sinter.mtw

56 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 56 Multi-Vari – Monte a Tabela

57 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 57 Distribuição Normal de Probabiliade

58 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 58 Algumas Distribuições Contínuas: Normal Uniforme Chi-square Fisher(F) Student(t) Beta Cauchy Exponential Gamma Laplace Logistic Lognormal Weibull f(x) => fdp Função densidade de probabilidade Área da curva é unitária Probabilidade está associada a área Distribuições Contínuas de Probabilidade

59 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 59 Distribuição Normal

60 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 60 Distribuição Normal Pouca Utilidade Prática Retorna a probabilidade Acumulada Retorna a Variável quando é dada a probabilidade acumulada Exemplo X:N(100,5) P(X<=95)=0,1587

61 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 61   11 11 T T LSE p(d) 33 Used With Permission  6 Sigma Academy Inc Distribuição Normal Se a dimensão de uma peça segue uma distribuição Normal X: N(80,3) qual a Probabiliade de ter uma peça defeituosa de acordo com a figura?

62 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 62 Exercício 1: Em uma população onde as medidas tem Média 100 e Desvio Padrão 5, determine a probabilidade de se ter uma medida: a)Entre 100 e 115 b)Entre 100 e 90 c)Superior a 110 d)Inferior a 95 e)Inferior a 105 f)Superior a 97 g)Entre 105 e 112 h)Entre 89 e 93 i)98 Dica: Crie uma coluna com os valores no Minitab Crie uma coluna com os valores 0,74...0,05 no Minitab Exercício 2: Em uma população onde as medidas tem Média 100 e Desvio Padrão 5, determine os valores k tais que se tenha a probabilidade: a)P(X>k)=0,26 b)P(X

63 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 63 Probabilidades e Escores padronizados (z) Exemplo Um cliente tem um portfólio de investimentos cuja média é US$ com desvio padrão de US$ Determine a probabilidade de que o valor de seu portfólio esteja entre US$ e US$

64 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 64 Probabilidades e Escores padronizados (z) Exemplo Se X tem distribuição normal N(15, 4), encontre a probabilidade de X ser maior que 18. Exemplo Uma companhia produz lâmpadas cuja vida segue uma distribuição normal com média horas e desvio padrão de 250 horas. Escolhendo-se aleatoriamente uma lâmpada, qual é a probabilidade de sua durabilidade estar entre 900 e horas?

65 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 65 Probabilidades e Escores padronizados (z) Exemplo Um grupo de estudantes obtém notas que são normalmente distribuídas com média 60 e desvio padrão 15. Que proporção dos estudantes obtiveram notas entre 85 e 95? Exemplo No caso da prova do exercício anterior, determine a nota acima da qual estão 10% dos melhores alunos da classe.

66 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 66 Probabilidades e Escores padronizados (z) Exercício É sabido que a quantidade anual de dinheiro gasto em livros por alunos de uma universidade, segue uma distribuição normal com média $380 e desvio padrão de $50. Qual é a probabilidade de que um aluno escolhido aleatoriamente no campus gaste mais do que $ 360 por ano?

67 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 67 Probabilidades e Produção Exercício A demanda antecipada de consumo de um certo produto é representada por uma distribuição normal com média unidades e desvio padrão de 100. a) Qual é a probabilidade de que as vendas excedam unidades? b) Qual é a probabilidade de que as vendas estejam entre e 1300 unidades? c) A probabilidade de se vender mais do que k unidades é de 10%. Determine k.

68 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 68 Probabilidades e Investimentos Exercício Um portfólio de investimentos contém ações de um grande número de empresas. Ao longo do último ano as taxas de retorno das ações dessas corporações seguiram distribuição normal com média de 12,2% e desvio padrão de 7,2%. a)Para que proporção de empresas o retorno foi maior que 20%? b)Para que proporção de empresas o retorno foi negativo? c)Que proporção de empresas tiveram retornos entre 5% e 15%?

69 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 69 Probabilidades e Finanças Exercício Um portifólio de investimentos contém ações de um grande número de empresas. Ao longo do último ano as taxas de retorno das ações dessas corporações seguiram distribuição normal com média de 12,2% e desvio padrão de 7,2%. a)Para que proporção de empresas o retorno foi maior que 20%? b)Para que proporção de empresas o retorno foi negativo? c)Que proporção de empresas tiveram retornos entre 5% e 15%?

