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Teoria das Relações (cont.) Considere os seguintes conjuntos novamente cursos-CIn = {graduação, mestrado, extensão, doutorado} alunos = {Maria, João, Ana,

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1 Teoria das Relações (cont.) Considere os seguintes conjuntos novamente cursos-CIn = {graduação, mestrado, extensão, doutorado} alunos = {Maria, João, Ana, Paulo, Mônica} tal que cursa: alunos  cursos-CIn cursa = {Maria graduação, João graduação, Ana mestrado, Paulo doutorado}   

2 Inversa [X, Y] _ -1 : (X  Y)  (Y  X)  R: X  Y  R -1 = {x:X; y:Y | x R y  y x} Alguns exemplos: {} -1 = {} cursa -1 ={graduação Maria, graduação João, Mestrado Ana, doutorado Paulo }     

3 Teoremas sobre a inversa (R -1 ) -1 = R dom (R -1 ) = ran R ran (R -1 ) = dom R Com a relação identidade (Id s :{x:S  x x}) Id s -1 = Id s 

4 Composição [X, Y, Z] _ ; _: (X  Y)  (Y  Z)  (X  Z)  R: X  Y; S:Y  Z  R ; S= {x:X; y:Y; z:Z | x R y  y S z  x z} Exemplo: Sejam R = {1 a, 2 b, 3 c} e S = {a x, b y, d z} então R ; S = {1 x, 2 y}        

5 Teoremas sobre composição Sejam R: X  Y, S: Y  Z e T: Z  W então Id x ; R = R R ; Id y = R (R ; S) ; T = R ; (S ; T)

6 Algumas relações especiais Seja R:X  X. A relação R é Reflexiva   x:X  x R x Irreflexiva   x,y:X  x R y  y  x Simétrica   x,y:X  x R y  y R x Anti-simétrica   x,y:X  x R y  y R x  x=y Assimétrica   x,y:X  x R y  y R x Transitiva   x,y,z:X  x R y  y R z  x R z Uma relação de equivalência  R é reflexiva, simétrica e transitiva Uma relação de ordem  R é reflexiva, anti-simétrica e transitiva

7 Prova de Teorema Teorema: A relação de subconjunto (  ) é anti-simétrica  S, T: P X  (S  T  T  S)  (S=T) Prova: Sejam A, B: P X conjuntos arbitrários 1. A  B  B  A[Hipótese] 2. A  B[1,  -elim] 3.  x:X  x  A  x  B[2,  -def] 4. c  A  c  B[3,  -elim] 5. B  A[1,  -elim] 6.  x:X  x  B  x  A[5,  -def] 7. c  B  c  A[3,  -elim] 8. c  A  c  B[4,7,  -int] 9.  x:X  x  A  x  B[8,  -int] 10. A = B[9, extensionalidade] 11. A  B  B  A  A = B[1,10,  -int] 12.  S,T: P X. (S  T  S  T)  (S = T) [11,  -in] [ [

8 Fecho (“Closures”) Seja R: X  X O fecho reflexivo de R, R r é dado por: 1. R r é reflexiva, ou seja, Id x  R r 2. R  R r 3. Se S é reflexiva e R  S, então R r  S. Teoremas R é reflexiva  R = R r R é simétrica  R = R s R é transitiva  R = R t

9 Fecho reflexivo transitivo R * = {x,y:X | x R t y  x Id x y  x y} 1. {} r = Id x 2. Id x r = Id x s = Id x t = Id x * = Id x 3. R * ; R = R t 4. (R t ) t = R t 5. (R t ) -1 = (R -1 ) t 6. (R * ) -1 = (R -1 ) * 7. (R ; S = S ; R)  ((R ; S) t = R t ; S t ) 


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