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Para Computação Aula de Monitoria – Prova 1 2012.1 – Gisely Melo.

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1 Para Computação Aula de Monitoria – Prova – Gisely Melo

2 Livro! Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely2 1) Notas sobre crescimento de função – 180 2) Notas sobre Indução – 263 3) Notas sobre Definições Recursivas – 295 4) Contagem – 335 5) inclusão-exclusão – 499 6) Teorema binomial, Triângulo de Pascal (permutações) - 355

3 Contagem Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely3 exemplo 1 QUANTAS CADEIAS DE 6 BITS COMEÇAM E TERMINAM COM BITS IGUAIS 2 X 2 X 2 X 2 X 2 X /01/01/01/01/0 * Esse valor vai depender do primeiro, logo nessa posição só vai ter uma opção: A QUE FOI COLOCADA NO PRIMEIRO QUADRADO

4 Contagem Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely4 exemplo 2 QUANTAS CADEIAS DE 8 BITS PODEMOS FORMAR DE MODO QUE ELAS SEJAM PALÍDROMOS? 2 X 2 X 2 X 2 X 1 X 1 X 1 X 1 16 CADEIAS 1/0.... Essas ultimas quatro posições vão procurar saber o que a correspondente a ela colocou...

5 Contagem Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely5 1)Encontre a quantidade de inteiros positivos que são menores ou iguais a 100 que ñ são divisíveis por 5 e por 7. Por 5 Por 7 Por 5 e por 7 Calcularemos primeiro a quantidade de inteiros positivos: De 1 até números Depois Calcularemos a quantidade de inteiros positivos divisíveis por 5 e por 7: {35, 70} = 2 números Resposta 100 – 2 = 98

6 Contagem Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely6

7 Contagem Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely7 11/ Essa opção já esta incluída em A e em B Exemplo: 1) Quantas cadeias de tamanho 8 ou começam com o bit 1, ou terminam com 2 bits 00?

8 Contagem Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely8 Exemplo : questão 5 da lista de vocês: QUANTAS CADEIAS DE 6 BITS COM 4BITS “1” JUNTOS EXISTEM?

9 Contagem Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely9 Exemplo: QUANTAS CADEIAS DE 5 BITS COMEÇAM OU TERMINAM COM ”00”?

10 Contagem Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely10 Cada elemento pode estar presente ou não no conjunto das partes. Temos duas possibilidades pra cada um

11 Casa dos pombos Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely11

12 Casa dos pombos Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely12 5) Qual o número mínimo de pessoas que deveríamos agrupar para garantir que pelo menos 2 nasceram no mesmo mês e com a mesma letra inicial do nome? 1.JANEIRO 2.FEVEREIRO 3.MARÇO 4.ABRIL 5.MAIO 6.JUNHO 7.JULHO 8.AGOSTO 9.SETEMBRO 10.OUTUBRO 11.NOVEMBRO 12.DEZEMBRO QRSTUVWXYZQRSTUVWXYZ • No pior caso, se tivermos 26*12=312 pessoas em todos os meses do ano, • portanto, se adicionarmos mais uma sempre haverá alguma outra pessoa que nasceu no mesmo mês e seu nome tem a mesma letra inicial. Resposta = 313 ABCDEFGHIJKLMABCDEFGHIJKLM

13 Casa dos pombos Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely13 6) Entre 100 pessoas quantas pelo menos nasceram no mesmo mês? • Eu vou dividir 100 por 12 pra ver quantos grupos de 12 certinho eu consigo formar • Depois percebo que da 8, ? Resposta Função teto de: 8,333 = 9

14 Rafael Acevedo João Pedro Mas Rafael Acevedo e João Pedro Existem... Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely14

15 Mas Rafael e João Existem... Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely15 Na cabeça deles, a resposta era 8 e isso fez com que os dois ficassem no meu pé depois da aula. Tô mentindo? eheheh • Vamo FINGIR que eles estão certos e imagina que a resposta é 8 beleza? ? • Multiplica ai 8 por 12, da quanto • 96 né? Mas são 100 pessoas. Aonde vão parar aos outras 4?

16 Mas Rafael e João Existem... Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely16 É só imaginar que já tem 12 grupos com 8 pessoas fechados ta ligado? • E as 4 que estão perambulando por ai? janeiro 8 pessoas fevereiro 8 pessoas março 8 pessoas abril 8 pessoas maio 8 pessoas junho 8 pessoas julho 8 pessoas agosto 8 pessoas setembro 8 pessoas outubro 8 pessoas novembro 8 pessoas dezembro 8 pessoas • Elas vão ter que entrar em algum mês desse ai. • Vamo colocar cada uma em um mês diferente

17 Mas Rafael e João Existem... Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely17 É só imaginar que já tem 12 grupos com 8 pessoas fechados ta ligado? janeiro 8 pessoas fevereiro 8 pessoas março 8 pessoas abril 8 pessoas maio 8 pessoas junho 8 pessoas julho 8 pessoas agosto 8 pessoas setembro 8 pessoas outubro 8 pessoas novembro 8 pessoas dezembro 8 pessoas Essas 4 pessoas a mais são justamente a parte decimal do 8,333 sacaram?

18 Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely18 Aritmética Modular!