70 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I Testes de Hipóteses

71 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 71 Exemplos: • Duas linhas de produção supostamente idênticas estão apresentando resultados diferentes. Como confirmar isso? • A variabilidade de um processo é maior que outro. Temos certeza? • Os dados estão normalmente distribuídos? • Como saber estatisticamente se dois funcionários tem o mesmo desempenho?

72 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 72 Um produto original é identificado pelo seu peso (em libras) e reconhecidamente segue uma distribuição normal N(50; 0.8). Do mesmo modo, produtos falsificados tem pesos significativamente maiores que 50 lb, seguindo distribuição também normal N(52, 0.8). Uma amostra aleatória revelou um peso médio de 51,3 lb. Baseado nesta amostra a que conclusões se pode chegar? Decisão Estatística

73 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 73 • Qual é a probabilidade de que (em função da amostra) um produto original seja classificado como Falso? • Qual a probabilidade de que o produto original seja corretamente identificado? • Qual a probabilidade de que um produto falsificado seja classificado como original? • Qual é a probabilidade de se detectar produtos falsificados neste caso?

74 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 74

75 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 75

76 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 76

77 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 77

78 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 78

79 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 79

80 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 80 • Na afirmação: “Uma pessoa é considerada inocente até que se prove o contrário pois é um erro maior condenar um inocente do que libertar um culpado.”, defina: • Erros Tipo I e Tipo II • Hipóteses Nula e Alternativa H 0 : o réu é inocente (hipótese fundamental) H 1 : o réu é culpado (hipótese alternativa)

81 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 81 Os erros de julgamento poderiam ser : condenar um réu inocente ou, então, absolver um réu culpado. Hipóteses e Erros

82 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 82 • ERRO DO TIPO I Rejeitar Ho sendo Ho verdadeira P(Erro I) = P(rejeitar Ho|Ho é verdadeira) =  • ERRO DO TIPO II Não rejeitar Ho sendo Ho falsa P(Erro II) = P(não rejeitar Ho|Ho é falsa) =  Tipos de Erros

83 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 83 No Minitab: Análise do P-value ! 1)Definir as hipóteses; 2)Escolher a estatística de teste adequada; 3)Escolher  e estabelecer a Região Crítica (RC); 4)Com base em uma amostra de tamanho n, extraída da população, calcular  ; 5)Rejeitar Ho caso   RC. Não rejeitar Ho em caso contrário. Construção de T.H.

84 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 84 Testes de Hipóteses Estatísticas Os testes de hipóteses em Estatística podem ser empregados para avaliar ou comparar: • médias; • variâncias (ou desvios-padrão); • proporções; • distribuições de probabilidade e correlação. Estas análises podem se do tipo “igual”, “menor que” ou, ainda, “maior que”. Testes Paramétricos

85 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 85 •Para avaliar médias, empregam-se dois diferentes tipos de testes: z ou t. •o teste z é empregado somente se o desvio- padrão da população (s) é conhecido (caso pouco provável); •o teste t é utilizado nas demais circunstâncias e, por isso, este é que será visto no curso. TH p/ Média

86 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 86 Ex. The production manager of a company has asked you to evaluate a proposed new procedure for producing its double-hung windows. The present process has a mean production of 80 units per hour with a population standard deviation of 8 units. The manager indicates that she does not want to change to a new procedure unless there is strong evidence that the mean production level is higher with the new process. A random sample of 25 units revealed the sample mean was 83. Based on this sample, is there strong evidence to support the conclusion that the new process resulted in higher productivity?

