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No Mundo da “MatemáGica” “É natural que nossos alunos sintam mais prazer quando estão envolvidos em atividades desafiadoras e que permitam a descoberta.

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1 No Mundo da “MatemáGica” “É natural que nossos alunos sintam mais prazer quando estão envolvidos em atividades desafiadoras e que permitam a descoberta. É o que chamamos de heurística. Para isso precisam de estímulo, de motivação, de provocação.” Prof. Ilydio Pereira de Sá (UERJ – USS – Pedro II)

2 Atividades Investigativas com Números, Operações e Geometria   Vamos apresentar aqui algumas atividades, jogos, truques, quebra-cabeças ou desafios envolvendo números e suas operações, álgebra elementar e geometria. O importante é que tais atividades sejam trabalhadas e investigadas, resistindo à tentação inicial de buscar “regras decoradas” e sem significado.   A tentativa e o erro são muito importantes no processo de aprendizagem. Numa atividade de investigação matemática o resultado é importante, mas, muito mais importante que a resposta é o caminho percorrido para encontrá-la.

3 Atividade 1: “A Carta Sorteada” Uma atividade interessante para alunos do Ensino Fundamental, como aplicação de operações numéricas e com expressões algébricas. Distribua uma carta de baralho para cada aluno da turma, escreva no quadro a seguinte convenção numérica: ValeteDamaReiÁs Valor da carta Valor do naipe Paus (  ) = 1 Espadas (  ) = 2 Ouros (  ) = 3 Copas (  ) = 4 Em seguida, peça que os alunos efetuem as operações, geradas pela seguinte seqüência de instruções: • multiplicar por 2 o valor da carta; • somar 4 ao resultado obtido; • multiplicar a soma obtida por 5; • somar o valor do naipe da carta.

4 Para descobrir a carta de cada aluno você terá apenas que subtrair 20 do resultado que ele obteve, em seguida separe com um ponto o algarismo final (o das unidades). Esse algarismo indicará o naipe da carta e o número formado pelos dois primeiros algarismos, indicará a carta do aluno. Por exemplo, se um aluno receber o rei de ouros, o naipe será 3 e a carta será 13. Se ele seguir a seqüência das operações, encontrará: 1.13 x 2 = = x 5 = = 153 Subtraindo 20 desse resultado, teremos: 153 – 20 = 133. Separando o algarismo das unidades, temos: O três indica que a carta é de ouros e o 13 indica que é um rei. Como se justifica isso?

5 Atividade 2: Os números telefônicos Vamos apresentar uma dessas brincadeiras que circulam pela Internet. Trata-se de uma seqüência de cálculos envolvendo os números telefônicos das pessoas. Recebi essa mensagem, por e, no final da mesma, vinha escrito...”a matemática tem coisas que nem Pitágoras explicaria”. Será? 1- Digite os 4 primeiros algarismos do número de seu telefone. 2- Multiplique esse número de 4 algarismos por Some 1 ao produto obtido. 4- Multiplique por 250 o resultado encontrado anteriormente. 5- Some a esse resultado o número formado agora pelos 4 últimos algarismos desse telefone. 6- Some novamente ao resultado obtido anteriormente, o mesmo número formado pelos 4 últimos algarismos do mesmo telefone. 7- Diminua 250 do resultado anterior. Divida por 2 esse último resultado. O que ocorreu? Como se justifica isso?

6 JUSTIFICATIVA Vamos supor que o número telefônico da pessoa seja indicado por: a b c d e f g h. Para facilitar o entendimento, vamos dividir esse número em duas partes, de 4 algarismos cada uma: A = a b c d e B = e f g h. Vamos seguir a seqüência das operações e ver ao que chegamos: 1. A A 3.(80. A + 1) 4.(80. A + 1). 250 = ( A + 250) – propriedade distributiva. 5.( A + 250) + B 6.( A + 250) + B + B = A + 2 B – redução de termos semelhantes A + 2 B – 250 = ( A + 2 B) 8.( A + 2 B) : 2 = A + B – propriedade distributiva. Verifique que, como A é um número natural de 4 algarismos, A será um número natural, de 8 algarismos, cujos 4 últimos (da direita) são todos iguais a zero. Quando somarmos A + B, passaremos a ter um número de 8 algarismos sendo que os 4 primeiros coincidem com o número A e os 4 últimos com o número B, ou seja, o resultado final da seqüência de operações será sempre o próprio número telefônico da pessoa.

