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Luiz Antonio Righi – DESP/CT - 07.10.2013.  Eletromagnetismo e as EDPs  Tensor de relutividade ou permeabilidade  Forma fraca do método de Elementos.

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1 Luiz Antonio Righi – DESP/CT

2  Eletromagnetismo e as EDPs  Tensor de relutividade ou permeabilidade  Forma fraca do método de Elementos Finitos  Proposta de EDP com dois potenciais  Questões para discussão

3  O eletromagnetismo se estabelece a partir das quatro equações diferenciais de Maxwell  H – campo magnético [A/m]  B - indução magnética [T]  E – campo elétrico [V/m]  D – indução elétrica [C/m2]

4 EletrostáticaMagnetostática  Considerando as derivadas parciais no tempo muito pequenas, podemos separar as equações de Maxwell em dois grupos:

5  Regra da mão direita H  Lei de Gauss do magnetismo Elas são totalmente independentes!

6  A solução de cada problema é feito com um potencial escalar ou vetorial.  Na magnetostática (nossa área de interesse), utilizamos principalmente o potencial vetor magnético A e o tensor de relutividade.

7  O tensor (termo mais geral) é a relação entre os dois campos vetoriais, que modelam o sistema físico real.  No magnetismo: tensores de relutividade ou permeabilidade

8  A dimensão do tensor depende do tipo de problema: 1D, 2D ou 3D.  Qualquer relação entre dois vetores pode ser escrita como: • Esta regra vale em 1D, 2D ou 3D. • Outras matrizes podem ser “diagonalizadas” em uma matriz de rotação.

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10  No caso 2D (mais didático), a matriz de rotação é • E o tensor característico do material pode ser o tensor de relutividade • Os termos da matriz são obtidos com o modelo de histerese.

11  Modelo de histerese: Langevin + “Histerese” Y X H(x,y) B(x,y)

12  Considerando duas funções escalares f(x,y) e g(x,y), podemos calcular os termos do tensor, fazendo as derivadas parciais de f e g...

13 Em que situações isto é ou não é válido?

14  O tensor relaciona duas funções quaisquer,  que têm derivadas parciais contínuas,  e uma relação entre seus laplacianos.  Isto permitiria montar um sistema de equações diferenciais parciais, tendo os dois potenciais como incógnitas.

15  Vamos considerar o potencial vetor e a densidade de corrente J no caso 2D, orientado segundo o eixo z • E ainda, desconsiderando os termos fora da diagonal principal da matriz de rotação, tem-se o laplaciano ou Eq. de Poisson:

16  Adotando elementos finitos triangulares, o potencial em cada nó pode ser a equação de um plano • E, como a indução B é o rotacional de A:

17  Podemos definir o funcional, correspondendo a um estado de mínimo. • cuja derivada de em relação a A resulta no sistema matricial onde: [M] é a matriz de rigidez; [A] é o vetor dos potenciais (incógnitas); e [J] é o vetor das fontes.

18  Barra imantada ( B.D.Cullity ): a formulação clássica de A não se aplica neste caso!? • O campo magnético obtido pelo MEF é:

19  Casos onde H e B não são colineares:  campo girante de máquinas elétricas  cantos de núcleos de transformadores  presença de saturação e histerese.

20  Campos H e B colineares (dois potenciais ortogonais):

21  H e B não colineares (os dois potenciais não são ortogonais):

22  Forma fraca com f(x,y) e g(x,y)

23 1. Potencial escalar magnético 2. Potencial vetor magnético.

24  Sistema linear para [A] e [phi]: onde:

25  Existe forma forte?  Como seria possível obter a forma forte?  Quais as aplicações do modelo?  Existem outras equações semelhantes?  Como obter uma solução analiticamente, para uma configuração mais simples?  Seria aplicável a outros métodos numéricos, como das diferenças finitas?

26  Prof. Luiz Antonio Righi   (55)


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