87 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 87

88 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 88 •P-Value é a área ou probabilidade que fica acima (ou abaixo) do valor obtido experimentalmente. Quanto menor o P- Value, menor será a chance de se cometer um erro do tipo 1! P-Value = P(1-Ø) P-Value

89 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 89 Alfa

90 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 90 Teste Unilateral Esquerdo Teste Unilateral Direito Teste Bilateral    /2 A1A2 A1 A2 A1 P-Value = A1  Aceita-se Ho P-Value = A2  Rejeita-se Ho P-Value = A1  Aceita-se Ho P-Value = A2  Rejeita-se Ho P-Value = A1+A2 Unilateral e Bilateral

91 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 91 Exemplo A manufacturing process involves drilling holes whose diameters are normally distributed with population mean of 2 inches and population standard deviation 0.06 inches. A random sample of 9 measurements had a sample mean of 1.95 inches. Use a significance level of 5% to determine if the observed sample mean is unusual and suggests that the drilling machine should be adjusted.

92 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 92 Question : A company which receives shipments of batteries tests a random sample of nine of them before agreeing to take a shipment. The company is concerned that the true mean lifetime for all batteries in the shipment should be at least 50 hours. From past experience, it is safe to conclude that the population distribution of lifetimes is normal, with standard deviation of 3 hours. For one particular shipment, the mean lifetime for a sample of nine batteries was 48.2 hours. Test at 5% level the null hypothesis that the population mean lifetime is at least 50 hours. EXERCÍCIOS

93 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 93 Question : An engineering research center claims that through the use of a new computer control system, automobiles should achieve on average an additional 3 miles per gallon of gas. A random sample of 100 automobiles was used to evaluate this product. The sample mean increase in miles per gallon achieved was 2.4 and the sample standard deviation was 1.8 miles per gallon. EXERCÍCIOS Test the hypothesis that the population mean is at least 3 miles per gallon using 5% significance level. Find the P-value of this test, and interpret your findings.

94 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 94 Question : A beer distributor claims that a new display, featuring a life-size picture of a well-known rock singer, will increase product sales in supermarkets by an average of 50 cases in a week. For a random sample of 20 liquor weekly sales, the average sales increase was 41.3 cases and the sample standard deviation was 12.2 cases. Test at the 5% level the hypothesis that the population mean sales increase is at least 50 cases. EXERCÍCIOS

95 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 95 Question : In contract negotiations, a company claims that a new incentive scheme has resulted in average weekly earning of at least $400 for all customer service workers. A union representative takes a random sample of 15 workers and finds that their weekly earnings have an average of $ and a standard deviation of $ Assume a normal distribution. a)Test the company’s claim; b)If the same sample results had been obtained from a random sample of 50 employees, could the company’s claim be rejected at a lower significance level than in part (a)? EXERCÍCIOS

96 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 96 Question : A bearing used in an automotive application is supposed to have a nominal inside diameter of 1.5 inches. A random sample of 25 bearings is selected and the average inside diameter of these bearing is inches. Bearing diameter is known to be normally distributed with standard deviation 0.01 inch. Test the null hypothesis using a two-sided approach and considering. EXERCÍCIOS

97 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 97 Question : A process that produces bottles of shampoo, when operating correctly, produces bottles whose contents weigh, on average, 20 ounces. A random sample of nine bottles from a single production run yielded the following content weights (in ounces): EXERCÍCIOS 21,4 19,7 19,7 20,6 20,8 20,1 19,7 20,3 20,9. Assuming that the population distribution is normal, test at the 5% level against a two-sided alternative the null hypothesis that the process is operating correctly.

98 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 98 A Resistência ao Estufamento das latas para a inspeção final deve ser maior que 90 psi. Tal resistência obedece a uma distribuição normal com desvio padrão de 1 psi. As medidas da Resistência para uma determinada linha/turno estão dadas na planilha Resistência.MTW Teste a Hipótese de que as medidas da Resistência ao Estufamento estão dentro do limite de especificação. (Prove que as medidas são maiores que 90) Gere: N(91; 0.83) Exemplo 1Z

99 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 99 •TH - Proporções Onde:  é a proporção populacional e  0 é uma constante T.U.EBilateralT.U.D T.U.ET.U.DBilateral

100 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 100 Em uma indústria de autopeças, historicamente 3,5% das peças produzidas contém algum tipo não-conformidade. Uma equipe está trabalhando na redução desta incidência de defeitos e, no último mês, foram produzidas 1500 peças e somente 45 estavam fora da especificação. A equipe obteve melhoria no desempenho ? Exemplo – 1 Proportion

101 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 101 Selecione Summarized data “Number of trials”: 1500 “Number of successes”: 45 Options “test proportion”: “alternative”: 00

102 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 102 Uma equipe deseja aumentar a porcentagem (ou proporção) de pedidos aceitos pelos clientes. A equipe acredita ter identificado uma das causas de perdas de pedidos que é o prazo elevado para envio da cotação ao cliente. Conseguiram reduzir este tempo e os resultados das últimas 10 semanas estão fornecidos no arquivo pedidos.mtw. Qual é a conclusão ?