7 Atividade 3: Adivinhando as datas Tome qualquer calendário. Peça para um amigo ou aluno para escolher 4 dias que formam um quadrado como os quatro pintados abaixo. A pessoa deve somá- los e lhe informar o resultado que obteve com essa soma. Assim que ele lhe disser o resultado, você poderá descobrir quais são os quatro dias que ele escolheu. JANEIRO 2006 DSTQQSS Suponha que a pessoa tivesse escolhido os 4 números acima assinalados. A soma deles será 104, verifique que sempre vai dar um múltiplo de 4....e....se você dividir a soma que ela obteve por 4 e, em seguida subtrair 4 do quociente obtido, encontrará sempre o primeiro número escolhido, verifique. Para obter os demais, basta somar 1, 7 e 8 ao primeiro. Por que tal fato sempre ocorre?

8 Atividade 4: Procurando o centro Um carpinteiro cortou cuidadosamente 4 discos de madeira que pretendia utilizar como rodas de um carrinho de brinquedo. Ele precisava determinar, com exatidão, o centro de cada disco, para poder fazer um buraco por onde passasse o eixo. Acontece que os únicos instrumentos que tinha à mão eram um esquadro não graduado e um lápis. Como ele poderia proceder para encontrar os centros de cada roda? Vamos ajudá-lo com nossos conhecimentos de Geometria?

9 Solução Coloca-se o vértice do esquadro num ponto qualquer da borda da roda e, com o lápis, marcam-se as interseções dos lados do esquadro com a borda da roda. Estes pontos definem as extremidades de um diâmetro do disco (lembre-se que o ângulo inscrito de 90º subentende um arco de 180º). Dessa forma, com o próprio esquadro, pode-se traçar esse diâmetro. Em seguida, girando o esquadro para outra posição, traçamos um outro diâmetro, procedendo da mesma forma. O ponto de interseção desses dois diâmetros será o centro procurado.

10 Atividade 5: Investigando quadrados perfeitos Sobre o tema raiz quadrada, existem ricas atividades investigativas que podem gerar procedimentos interessantes para esse cálculo, ao mesmo tempo que permitem também relembrar importantes propriedades dos números naturais. Vamos aqui exibir duas dessas atividades, que permitem saber se o número natural dado é um quadrado perfeito e, ao mesmo tempo, determinar a sua raiz quadrada. As duas técnicas que mostraremos, por sua simplicidade, poderão ser trabalhadas nas classes do Ensino Fundamental, associadas a outros temas tradicionais, como divisores de um número natural, por exemplo. A) Subtraindo números ímpares Uma forma de verificarmos se um número é quadrado perfeito é subtraindo-o, sucessivamente da seqüência dos números ímpares. Se chegarmos ao resultado zero, o número em questão é quadrado perfeito e o número de subtrações feitas é exatamente o valor da raiz quadrada desse número.

11 Vejamos alguns exemplos: – 1 = – 3 = – 5 = 7 7 – 7 = 0 Logo, o número 16 é um quadrado perfeito e a raiz quadrada de 16 é exatamente 4 (o número de subtrações que fizemos) – 1 = – 3 = – 5 = – 7 = – 9 = – 11 = 0 Logo, o número 36 é um quadrado perfeito e a raiz quadrada de 36 é exatamente 6 (o número de subtrações que fizemos) – 1 = – 3 = – 5 = – 7 = 8 8 – 9 ≠ 0 Logo, o número 24 NÃO é um quadrado perfeito. Como se justifica o processo?

12 B) Através dos divisores naturais do número investigado “Todo quadrado perfeito tem uma quantidade ímpar de divisores naturais. Ordenando tais divisores de forma crescente, o valor da raiz quadrada do número investigado é exatamente o número que se encontra no centro dessa seqüência.” Vejamos alguns exemplos: 49 Os divisores naturais de 49 são: 1, 7, 49. Como são 3 divisores (uma quantidade ímpar), o número 49 é quadrado perfeito. O termo que está no centro da seqüência ordenada dos divisores é o 7, logo, a raiz quadrada de 49 é igual a Os divisores naturais de 64 são: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64. Como são 7 divisores (uma quantidade ímpar), o número 64 é quadrado perfeito. O termo que está no centro da seqüência ordenada dos divisores é o 8, logo, a raiz quadrada de 64 é igual a 8. Como se justifica o processo?

13 Atividade 6: Teste “Maluco” Uma outra atividade numérica interessante e que também já tem circulado muito na internet. O interessante sobre ela é a sua justificativa e o seu uso nas classes do Ensino Fundamental, como incentivo para uma aula sobre critérios de divisibilidade. 1) Pense num número natural, de 1 a 9. 2) Multiplique esse número por 9. 3) Some os dois algarismos do número obtido. 4) Some 7 ao resultado da soma anterior. 5) Divida por 4 o resultado dessa nova soma. 6) Imaginando, sequencialmente, cada letra do nosso alfabeto associada a um número natural (A = 1; B = 2; C = 3; D = 4; E = 5;...), transforme o resultado anterior na letra correspondente. 7) Escreva agora o nome de um País da Europa iniciado pela letra encontrada... Para ajudar, veja a seguir uma tabela com os países da Europa.

