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Prof. Cesário. 1 – CENTRO DE MASSA Observe o movimento das duas esferas presas por uma haste. Elas, bem como a haste, giram em torno de um ponto que não.

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1 Prof. Cesário

2 1 – CENTRO DE MASSA Observe o movimento das duas esferas presas por uma haste. Elas, bem como a haste, giram em torno de um ponto que não coincide com o centro da haste. Este ponto é de grande importância no estudo dos movimentos dos corpos, colisões e explosões, equilíbrio e outros tópicos de mecânica. Ele é chamado de centro de massa. Funciona como se toda a massa estivesse nele concentrado. O centro de massa pode coincidir ou não com o: - Centróide – centro de simetria do corpo quando há uma distribuição uniforme de massa. Como por exemplo numa chapa metálica retangular de espessura uniforme. - Centro de gravidade – quando o corpo for rígido e existir massa no centro de massa. O centro de um anel é centro de massa mas não é centro de gravidade.

3 2 – CENTRO DE MASSA DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS Se (x i, y i, z i ) são as coordenadas dos pontos onde estão as partículas de massas m i, o centro de massa terá coordenadas (x CM, y CM, z CM ), tais que: x CM = mixi mimixi mi y CM = miyi mimiyi mi z CM = mizi mimizi mi Exemplo: determinar as coordenadas do centro de massa do conjunto de partículas indicadas no gráfico a seguir Solução: massas e as respectivas coordenadas 0,5 g (1, 10); 0,5 g (2, 5); 0,5 g (3, 0) 0,5 g (5, 7); 1 g (6, 1); 0,4 g (7, 4) 0,8 g ( 7, 9); 0,2 g (9, 3); 0,6 g (9, 6)  m = 0,5 + 0,5 + 0,5 + 0, ,4 + 0,8 + 0,2 + 0,6 = 5 g  x i m i = 0, , , , , , , ,6.9 = 27,1  y i m i = 0, , , , , , , ,6.6 = 31 x CM = 27,1/5 = 5,42 y CM = 31/5 = 6,2 Resposta: CM (5,42; 6,2)

4 3 – CENTRO DE MASSA DE CORPOS COM DISTRIBUIÇÃO UNIFORME DE MASSA E EIXO DE SIMETRIA Se o corpo, cuja massa é distribuída uniformemente, pode ser dividido simetricamente por um eixo, o centro de massa está sobre esse eixo. Exemplos: As mediatrizes dos lados do retângulo divide-o em partes simétricas. Estas mediatrizes passam pelo centro do retângulo (que também é a Interseção das diagonais). Assim, o centro de massa é o centro do retângulo. Círculo. O centro de massa é o centro do círculo.

5 Eixos de simetria Centro de massa

6 4 – DETERMINAÇÃO EXPERIMENTAL DO CENTRO DE MASSA Seja determinar o centro de massa do corpo indicado na figura. Por meio de um cordão preso ao corpo deixa-o entrar em equilíbrio. Marca-se sobre o corpo a vertical determinada pelo fio. Repete-se o procedimento com o fio em outro ponto do corpo 1º ponto 2º ponto 1º ponto Vertical determinada pelo fio na segunda posição. Centro de massa Vertical determinada pelo fio na primeira posição.

7 4 – CENTRO DE MASSA DE FIGURAS PLANAS Se a distribuição da massa for uniforme pode-se usar a proporcionalidade entre a área e a massa. Nesse caso, x CM = Aixi AiAixi Ai y CM = Aiyi AiAiyi Ai Figura área CM b h A= b.h (b/2, h/2) b h A= b.h/2 (b/3, h/3) A =  r 2 /4 r r (4r/3 , 4r/3  ) Figura área CM A =  r 2 /2 (0, 4r/3  )

8 5 - CENTRO DE MASSA DE CORPOS COMPOSTOS O centro de massa de um corpo composto pode ser obtido separando-o em figuras conhecidas e usando: x CM = Aixi AiAixi Ai y CM = Aiyi AiAiyi Ai onde A i e (x i, y i ) é a área e as coordenadas do CM de cada parte. Exemplo: calcular o CM do corpo Escolhendo o sistema de eixos y x O corpo pode ser separado em um retângulo de 50 x 20, um triângulo retângulo de 30 x 30 e um retângulo de 40 x cm 20 cm 30 cm 60 cm Retângulo 1: A = = 1000 CM(25, 50) Retângulo 2: A = = 800 CM(10, 20) Triângulo: A = 30.30/2 = 450 CM(30, 30) x CM = ( )/2250 = 15,3 y CM = ( )/2250 = 35,3 CM = (15,3; 35,3)

9 6 – CORPOS COM FUROS Considera-se o furo como tendo massa ou área negativa e aplica-se as mesmas fórmulas anteriores. Exemplo 30 cm 20 cm 10 cm 10 cm 20 cm 10 cm Retângulo: área 60 x 40 = 2400 CM (30, 20) Quadrado: área 20 x 20 = 400 CM(40, 20) x CM = [(2400 x 30) + (-400 x 40)]/(2400 – 400) = 28 y CM = [(2400 x 20) + (-400 x 20)]/(2400 – 400) = 20 CM = (28, 20)

10 Exercícios 1 - Calcule o centro de massa do sistema formado pelas duas esferas e a barra sendo: esfera 1 – raio = 10 cm, massa 200 g; esfera 2 – raio 8 cm, massa 150 g; barra 60 cm por 20 cm, massa 450 g. Resposta: (28,125; 12,425) 2 - Sejam três pontos materiais definidos por m (x, y), onde m representa a massa em kg e x e y as coordenadas cartesianas, em metros tais que: P 1 = 2 (0,-1); P 2 = 1 (1, 0) e P 3 = 2 (2, 6). Quais são as coordenadas do centro de massa desse conjunto? Resposta: (1, 2) 3 - Determinar as coordenadas do Centro de massa da placa homogênea, de espessura uniforme, indicada na figura ao lado. 4cm 10 cm 19 cm 6cm 4cm Resposta: (7,7; 3,2) cm 2 (0, 0) 1

11 4 - Três barras finas de comprimento "L" são dispostas conforme figura ao lado. As duas barras horizontais têm massa M e a barra vertical massa 4M. Qual a localização do centro de massa do conjunto? Resposta: x cm = 0,83L, y cm = 0,5L 5 - A figura mostra uma placa metálica uniforme de raio 2R da qual foi retirado um disco de raio R. pelo processo de estampagem, em uma linha de produção industrial. Localize o centro de massa usando o sistema de coordenadas xy mostrado. Resposta: x cm = R/3, y cm = 0. 6 – Determine as coordenadas do centro de massa da figura a seguir onde o retângulo é um furo na placa. 9 cm 20 cm 10 cm 9 cm 14 cm Resposta: (11,21; 7,63)


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