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Aula 24 Integrais Triplas em Coordenadas Cilíndricas.

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1 Aula 24 Integrais Triplas em Coordenadas Cilíndricas

2 Coordenadas Polares Em geometria plana, o sistema de coordenadas polares é usado para dar uma descrição conveniente de certas curvas e regiões.

3 Relação entre coordenadas polares e coordenadas cartesianas

4 Coordenadas Cilíndricas Em três dimensões, há uma sistema de coordenadas, chamado coordenadas cilíndricas que é análogo às coordenadas polares e dá a descrições convenientes de algumas superfícies e sólidos que ocorrem usualmente. Como veremos, algumas integrais triplas são muito mais fáceis de calcular em coordenadas cilíndricas.

5 Coordenadas Cilíndricas

6 Conversão Para converter de coordenadas cilíndricas para retangulares, usamos as equações enquanto que para converter de coordenadas retangulares para cilíndricas usamos

7 Exemplo 1 (a) Marque o ponto com coordenadas cilíndricas e encontre suas coordenadas retangulares. (b) Encontre as coordenadas cilíndricas do ponto em coordendas retangulares

8 Coordenadas Cilíndricas (a)

9 Coordenadas Retangulares Logo, o ponto em coordenadas retangulares é

10 Coordenadas cilíndricas (b) Logo, o ponto em coordenadas cilíndricas é

11 Utilidade das Coordenadas Cilíndricas Coordenadas cilíndricas são úteis em problemas que envolvem simetria em torno de um eixo e o eixo é escolhido de modo a coincidir com o eixo de simetria.

12 Exemplo

13 Exemplo 2 Descreva a superfície cuja equação em coordenadas cilíndricas é Solução: A equação diz que o valor de ou altura, de cada ponto da superfície é o mesmo que a distância do ponto ao eixo Como não aparece, ele pode variar. Assim, qualquer corte horizontal no plano é um círculo de raio

14 Exemplo 2

15 Integrais Triplas em coordenadas cilíndricas

16

17 onde

18 Um sólido está contido no cilindro abaixo do plano e acima do parabolóide (veja a figura). A densidade em qualquer ponto é proporcional à distância do ponto ao eixo do cilindro. Determine a massa de Exemplo 3

19

20 Em coordenadas cilíndricas, O cilindro é O parabolóide é Então podemos escrever Função densidade

21 Exemplo 3

22 Exemplo 4 Calcule

23 Exemplo 4 Projeção de sobre o plano é o disco

24 Região descrita em coordenadas cilíndricas

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