14 AlbâniaChipreGréciaMalta Romênia AndorraCroáciaHungria MoldáviaRússia ArmêniaDinamarcaIrlanda MontenegroSan Marino ÁustriaEslováquiaIslândia Mônaco Sérvia AzerbaijãoEslovêniaItália Noruega Suíça BélgicaEstóniaLetônia Países Baixos Turquia BielorrússiaEspanhaLiechtenstein Polônia Ucrânia BulgáriaFinlândia LituâniaPortugal Vaticano Bosnia- Herzegovina França LuxemburgoReino Unido CazaquistãoGeórgia MacedôniaRepública Checa PAÍSES DA EUROPA

15 8) Procure agora a quinta letra do nome desse País. 9) Escolha agora, dentre os animais que não voem, o nome de um deles, que comece pela letra encontrada na fase anterior. Abaixo uma “ajudinha” Pronto....Terminou a brincadeira. Deixe apenas anotado o nome do País e do animal... agora, só uma observação final. QUEM DISSE QUE NA DINAMARCA EXISTEM MACACOS?

16 Atividade 7: Leitor de “Mentes” A matemática tem coisas tão interessantes que até parece mágica. É claro que o mais importante é a justificativa matemática desses desafios. Veja um exemplo a seguir...

17 99 98 97 96 95 94 93 92 91 90 89 88 87 86 85 84 83 82 81 80 79 78 77 76 75 74 73 72 71 70 69 68 67 66 65 64 63 62 61 60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 44 43 42 41 40 39 38 37 36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 Pense num número de dois dígitos (exemplo: 54) •Subtraia, desse número, seus dois dígitos (ex: = 45) •Olhe na tabela seguinte o símbolo correspondente ao seu resultado. •Concentre-se na figura que está à direita do resultado que você obteve. • Vou ler a sua mente e descobrir a imagem que você está olhando. • Vamos lá...pense num número e faça como instruímos...

18 Já li a sua mente e vou mostrar a figura que você olhou...  Alguém quer tentar de novo? ? ? ? ? ? ?

19 99  98  97  96  95  94  93  92  91  90  89  88  87  86  85  84  83  82  81  80  79  78  77  76  75  74  73  72  71  70  69  68  67  66  65  64  63  62  61  60  59  58  57  56  55  54  53  52  51  50  49  48  47  46  45  44  43  42  41  40  39  38  37  36  35  34  33  32  31  30  29  28  27  26  25  24  23  22  21  20  19  18  17  16  15  14  13  12  11  10  9  8  7  6  5  4  3  2  1  0  Só para lembrar, tem que pensar num número de dois algarismos e subtrair deste o valor de cada um de seus algarismos... Olhe bem a figura à direita do resultado, que vou ler a sua mente.

20  Você olhou a seguinte imagem... Outra pessoa quer tentar? ? ? ? ? ? ?

21 99  98  97  96  95  94  93  92  91  90  89  88  87  86  85  84  83  82  81  80  79  78  77  76  75  74  73  72  71  70  69  68  67  66  65  64  63  62  61  60  59  58  57  56  55  54  53  52  51  50  49  48  47  46  45  44  43  42  41  40  39  38  37  36  35  34  33  32  31  30  29  28  27  26  25  24  23  22  21  20  19  18  17  16  15  14  13  12  11  10  9  8  7  6  5  4  3  2  1  0  Já fez os cálculos? Então procure a figura ao lado do resultado que você obteve...

22  Já vou mostrar a imagem que você viu... Espere! Alguém mais quer tentar??? ? ? ? ? ? ?

23 99  98  97  96  95  94  93  92  91  90  89  88  87  86  85  84  83  82  81  80  79  78  77  76  75  74  73  72  71  70  69  68  67  66  65  64  63  62  61  60  59  58  57  56  55  54  53  52  51  50  49  48  47  46  45  44  43  42  41  40  39  38  37  36  35  34  33  32  31  30  29  28  27  26  25  24  23  22  21  20  19  18  17  16  15  14  13  12  11  10  9  8  7  6  5  4  3  2  1  0  Tome cuidado para não errar as contas... Vou mostrar agora a imagem que você olhou...

