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Integrais Triplas em Coordenadas Cilíndricas
Aula 24 Integrais Triplas em Coordenadas Cilíndricas
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Coordenadas Polares Em geometria plana, o sistema de coordenadas polares é usado para dar uma descrição conveniente de certas curvas e regiões.
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Relação entre coordenadas polares e coordenadas cartesianas
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Coordenadas Cilíndricas
Em três dimensões, há uma sistema de coordenadas, chamado coordenadas cilíndricas que é análogo às coordenadas polares e dá a descrições convenientes de algumas superfícies e sólidos que ocorrem usualmente. Como veremos, algumas integrais triplas são muito mais fáceis de calcular em coordenadas cilíndricas.
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Coordenadas Cilíndricas
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Conversão Para converter de coordenadas cilíndricas para retangulares, usamos as equações enquanto que para converter de coordenadas retangulares para cilíndricas usamos
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Exemplo 1 (a) Marque o ponto com coordenadas cilíndricas e encontre suas coordenadas retangulares. (b) Encontre as coordenadas cilíndricas do ponto em coordendas retangulares
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Coordenadas Cilíndricas
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Coordenadas Retangulares
Logo, o ponto em coordenadas retangulares é
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Coordenadas cilíndricas
(b) Logo, o ponto em coordenadas cilíndricas é
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Utilidade das Coordenadas Cilíndricas
Coordenadas cilíndricas são úteis em problemas que envolvem simetria em torno de um eixo e o eixo é escolhido de modo a coincidir com o eixo de simetria.
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Exemplo
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Exemplo 2 Descreva a superfície cuja equação em coordenadas cilíndricas é Solução: A equação diz que o valor de ou altura, de cada ponto da superfície é o mesmo que a distância do ponto ao eixo Como não aparece, ele pode variar. Assim, qualquer corte horizontal no plano é um círculo de raio
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Exemplo 2
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Integrais Triplas em coordenadas cilíndricas
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Integrais Triplas em coordenadas cilíndricas
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Integrais Triplas em coordenadas cilíndricas
onde
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Exemplo 3 Um sólido está contido no cilindro abaixo do plano e acima do parabolóide (veja a figura). A densidade em qualquer ponto é proporcional à distância do ponto ao eixo do cilindro. Determine a massa de
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Exemplo 3
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Exemplo 3 Em coordenadas cilíndricas, O cilindro é O parabolóide é Então podemos escrever Função densidade
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Exemplo 3
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Exemplo 4 Calcule
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Exemplo 4 Projeção de sobre o plano é o disco
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Região descrita em coordenadas cilíndricas
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