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Teoria das Relações (cont.)

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Apresentação em tema: "Teoria das Relações (cont.)"— Transcrição da apresentação:

1 Teoria das Relações (cont.)
Considere os seguintes conjuntos novamente cursos-CIn = {graduação, mestrado, extensão, doutorado} alunos = {Maria, João, Ana, Paulo, Mônica} tal que cursa: alunoscursos-CIn cursa = {Maria graduação, João graduação, Ana mestrado, Paulo doutorado}

2 Inversa [X, Y] _ -1: (XY)  (YX)
 R: XY  R-1 = {x:X; y:Y | x R y  y x} Alguns exemplos: {}-1 = {} cursa-1 ={graduação Maria, graduação João, Mestrado Ana, doutorado Paulo }

3 Teoremas sobre a inversa
(R-1)-1 = R dom (R-1) = ran R ran (R-1) = dom R Com a relação identidade (Ids:{x:S  x x}) Ids-1 = Ids

4 Composição [X, Y, Z] _ ; _: (XY)  (YZ)  (XZ)  R: XY; S:YZ 
R ; S= {x:X; y:Y; z:Z | x R y  y S z  x z} Exemplo: Sejam R = {1 a, b, c} e S = {a x, b y, d z} então R ; S = {1 x, y}

5 Teoremas sobre composição
Sejam R: XY, S: YZ e T: ZW então Idx ; R = R R ; Idy = R (R ; S) ; T = R ; (S ; T)

6 Algumas relações especiais
Seja R:XX. A relação R é Reflexiva  x:X  x R x Irreflexiva  x,y:X  x R y  y  x Simétrica  x,y:X  x R y  y R x Anti-simétrica  x,y:X  x R y  y R x  x=y Assimétrica  x,y:X  x R y  y R x Transitiva  x,y,z:X  x R y  y R z  x R z Uma relação de equivalência  R é reflexiva, simétrica e transitiva Uma relação de ordem  R é reflexiva, anti-simétrica e transitiva

7 Prova de Teorema Teorema: A relação de subconjunto () é anti-simétrica  S, T: P X  (S  T  T  S)  (S=T) Prova: Sejam A, B: P X conjuntos arbitrários 1. A  B  B  A [Hipótese] 2. A  B [1, -elim] 3. x:X  x  A  x  B [2, -def] 4. c  A  c  B [3, -elim] 5. B  A [1, -elim] 6. x:X  x  B  x  A [5, -def] 7. c  B  c  A [3, -elim] 8. c  A  c  B [4,7, -int] 9. x:X  x  A  x  B [8, -int] 10. A = B [9, extensionalidade] 11. A  B  B  A  A = B [1,10, -int] 12. S,T: P X . (S  T  S  T)  (S = T) [11, -in] [ [

8 Fecho (“Closures”) Seja R: XX O fecho reflexivo de R, Rr é dado por:
1. Rr é reflexiva, ou seja, Idx  Rr 2. R  Rr 3. Se S é reflexiva e R  S, então Rr  S Teoremas R é reflexiva  R = Rr R é simétrica  R = Rs R é transitiva  R = Rt

9 Fecho reflexivo transitivo
R* = {x,y:X | x Rt y  x Idx y  x y} 1. {}r = Idx 2. Idxr = Idxs = Idxt = Idx* = Idx 3. R* ; R = Rt 4. (Rt)t = Rt 5. (Rt)-1 = (R-1)t 6. (R*)-1 = (R-1)* 7. (R ; S = S ; R)  ((R ; S)t = Rt ; St)


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