24  Coisas dessa maravilhosa ciência que é a Matemática... Você quer ver a explicação matemática desse jogo? ? ? ? ? ? ?

25 Só precisamos de traduzir para linguagem matemática todos os passos que fizemos ao longo do desafio. Seja DU o número em que pensamos, em que D é o algarismo das dezenas e U o algarismo das unidades. Você sabe bem que o algarismo D tem o seu valor multiplicado por 10, logo, a operação que fizemos DU – D – U significa Dx10 + U – D – U, ou seja, 10D – D + U – U ou ainda 9D. Note que o resultado será sempre um múltiplo de 9, independentemente do número escolhido a princípio. O que fizemos foi sempre colocar a mesma imagem, em cada tabela, ao lado dos múltiplos de 9. Dessa forma, não há como errar, concorda comigo? Prof. Ilydio Pereira de Sá – UERJ – USS – Col. Pedro II JUSTIFICATIVA...

26 Atividade 8: Os Cinco “Dois” Segue agora um desafio bastante interessante, envolvendo apenas o algarismo 2 e as quatro operações fundamentais da Matemática (Adição, Subtração, Multiplicação e Divisão). Tente escrever todos os números naturais, de 0 a 10, usando sempre “cinco“ algarismos dois e as operações fundamentais da matemática. Por exemplo, o zero pode ser obtido da seguinte maneira: Você consegue fazer isso com os demais números naturais, de 1 até 10?

27 Solução 1 = – 2 – 2 / 2 6 = – 2 2 = – 2 – 2 7 = 22 / 2 – 2 – 2 3 = – / 2 8 = 2 x 2 x – 2 4 = 2 x 2 x 2 – 2 – 2 9 = 2 x 2 x / 2 5 = – 2 / 2 10 =

28 Atividade 9: Quebra-cabeça com Pitágoras Atualmente existem, catalogadas, cerca de 400 demonstrações do Teorema de Pitágoras. Várias dessas demonstrações podem ser iniciadas com quebra-cabeças interessantes, como o que vamos propor. Trata-se de uma simples e criativa solução de Henry Perigal, publicada em 1873, em Londres. A partir de um triângulo retângulo qualquer, construímos 3 quadrados. Um sobre a hipotenusa e os outros dois sobre os catetos. Traçamos, em seguida, dois segmentos de reta no quadrado construído sobre o maior cateto, passando pelo seu centro, sendo um dos segmentos paralelo e o outro perpendicular à hipotenusa do triângulo retângulo.

29 A proposta do quebra-cabeça é recortar as 4 partes obtidas sobre o quadrado do meio e o quadrado menor e, com as 5 peças obtidas, tentar recobrir o quadrado maior (que foi feito sobre a hipotenusa). Que conclusões os alunos poderiam tirar após tal atividade introdutória?

30 Solução

31 Atividade 10: Aplicações da Aritmética Modular Uma das ferramentas mais importantes na teoria dos números é a aritmética modular, que envolve o conceito de congruência. Uma congruência é a relação entre dois números que, divididos por um terceiro - chamado módulo de congruência - deixam o mesmo resto. Por exemplo, o número 9 é congruente ao número 2, módulo 7, pois ambos deixam resto 2, ao serem divididos por 7. Representamos essa congruência do exemplo por 9  2, mod. 7. Vamos aqui apresentar algumas dessas aplicações. Em qualquer texto, um erro de ortografia numa palavra pode ser facilmente percebido, pois ou a palavra não faz parte do idioma ou não faz sentido com o contexto. Por exemplo, se digitamos engenheior, logo percebemos que fizemos uma inversão das duas últimas letras. Mas, quando isso ocorre com os algarismos de um número, de um código de identificação qualquer, não teríamos como perceber a troca num simples olhar. Para isso e também para minimizar fraudes, foram criados os chamados dígitos de controle ou verificação. Tais dígitos são normalmente baseados na noção de congruência que comentamos anteriormente.

32 O número de CPF de uma pessoa, no Brasil, é constituído de 11 dígitos, sendo um primeiro bloco com 9 algarismos e um segundo, com mais dois algarismos, que são dígitos de controle ou de verificação. A determinação desses dois dígitos de controle é feita através da congruência aritmética, módulo 11. No caso do CPF, o décimo dígito (que é o primeiro dígito verificador) é o resultado de uma congruência, módulo 11 de um número obtido por uma operação dos primeiros nove algarismos. 1) DÍGITOS DE CONTROLE DO NÚMERO DO CPF Se é a seqüência formada pelos 9 primeiros dígitos, devemos multiplicá-los, nessa ordem, pela base {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} e somar os produtos obtidos. O dígito que está faltando, que vamos representar por a 10 deve ser tal que ao ser subtraído da soma obtida, deve gerar um múltiplo de 10, isto é, se a soma obtida é S, o número S - a 10 deve ser múltiplo de 11, ou seja, S - a 10  0 mod 11. Note que tal número será o próprio resto da divisão por 11 da soma obtida.

