Centro de massa Prof. Cesário.

Apresentação em tema: "Centro de massa Prof. Cesário."— Transcrição da apresentação:

1 centro de massa Prof. Cesário

2 1 – CENTRO DE MASSA Observe o movimento das duas esferas presas por uma haste. Elas, bem como a haste, giram em torno de um ponto que não coincide com o centro da haste. Este ponto é de grande importância no estudo dos movimentos dos corpos, colisões e explosões, equilíbrio e outros tópicos de mecânica. Ele é chamado de centro de massa. Funciona como se toda a massa estivesse nele concentrado. O centro de massa pode coincidir ou não com o: Centróide – centro de simetria do corpo quando há uma distribuição uniforme de massa. Como por exemplo numa chapa metálica retangular de espessura uniforme. Centro de gravidade – quando o corpo for rígido e existir massa no centro de massa. O centro de um anel é centro de massa mas não é centro de gravidade.

3 miyi mizi mixi zCM = xCM = mi yCM =
2 – CENTRO DE MASSA DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS Se (xi, yi, zi) são as coordenadas dos pontos onde estão as partículas de massas mi, o centro de massa terá coordenadas (xCM, yCM, zCM), tais que: xCM = mixi mi yCM = miyi zCM = mizi Exemplo: determinar as coordenadas do centro de massa do conjunto de partículas indicadas no gráfico a seguir Solução: massas e as respectivas coordenadas 0,5 g (1, 10); 0,5 g (2, 5); 0,5 g (3, 0) 0,5 g (5, 7); 1 g (6, 1); 0,4 g (7, 4) 0,8 g ( 7, 9); 0,2 g (9, 3); 0,6 g (9, 6) Resposta: CM (5,42; 6,2) m = 0,5 + 0,5 + 0,5 + 0, ,4 + 0,8 + 0,2 + 0,6 = 5 g ximi = 0, , , , , , , ,6.9 = 27,1 yimi = 0, , , , , , , ,6.6 = 31 xCM = 27,1/5 = 5, yCM = 31/5 = 6,2

4 3 – CENTRO DE MASSA DE CORPOS COM DISTRIBUIÇÃO UNIFORME
DE MASSA E EIXO DE SIMETRIA Se o corpo, cuja massa é distribuída uniformemente, pode ser dividido simetricamente por um eixo, o centro de massa está sobre esse eixo. Exemplos: As mediatrizes dos lados do retângulo divide-o em partes simétricas. Estas mediatrizes passam pelo centro do retângulo (que também é a Interseção das diagonais). Assim, o centro de massa é o centro do retângulo. Círculo. O centro de massa é o centro do círculo.

5 Eixos de simetria Centro de massa

6 4 – DETERMINAÇÃO EXPERIMENTAL DO CENTRO DE MASSA
Seja determinar o centro de massa do corpo indicado na figura. Por meio de um cordão preso ao corpo deixa-o entrar em equilíbrio. 1º ponto 2º ponto Marca-se sobre o corpo a vertical determinada pelo fio. Vertical determinada pelo fio na primeira posição. 2º ponto 1º ponto Repete-se o procedimento com o fio em outro ponto do corpo Centro de massa Vertical determinada pelo fio na segunda posição.

7 Aixi Aiyi xCM = Ai yCM = 4 – CENTRO DE MASSA DE FIGURAS PLANAS
Se a distribuição da massa for uniforme pode-se usar a proporcionalidade entre a área e a massa. xCM = Aixi Ai yCM = Aiyi Nesse caso, b h A= b.h (b/2, h/2) Figura área CM Figura área CM A = r2/2 (0, 4r/3) b h A= b.h/ (b/3, h/3) A = r2/4 r (4r/3, 4r/3)

8 xCM = Aixi Ai yCM = Aiyi 5 - CENTRO DE MASSA DE CORPOS COMPOSTOS
O centro de massa de um corpo composto pode ser obtido separando-o em figuras conhecidas e usando: xCM = Aixi Ai yCM = Aiyi onde Ai e (xi, yi) é a área e as coordenadas do CM de cada parte. Exemplo: calcular o CM do corpo Escolhendo o sistema de eixos y x CM = (15,3; 35,3) 50 cm 20 cm 30 cm 60 cm O corpo pode ser separado em um retângulo de 50 x 20, um triângulo retângulo de 30 x 30 e um retângulo de 40 x 20. Retângulo 1: A = = CM(25, 50) Retângulo 2: A = = 800 CM(10, 20) Triângulo: A = 30.30/2 = 450 CM(30, 30) xCM = ( )/2250 = 15,3 yCM = ( )/2250 = 35,3

9 Considera-se o furo como tendo massa ou área negativa e aplica-se
6 – CORPOS COM FUROS Considera-se o furo como tendo massa ou área negativa e aplica-se as mesmas fórmulas anteriores. Exemplo Retângulo: área 60 x 40 = 2400 CM (30, 20) Quadrado: área 20 x 20 = 400 CM(40, 20) 30 cm 20 cm 10 cm 10 cm xCM = [(2400 x 30) + (-400 x 40)]/(2400 – 400) = 28 yCM = [(2400 x 20) + (-400 x 20)]/(2400 – 400) = 20 CM = (28, 20)

10 150 g; barra 60 cm por 20 cm, massa 450 g.
Exercícios 1 - Calcule o centro de massa do sistema formado pelas duas esferas e a barra sendo: esfera 1 – raio = 10 cm, massa 200 g; esfera 2 – raio 8 cm, massa 150 g; barra 60 cm por 20 cm, massa 450 g. 2 (0, 0) 1 Resposta: (28,125; 12,425) 2 - Sejam três pontos materiais definidos  por m (x, y), onde m representa a massa em kg e x e y as coordenadas cartesianas, em metros tais que: P1 = 2 (0,-1); P2 = 1 (1, 0) e P3= 2 (2, 6). Quais são as coordenadas do centro de massa desse conjunto? Resposta: (1, 2) 4cm 10 cm 19 cm 6cm 3 - Determinar as coordenadas do Centro de massa da placa homogênea, de espessura uniforme,  indicada na figura ao lado. Resposta: (7,7; 3,2) cm

11 4 - Três barras finas de comprimento "L" são dispostas
conforme figura ao lado. As duas barras horizontais têm massa M e a barra vertical massa 4M. Qual a localização do centro de massa do conjunto? Resposta: xcm = 0,83L, ycm = 0,5L 5 - A figura mostra uma placa metálica uniforme de raio 2R da qual foi retirado um disco de raio R. pelo processo de estampagem, em uma linha de produção industrial. Localize o centro de massa usando o sistema de coordenadas xy mostrado. Resposta: xcm = R/3, ycm = 0. 6 – Determine as coordenadas do centro de massa da figura a seguir onde o retângulo é um furo na placa. 14 cm Resposta: (11,21; 7,63) 10 cm 9 cm 20 cm 9 cm