103 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 103 Selecione Samples in different columns First= antes Second= depois Options “test difference”: “alternative”: Obs: no arquivo, “s” indica pedido aceito, e “n”, pedido recusado 2 Proportions

104 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 104 Test and CI for Two Proportions: antes; depois Success = s Variable X N Sample p antes , depois , Estimate for p(antes) - p(depois): -0, % upper bound for p(antes) - p(depois): -0, Test for p(antes) - p(depois) = 0 (vs < 0): Z = -1,87 P-Value = 0,031 Rejeita-se H 0

105 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 105 Selecione Resistencia Sigma=1 (isso geralmente não é fornecido) Test mean= 90 Alternative= Greater than Individual plot

106 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 106 One-Sample Z: Resistencia Test of mu = 90 vs mu > 90 The assumed sigma = 1 Variable N Mean StDev SE Mean Resistencia 15 91,111 0,834 0,258 Variable 95,0% Lower Bound Z P Resistencia 90,686 4,30 0,000 H0H0 H1H1 Rejeita-se H 0 Região Crítica Valor dentro da Região Crítica Uma boa regra: Se P-Value < , rejeita-se H o

107 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 107 A especificação da Largura da Flange das latas para a inspeção final é definida como 0.082’’+/ ’’ e obedece a uma distribuição normal. As medidas da Largura da Flange para uma determinada linha/turno estão dadas na planilha. Teste a Hipótese de que as medidas da Largura da Flange estão dentro do limite de especificação. (Prove que os valores são em média maiores que 0,072” e menores que 0,092”) Gere: N(0.0835; ) Teste de média t para 1 amostra Exemplo 1t

108 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 108 Selecione Largura Flange Test mean= 0,092 Alternative= Less than Histogram of data Selecione Largura Flange Test mean= 0,072 Alternative= Greater than Histogram of data Teste 1 (Para provar que os valores são menores que 0,092) Teste 2 (Para provar que os valores são maiores que 0,072)

109 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 109 Teste de Hipótese para Médias – Uma amostra T.U.E Bilateral T.U.D Teste Z:Teste T: 1Z e 1t

110 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 110 Teste de Hipótese para Médias – Duas amostras T.U.EBilateralT.U.D Variâncias ConhecidasVariâncias Desconhecidas 2Z e 2t

111 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 111 Estimador Combinado Variância Amostral Grupo 1Variância Amostral Grupo 2 Tamanho do Grupo 1Tamanho do Grupo 2 2t – Cálculo da Variância

112 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 112 TH p/ Variâncias T.U.E Bilateral T.U.D Estatística de Teste:

113 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 113 Exemplo Dois tipos de Bico de Aplicação de verniz (Tipo I e Tipo II) foram avaliados. Deseja-se investigar o efeito desses dois Bicos com relação ao Peso do Verniz (em mg) medido após o processo. Tais medidas são dadas na planilha ao lado. As variâncias são iguais? (Teste a Hipótese nula de que os dois bicos produzem um peso de Verniz com mesma variância.) Peso_Verniz.MTW

114 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 114 Obs.: Teste o Procedimento Stack Columns Para usar Samples in one column Selecione Samples in different columns First= Verniz_tipo1 Second= Verniz_tipo2

115 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 115 Prefira sempre, pois independe da distribuição dos dados. As variâncias são iguais! Levene’s Test

116 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 116 Bonferroni confidence intervals for standard deviations Lower Sigma Upper N Factor Levels Verniz_tipo Verniz_tipo2 F-Test (normal distribution) Test Statistic: P-Value : Levene's Test (any continuous distribution) Test Statistic: P-Value : (variâncias iguais) Após empilhamento dos dados faça: Esse método é melhor, pois pode testar mais que dois conjuntos de dados. Test for Equal Variances