33 A determinação do segundo dígito de controle é feita de modo similar, sendo que agora acrescentamos o décimo dígito (que já foi calculado anteriormente) e usamos uma base de multiplicação de 0 a 9. Vejamos um exemplo: Se o CPF de uma pessoa tem os seguintes 9 primeiros dígitos: , quais serão os seus dois dígitos de controle? a) Cálculo do primeiro dígito de controle: Efetuando as multiplicações correspondentes, teremos: 2 x x x x x x x x x 9 = 116. Dividindo o número 116 por 11, teremos: Dessa forma, o primeiro dígito de controle será o algarismo 6. Agora, para determinarmos o segundo dígito de controle, acrescentamos o décimo número, que acabamos de calcular e usamos a base de multiplicação indo de 0 a 9.

34 Efetuando as multiplicações, teremos: 2 x x x x x x x x x x 9 = 145 Dividindo o número 145 por 11, teremos: Logo, o segundo dígito de controle é o 2. Concluímos então que, no nosso exemplo, o CPF completo seria: Observações: • Se o resto da divisão fosse 10, ou seja, se o número obtido fosse congruente ao 10, módulo 11, usaríamos, nesse caso, o dígito zero. Temos ainda a informação de que o nono dígito (da esquerda para a direita) representa a região fiscal onde o CPF foi emitido. Verifique esse código na lista abaixo: 1 (DF-GO-MS-MT-TO), 2 (AC-AM-AP-PA-RO-RR), 3 (CE-MA-PI), 4 (AL-PB-PE-RN), 5 (BA-SE), 6 (MG), 7 (ES-RJ), 8 (SP), 9 (PR-SC) e 0 (RS).

35 2) CÓDIGO DE BARRAS EAN-13 Um dos códigos de barras mais usados no mundo todo é o EAN-13, usado para a identificação da maioria dos artigos que normalmente compramos. É constituído de 13 algarismos, sendo que o último é o dígito de controle. Nesse caso é usado a congruência módulo 10 e os fatores que constituem a base de multiplicação são os dígitos 1 e 3, que vão se repetindo da esquerda para a direita, correspondendo a cada um dos 12 primeiros números do código. Se é a seqüência formada pelos 12 primeiros dígitos, devemos multiplicá-los, nessa ordem, pela base {1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3} e somar os produtos obtidos. O dígito que está faltando, que vamos representar por a 13 deve ser tal que ao ser somado com soma obtida, deve gerar um múltiplo de 10, isto é, se a soma obtida é S, o número S + a 13 deve ser múltiplo de 10, ou seja, S + a 13  0 mod 10. Vejamos um exemplo: Numa embalagem de uma garrafa para bebidas, de Portugal, temos o seguinte código de barras:

36 Vamos efetuar os cálculos para a determinação do dígito de controle (que estamos vendo ser o dígito 7) Efetuando os produtos, teremos: = Logo, o dígito de controle será igual a 7 (10 – 3). Note que = 90 (múltiplo de 10) OBSERVAÇÃO: No código de barras com 13 algarismos, os três primeiros dígitos do código representam o país de registro do produto (verifique que para produtos filiados no Brasil teremos sempre os dígitos 7, 8 e 9); os quatro dígitos seguintes identificam o fabricante; os próximos cinco dígitos identificam o produto e o último, como já sabemos, é o dígito verificador ou de controle.

37 Essa é para você resolver. Descubra o valor do dígito de controle do código de barras abaixo: Vamos escrever a seqüência dos 12 primeiros dígitos, repetindo abaixo deles, da esquerda para a direita, a seqüência 1, 3, 1, 3, 1, 3, Vejamos agora a soma dos produtos encontrados: S = = 102 Como o resultado da divisão de 102 por 10, deixa resto 2, o dígito que estamos procurando será igual a 8 (10 – 2). Logo, o dígito verificador desse código de barras EAN-13 é 8. ? ? Fácil, não?

38 Atividade 11: Descobrindo o número pensado Existem diversas adivinhações sobre a descoberta de um número que foi pensado pelo aluno ou por uma pessoa qualquer. Vamos mostrar aqui uma delas, que pode ser modelo para a criação de várias outras similares. Convide a pessoa (ou seu aluno) a pensar em um número qualquer. Esse número deverá ser usado em uma seqüência de operações, mostradas a seguir: 1) multiplicar o número pensado por 5; 2) somar 8 ao resultado; 3) multiplicar por 4; 4) somar 6; 5) multiplicar por 5 Se a pessoa disser que o resultado final foi 790, você prontamente dirá que ele pensou no número 6. Se ele disser que o resultado final foi 1390, você dirá, imediatamente, que ele pensou no número 12. Por que será? Tente descobrir como funciona esse “truque”.