19 Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely19 Dizemos que a ≡ b(mod m) se e somente se a mod m = b mod m. 16 mod 5 7 ≡ 2(mod 5)

20 Aritmética Modular! Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely20 10) Indique o inverso de: a) 4 mod 9 b) 3 mod 5 c) 7 mod 17

21 Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely21 Teorema Chinês...

22 Teorema Chinês! Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely22 11) Indique as soluções para os seguintes sistemas a) X ≡ 3 (mod 9) X ≡ 4 (mod 7) X ≡ 2 (mod 5)

23 Teorema Chinês! Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely23 M M = m 1 X m 2 X m 3 M M k = M /m k M X = a 3. M 1. Y 1 + a 2.M 2.Y 2 + a 3.M 3.Y 3 (mod M)

24 Teorema Chinês! Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely24 LOCALIZANDO OS VALORES DAS VARIÁVEIS NO SISTEMA: a) X ≡ 3 (mod 9) X ≡ 4 (mod 7) X ≡ 2 (mod 5) M M = m 1 X m 2 X m 3 M M = 315 M X = a 1. M 1. Y 1 + a 2.M 2.Y 2 + a 3.M 3.Y 3 (mod M) a 1 = 3 a 2 = 4 a 3 = 2 a 1 = 3 a 2 = 4 a 3 = 2 m 1 = 9 m 2 = 7 m 3 = 5 m 1 = 9 m 2 = 7 m 3 = 5

25 Teorema Chinês! Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely25 SÓ FALTAM OS INVERSOS

26 Teorema Chinês! Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely26

27 Teorema Chinês! Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely27 X = a 1. M 1. Y 1 + a 2.M 2.Y 2 + a 3.M 3.Y 3 (mod M) X = { }(mod 315) X = (mod 315) X = 1992(mod 315) X = 102 X = a 1. M 1. Y 1 + a 2.M 2.Y 2 + a 3.M 3.Y 3 (mod M) X = { }(mod 315) X = (mod 315) X = 1992(mod 315) X = 102 a 1 = 3 a 2 = 4 a 3 = 2 M 1 = 35 M 2 = 45 M 3 = 63 M = 315 Y 1 = 8 Y 2 = 5 Y 3 = 2 a 1 = 3 a 2 = 4 a 3 = 2 M 1 = 35 M 2 = 45 M 3 = 63 M = 315 Y 1 = 8 Y 2 = 5 Y 3 = 2 Agora que temos todos os valores necessários, podemos aplicar na fórmula:

28 Teorema Chinês! Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely28

29 Crescimento de Função! Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely29

30 Crescimento de Função! Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely30 A letra c denota uma constante qualquer NOTAÇÃONOME O(x x )ordem exponencial O(x!)Ordem fatorial O(c x )ordem exponencial O(x c )Ordem polinomial O(x · log x)ordem linear-logarítmica O(x)ordem linear O(log x)ordem logarítmica O(1)ordem constante Abaixo há uma lista de classes de funções que são bastante utilizadas para análise de algoritmos, por ordem decrescente de crescimento de funções.

31 Crescimento de Função! Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely31 PROPRIEDADES:

32 Crescimento de Função! Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely32 n! 2n2n n2n2 n log n n log n 1 1 <= log n <= n <= n log n <= n 2 <= 2 n <= n! <= n n O resto é derivada deles...

33 Crescimento de Função! Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely33 Retire todas as Constantes f(x): 3x f(x): x 2 O(x 2 ) Retire todas as Constantes f(x): 3x f(x): x 2 O(x 2 ) Fica sendo o big-O aquele que possuir maior expoente. g(x) = 3x x 5 = x 2 + x 5 = x 5 Fica sendo o big-O aquele que possuir maior expoente. g(x) = 3x x 5 = x 2 + x 5 = x 5 reduzir os expoentes... h(x) = 3x x x 12 /x 4 = x 2 + x 5 + x 12 /x 4 = x 2 + x 5 + x 8 = x 8 O(x 8 ) reduzir os expoentes... h(x) = 3x x x 12 /x 4 = x 2 + x 5 + x 12 /x 4 = x 2 + x 5 + x 8 = x 8 O(x 8 ) ampliar os expoentes... r(x) = 3x x 5 + 5(x 6. x 4 ) r(x) = x 2 + x 5 + (x 6. x 4 ) = x 2 + x 5 + (x 10 ) = (x 10 ) O(x 10 ) ampliar os expoentes... r(x) = 3x x 5 + 5(x 6. x 4 ) r(x) = x 2 + x 5 + (x 6. x 4 ) = x 2 + x 5 + (x 10 ) = (x 10 ) O(x 10 ) O(x 5 )

34 Crescimento de Função! Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely34

35 Crescimento de Função! Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely35

36 Crescimento de Função! Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely36

37 Crescimento de Função! Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely37

38 Crescimento de Função! Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely38 o BIG–O é pra estimar o tempo que um algoritmo leva pra ser realizado.. Essas equações que vocês veem, é como se fosse a “soma dos tempos”. E não faz sentido aparecer tempo negativo na equação...

39 Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely39 Tem mais ó...

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41 A questão diz que f e g são sobrejetoras, e pergunta se fog também é!

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