117 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 117 Exemplo: Em relação ao problema anterior, teste se as médias são diferentes. (Peso_Verniz.MTW) Selecione Samples in different columns First= Verniz_tipo1 Second= Verniz_tipo2 Selecione: Assume equal variances Test mean= 0 Alternative= not equal Selecione Boxplots of data

118 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 118 Two-Sample T-Test and CI: Verniz_tipo1, Verniz_tipo2 Two-sample T for Verniz_tipo1 vs Verniz_tipo2 N Mean StDev SE Mean Verniz_t Verniz_t Difference = mu Verniz_tipo1 - mu Verniz_tipo2 Estimate for difference: % CI for difference: (-1.838, ) T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = P-Value = DF = 18 Both use Pooled StDev = Médias diferentes

119 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 119

120 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 120 Observações Emparelhadas Diferença Amostral Média Desvio Padrão das diferenças entre 1 e 2 Paired t

121 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 121 • Consiste em dois testes (um antes e outro depois) com a mesma unidade experimental (amostra). Ex.: O peso de pessoas antes e depois de um tratamento. • Em geral, as unidades experimentais são heterogêneas (  grande) e exibem alta correlação positiva. Paired t - Características

122 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 122 Suspeita-se que dois funcionários estão monitorando o manômetro de um processo de uma forma desigual. Para diferentes pressões foram lidas (de uma forma emparelhada) os resultados da planilha ao lado. Teste a Hipótese de que os dois operadores tem o mesmo desempenho. Exemplo - Paired t

123 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 123 Paired t Selecione Samples in columns First sample= Operador 1 Second sample= Operador 2 Test mean= 0 Alternative= not equal Individual value plot

124 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 124 Paired T-Test and CI: Operador 1, Operador 2 Paired T for Operador 1 - Operador 2 N Mean StDev SE Mean Operador Operador Difference % CI for mean difference: (-3.169, ) T-Test of mean difference = 0 (vs not = 0): T-Value = P-Value = Médias diferentes

125 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 125 • As bases da Análise de Variância • Um fator (One-way) • Dois fatores (Two-way) • Análise de Médias (ANOM) • Balanced ANOVA ANOVA é um Teste para Comparar Médias (O nome é enganoso!) ANOVA Análise de Variância

126 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 126 Entendendo o significado da ANOVA... ANOVA - Visualmente

127 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 127 Tratamentos Resposta ABC Somatório Médias678 As médias são realmente diferentes ou tudo não passa de casualidade? As Bases da ANOVA

128 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 128 Passo 1: Cálculo da Variação Total 55-7= =-39 Etc. Etc (A, B e C) VT - Variação Total Como VT>0 é razoável imaginar que ela se compõe de variações que ocorrem Dentro dos Grupos (VD - Within) e Entre os tratamentos (VE - Between) Foram considerados 15 observações: Glib=14 Média geral Algoritmo: Varia ç ão Total

129 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I = Passo 2: Cálculo da Variação Dentro do Grupo - Within 5818 VD= =86 Foram considerados 5 observações em cada caso: Glib=12 Algoritmo: Varia ç ão Within

130 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I Passo 3: Cálculo da Variação Entre Tratamentos (Between) 05 VE=5+0+5=10 Foram considerados 3 observações : Glib=2 Algoritmo: Varia ç ão Between

131 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 131 VT=VD+VE ! 96=86+10 Graus de Liberdade: A VT possui (15-1)=14 GLIB (3 Tratamentos) (5 Observ/Trat) A VD possui (5-1)(3)=12 GLIB (5 Observ/Amostra)(3 Amostras) A VE possui (3-1)=2 GLIB (3 Tratamentos -1) ABC GLIB VT =GLIB VD +GLIB VE ! 14=12+02 Algoritmo: Graus de Liberdade

132 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 132 VT=VD+VE ! 96=86+10 GLIBVT=GLIBVD+GLIBVE ! 14=12+02 VD/GLIBVD = 86/12 = 7,17 VE/GLIBVE= 10/2 = 5 Estimativas de Variâncias: F0= 5/7,17=0,70 Fcrítico= 3,89 (em função dos GLIBVE GLIBVD e alfa=5% F0