39 Atividade 12: Que Buraco é esse? Verifique que os dois triângulos retângulos da figura abaixo são congruentes (ambos têm catetos medindo 5 e 13 unidades). Como se explica o fato do segundo deles ter um “quadradinho” a mais em sua área?

40 Solução Verifique que as hipotenusas dos triângulos verde e vermelho, na figura dada, não estão alinhadas, pois os menores ângulos agudos desses triângulos não são iguais. Logo, a figura toda, composta das 4 partes coloridas, não é um triângulo. Ilusoriamente pensamos que a linha que une os pontos A e B é um segmento de reta. Na realidade são dois segmentos de reta não alinhados, de modo que quando as quatro peças são “reagrupadas” há uma sobra correspondente a essa diferença formada. α β B A Note que os ângulos α e β não são iguais, já que têm tangentes diferentes.

41 Certa vez, li num artigo da Internet, que um professor havia encontrado um aluno que só sabia multiplicar e dividir por 2 e que, mesmo assim, conseguia resolver (e até com certa rapidez) todas as multiplicações envolvendo dois números naturais, até mesmo com números bem grandes. No artigo mostrava que ele procedia da seguinte maneira. Por exemplo, se ele queria multiplicar 85 por 42, ele fazia da seguinte maneira: 1.Montava uma tabela, com duas colunas, iniciando uma delas pelo 85 e a outra pelo Enquanto ia dividindo os números da coluna da esquerda por dois, abandonando os “quebrados”, se fosse o caso, ia multiplicando os números da coluna da direita por 2. 3.Em seguida, abandonava todas as linhas da tabela, cujos números da esquerda eram PARES. 4.Finalmente, somava todos os números da segunda coluna que haviam sobrado. Era o resultado da multiplicação. Atividade 13: O homem que só sabia multiplicar ou dividir por dois

42 Veja como ele fazia Abandonando as linhas marcadas em azul Somando os números que sobraram na coluna da direita, teremos: = Verifique numa calculadora, fazendo 85 x 42 e verifique que o resultado está correto. Verifiquei que o processo usado por esse aluno era uma técnica usada pelos antigos camponeses Russos. Um método muito eficiente e que facilita bastante o cálculo mental. Veja a justificativa do método:

43 Veja uma situação prática. Se você tem 16 notas de 5 reais, é o mesmo que se tivesse 8 notas de 10 reais ou 4 notas de 20 reais. É claro que uma multiplicação não se altera se um dos fatores dobra e o outro fica reduzido à metade. Todo esse método está escorado nessa simples propriedade das multiplicações. Vamos observar um primeiro exemplo simples, onde um dos fatores é uma potência de 2. Façamos 16 x 45: Nesse caso, verificamos que o produto procurado, que é 16 x 45, é também igual a 8 x 90 ou 4 x 180 ou 2 x 360 ou ainda 1 x 720. É claro, portanto que o produto será 720. Verifique que, para esses casos (quando um dos fatores é potência de 2), o resultado da multiplicação é o número que está ao lado do número 1 (o único fator ímpar que surgiu na coluna da esquerda). Mas se o número dado não é uma potência de 2? Como se justifica o processo usado? Vejamos um outro exemplo: 24 x 34 = ?

44 Nesta multiplicação, temos 24 grupos de 34 ou 12 grupos de 68 ou 6 grupos de 136. Quando chegamos ao número 3, sabemos que, por ser ímpar, não teríamos uma quantidade inteira de grupos. Substituímos então o 3 por 2, ficamos com 2 grupos de 272 e guardamos um grupo. Como a metade de 2 é 1, chegamos ao resultado 544. Só que este resultado está incompleto, pois havíamos guardado um grupo de 272. Logo, a resposta correta é = 816. Verifique que na realidade é só usar a regrinha prática mostrada pelo aluno, ou seja, somar todos os números da coluna da direita, correspondentes a números ímpares da coluna da esquerda. Criativo e fácil, não? Métodos como esse, da multiplicação feita pelos camponeses Russos é que mostram toda a riqueza de uma atual tendência da Educação Matemática – a Etnomatemática, que procura valorizar o conhecimento matemático existente em distintos grupos sociais e etnias.