133 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 133 Fonte de Variação Própria Variação GLIB Variância Estimada F0 VE10210/2=55/7,17=0,70 VD861286/12=7,17 VT9614 Quadro Resumo Básico Algoritmo: Quadro resumo

134 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 134 One-way ANOVA: A; B; C (use unstacked) Analysis of Variance Source DF SS MS F P Factor 2 10,00 5,00 0,70 0,517 Error 12 86,00 7,17 Total 14 96,00 Individual 95% CIs For Mean Based on Pooled StDev Level N Mean StDev A 5 6,000 1,581 ( * ) B 5 7,000 3,808 ( * ) C 5 8,000 2,121 ( * ) Pooled StDev = 2,677 4,0 6,0 8,0 10,0 Minitab One-Way Unstacked

135 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 135 Exemplo Na definição do Setup dos fatores para o processo Inside Spray quatro conjuntos de níveis para os parâmetros de Temperatura foram avaliados. Deseja-se investigar o efeito desses quatro Setups com relação a Distribuição do Verniz interno no fundo para cerveja medidas em mg/pol 2 após o processo. Tais medidas são dadas na planilha ao lado. One-Way ANOVA

136 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 136 Usar o Procedimento Stack Columns para executar o Teste ANOVA One-Way (preferível pois faz a análise de resíduos!!) ANOVA One-Way (Unstacked)

137 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 137 As médias são diferentes ANOVA One-Way: Resultados

138 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 138 ANOVA One-Way: Boxplots

139 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 139 ANOVA One-Way: Residuals x Fitted

140 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 140 Exemplo No processo Bodymaker deseja- se investigar a Profundidade do Dome em função de 3 conjuntos de parâmetros (envolvendo pressão, Temperatura Vazão, etc...) e também em dois turnos de operação. Foram então colhidas amostras da Profundidade do Dome (em polegadas) para diferentes Turnos e diferentes Conjuntos de Parâmetros. Anova_2.MTW Two-Way ANOVA Processo de fabricação de latas

141 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 141 ANOVA Two-Way: Follow along

142 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 142 Diferentes Iguais ANOVA Two-Way: Resultados

143 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 143 Exemplo Foram avaliados três níveis de pressões de ar draw pad (em psi) e também três níveis de pressões de ar blow off (em psi) na influência de problemas visuais após o processo Minster. O número de defeitos visuais (Riscos, Abaulamento, orelhas, rebarbas, rugas e ovalização) está mostrado na planilha ao lado. Anova_3.MTW ANOM Análise de Médias ANOM: Para identificar qual média é diferente e avaliar a Interação!

144 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 144 ANOM Isso é melhor estudado em DOE!

145 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 145 Não há interação entre as pressões Blow e Draw. O Efeito de Blow é significativo! ANOM: Gr á ficos

146 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 146 A Pressão Blow afeta mais a média 3,0 e 8,83 são valores distantes de 6,22 Draw Blow ANOM: Resultados

147 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 147 Exemplo Deseja-se avaliar o tempo gasto (em minutos) por seis funcionários para ajustar o Setup de dois processos (I e II) usando dois diferentes procedimentos (um novo e um antigo). A planilha seguinte mostra os resultados obtidos. Anova_5.MTW Balanced Anova Processo de fabricação de latas Isso é a base para DOE - Delineamento de Experimentos!

148 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 148 Balanced ANOVA

149 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 149 Diferentes Balanced ANOVA: Resultados

150 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 150 TWO-WAY Ex.: An engineer suspects that the surface finish of metal parts is influenced by paint used and the drying time. Using a 5% significance level, test the influence of these two factors as also its interaction.

151 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 151 TWO-WAY Drying Time (min) Paint Total (yi..) Total: (y.j.) (y…)

152 Pedro Paulo Balestrassi - Engenharia da Qualidade I 152 TWO-WAY Ex.: Am experiment describes na investigation about the effect of glass type and phosphor type on the brigtness of a television tube. The response is the current (mA) necessary to obtain a specified brightness level. Using a 5% significance level, test the influence of these two factors as also its interaction.


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