45 Atividade 14: Em que dia da semana você nasceu? Uma regra prática para a determinação do dia da semana de qualquer data, entre 01 de janeiro de 1900 a 2399 Prof. Ilydio Pereira de Sá (UERJ – USS – Pedro II)

46 1) Calcule quantos anos se passaram desde 1900 até o ano em que você nasceu. Por exemplo, se você nasceu em 1980, irá anotar 80. Vamos chamar essa quantidade de A. 2) Calcule quantos “29 de fevereiro” existiram depois de Para isso, basta dividir por 4 o valor A, sem considerar o resto da divisão. Vamos chamar essa nova quantidade de B. 3) Considerando o mês do nascimento, obtenha o número associado a ele, que está na tabela a seguir. Procure o mês e anote o número que está ao lado dele. Vamos chamar esse número de C.

47 Tabela dos meses Janeiro0Julho6 Fevereiro3Agosto2 Março3Setembro5 Abril6Outubro0 Maio1Novembro3 Junho4Dezembro5

48 4) Considere o dia do nascimento (x). Calcule x – 1, que vamos chamar de D. 5) Some agora os quatro números que você obteve nas etapas anteriores (A + B + C + D). Divida essa soma obtida por sete (7) e verifique o valor do resto dessa divisão. 6) Finalmente, procure esse resto na tabela abaixo. Você terá o dia da semana do seu nascimento ou de qualquer outra pessoa que queira descobrir. SEGUNDA-FEIRA0SEXTA-FEIRA4 TERÇA-FEIRA1SÁBADO5 QUARTA-FEIRA2DOMINGO6 QUINTA-FEIRA3

49 Vejamos dois exemplos: 1) Qual foi o dia da semana da data 16 de fevereiro de 1918? 1)18 (1918 – 1900), logo, A = 18 2) 18 : 4 = 4 (desconsidere o resto), logo, B = 4 3) O mês é Fevereiro, então C = 3 (ver na tabela) 4) x = 16 (dia do nascimento), logo, D = 15 (x – 1) 5) Somando os quatro números, teremos = : 7 = 5 e resto 5. Na tabela o 5 é um SÁBADO.

50 Só para conferir, fomos procurar um calendário de 1918, destacando o mês de fevereiro. Veja que o dia 16 foi realmente um SÁBADO. Fevereiro DSTQQSS

51 2) Qual foi o dia da semana em que caiu o Natal de 2000 ? 1)100 (2000 – 1900). A = 100 2) 100 : 4 = 25 (anos bissextos). B = 25 3) Mês dezembro, na tabela = 5. C = 5 4) Natal = dia 25, x = 25, logo D = 24 (x – 1) 5) Somando A + B + C + D, teremos: = 154 Calculando o resto da divisão por : 7 = 22, resto 0. Na tabela, temos 0 = 2ª feira.

52 Só para conferir, fomos procurar um calendário de 2000, destacando o mês de dezembro. Veja que o dia 25 foi realmente uma SEGUNDA-FEIRA. Dezembro DSTQQSS

53 5Dezembro4Junho 3Novembro1Maio 0Outubro6Abril 5Setembro3Março 2Agosto3Fevereiro 6Julho0Janeiro 3Quinta-feira 6Domingo2Quarta-feira 5Sábado1Terça-feira 4Sexta-feira0Segunda-feira RESUMINDO – DIA DA SEMANA 1)Calcule quantos anos se passaram desde 1900 até o ano em que você nasceu. Vamos chamar essa quantidade de A. 2)Calcule quantos 29 de fevereiro existiram depois de Para isso, basta dividir por 4 o valor A, sem considerar o resto da divisão. Vamos chamar essa nova quantidade de B. 3)Considerando o mês do nascimento, obtenha o número associado a ele, que está na tabela logo abaixo. Vamos chamar esse número de C. 4)Considere o dia do nascimento (x). Calcule x – 1, que vamos chamar de D. 5) Calcule A + B + C + D e obtenha o resto da divisão por 7. Veja na tabela o dia da semana. Confira aqui

54 Justificativa Matemática Fato 1: Todos os passos que foram colocados na regra prática visam determinar o “deslocamento”, na seqüência de dias da semana, que a data procurada tem em relação à segunda-feira, 01/01/1900, que é o nosso “ponto de partida”. Fato 2: Como 365 dividido por 7 deixa resto 1, cada ano de 365 dias (não bissexto) tem o seu primeiro de janeiro deslocado de um dia, no ciclo dos dias da semana (segunda, terça, quarta, quinta, sexta, sábado, domingo, segunda...), em relação ao primeiro de janeiro do ano anterior. Quando a pessoa faz a diferença entre o ano de seu nascimento e o ano 1900, está descobrindo quantos “afastamentos”, ou deslocamentos, essa data primeira sofreu em relação ao àquele 01/01/1900

55 Fato 3: Quando descobrimos, na fase seguinte, a quantidade de anos bissextos (ao dividir o resultado anterior por 4), estamos acrescentando o deslocamento adicional de mais uma “casa”, no ciclo de dias da semana, para cada ano bissexto considerado. Isto porque os anos bissextos afastam o primeiro de janeiro do ano seguinte não em 1 “casa”, mas em 2, já que 366 deixa resto 2 quando dividido por 7. Todo o processo feito até agora serviu apenas para localizar o dia 1º de janeiro do ano considerado, ou seja, até aqui apenas o ANO da data desejada foi considerado. Agora é a vez de acrescentarmos os deslocamentos gerados pelo mês e pelo dia da data procurada.

56 Se todos os meses do ano tivessem 28 dias (que gera resto zero ao ser dividido por 7), todos os meses teriam o seu dia primeiro exatamente no mesmo dia da semana que o primeiro de janeiro do ano considerado. Mas como temos meses com mais de 28 dias, todos esses meses (transcorridos de janeiro até o mês considerado) “empurram” o seu dia primeiro um certo número de “casas” adiante no ciclo dos dias da semana. A tabela criada para o nosso algoritmo está relacionada à aritmética modular, ou seja, à congruência módulo 7. Vejamos como surgiram os números da tabela. Janeiro é a nossa referência, logo não há qualquer afastamento em relação a ele próprio. Por isso, na tabela dada, ao lado do mês de janeiro, temos o número zero. Como o mês de janeiro tem 31 dias e 31 dividido por 7 deixa resto 3, esse mês vai “empurrar” o primeiro dia do mês seguinte 3 “casas” para a direita em relação ao primeiro de janeiro daquele ano. Por isso, o mês de fevereiro recebe o número 3 na tabela.

57 Como fevereiro tem 28 dias e 28 dividido por 7 deixa resto 0, esse mês não irá acrescentar qualquer “deslocamento” adicional ao mês seguinte. Logo, o primeiro dia do mês de março cairá no mesmo dia da semana que o primeiro de fevereiro daquele ano, ou seja, será deslocado apenas das mesmas 3 “casas” para a direita, em relação ao primeiro de janeiro daquele ano. Por isso, na tabela dada, o mês de março também tem o número 3. Como março tem 31 dias e 31 dividido por 7 deixa resto 3, esse mês vai “empurrar” os dias do mês seguinte um total de ( ) “casas” para a direita, já que como num dominó em cascata, esses deslocamentos são cumulativos. Por isso na tabela, o mês de abril tem o número 6. Como abril tem 30 dias e 30 dividido por 7 deixa resto 2, esse mês vai “empurrar” os dias do mês seguinte um total de ( ) “casas”, mas como a semana só tem 7 dias, na congruência módulo 7 o número 8 corresponde ao 1 (8 : 7 = 1 e resto 1). Isto é, avançar oito “casas” no ciclo de dias da semana é o mesmo que avançar uma “casa” apenas. Por isso o mês de maio na tabela tem o número 1. E assim, sucessivamente para os demais meses.

58 Precisamos agora, para finalizar, determinar a quantidade de deslocamentos necessários para atingirmos o exato dia procurado. Ora, se localizamos o dia 1 e queremos localizar o dia x de um determinado mês, precisamos ainda de um deslocamento correspondente a (x – 1) “passos”. Veja, por exemplo, se a data procurada fosse o dia 4 de um determinado mês, teríamos ainda mais 3 (= 4 – 1) deslocamentos à direita no ciclo de dias da semana. É claro que, finalizando, a soma dos quatro números obtidos nas etapas do processo terá de ser dividida por 7, pois são sete os dias da semana e o ciclo se repete sempre. Essa atividade, ou brincadeira, ou truque é um outro exemplo interessante do que chamamos de congruência módulo k, que nesse caso é igual a 7.

59 Atividade 15: Quebra-cabeça Um desafio interessante que pode também ser proposto em forma de quebra- cabeça, para que os alunos trabalhem com recortes. Abaixo temos um mesmo hexágono, repetido quatro vezes. Na primeira está inteiro. Na segunda está dividido em duas partes iguais (meios), que são trapézios. Na terceira está dividido em três partes iguais (terços), que são losangos e na quarta está dividido em seis partes iguais (sextos), que são triângulos eqüiláteros. Se você recortar todas as doze partes obtidas poderá obter um outro hexágono maior, usando todas as partes e sem recortá-las novamente. Como isso é possível? A C C C D B B D D D D D A B B CC C D D D D D D Solução

60 Essas e outras atividades, com todas as justificativas matemáticas, no nosso livro: A Magia da Matemática: Atividades Investigativas, Curiosidades e Histórias da Matemática Editora Ciência Moderna –


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