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Lógica Proposicional Tableaux semânticos. Sistema de Tableaux Semânticos Alfabeto da Lógica Proposicional Conjunto de fórmulas da Lógica Proposicional.

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1 Lógica Proposicional Tableaux semânticos

2 Sistema de Tableaux Semânticos Alfabeto da Lógica Proposicional Conjunto de fórmulas da Lógica Proposicional Conjunto de regras de dedução (ou regras de inferência)

3 R1=H^G R2=HvGR3=H  G H G H G  H G R4=H  GR5=  H R6=  (H^G) H H^G  H^  G  H  G R7=  (HvG) R8=  (H  G)R9=  (H  G)  HH  G  G  H^G H^  G

4 Características do Método de Tableau Semântico Baseado em árvores Ramos são decomposições de H em subfórmulas ou seja, possibilidades de interpretações da fórmula Cada ramo representa uma ou mais interpretações Adequado para implementação!

5 Idéia Básica de Tableaux Semânticos Concebido por E. Beth (1954) e Jaako Hintikka (1955) Cada interpretação representa um mundo possível Interpretação – caminho da raiz da árvore a uma folha “Semântica dos Mundos Possíveis” Buscam admissões de interpretações

6 Características do Método de Tableau Semântico (cont.) Sistema de refutação Prova por negação ou absurdo Para provar H supõe-se inicialmente, por absurdo,  H As deduções desta fórmula levam a um fato contraditório (ou absurdo) Então H é verdade!!

7 Construção de um Tableau Tableau semântico para o conjunto de fórmulas {(AvB),(A^  B)} 1. AvB 2.A^  B 3. A B R2, A A R1,  B  B R1, 2.

8 Construção do mesmo Tableau mais curto Tableau semântico para o conjunto de fórmulas {(AvB),(A^  B)} 1. AvB 2.A^  B 3. A R1,  B R1, A B R2, 1.

9 Heurística para aplicação de regras para tableau Advindas do sistema de tableau analítico “First Order Logic”, R. Smullyan (1970) Adiar a bifurcação Aplicar primeiro as regras que não bifurquem Árvore menor => menos interpretações a serem analisadas

10 Construção de um Tableau Semântico – Definição (recursiva) Dado o conjunto de fórmulas {A1,A2,...,An} A seguinte árvore, com um ramo, é um tableau associado a {A1,A2,...,An} 1. A1 2. A2,... n. An Se Tree é um tableau associado a {A1,A2,...,An}, então Tree* (Tree submetida a alguma das regras R1 a R9) também é

11 Exemplo de Construção de um Tableau Semântico {(A  B)  (AvB),  (C  A)} Tree1: 1. A  B 2.  (AvB) 3.  (C  A)

12 Exemplo de Construção de um Tableau Semântico (cont.) {(A  B)  (AvB),  (C  A)} Tree2 (=R7 aplicada a Tree1): 1. A  B 2.  (AvB) 3.  (C  A) 4.  A R7,  BR7, 2.

13 Exemplo de Construção de um Tableau Semântico (cont.) {(A  B)  (AvB),  (C  A)} Tree3 (=R3 aplicada a Tree2): 1. A  B 2.  (AvB) 3.  (C  A) 4.  A R7,  BR7,  A BR3, 1.

14 Exemplo de Construção de um Tableau Semântico (cont.) {(A  B)  (AvB),  (C  A)} Tree4 R8 aplicada a Tree3 O ramo da esquerda contém B e  B Como essa informação pode ser útil? 1. A  B 2.  (AvB) 3.  (C  A) 4.  A R7,  BR7,  A BR3, 1 7. C CR8,  A  A R8, 3.

15 Ramo aberto e fechado Ramo fechado – contém uma fórmula B e sua negação  B, ou o símbolo de verdade false Tableau fechado – não contém ramos abertos

16 Prova e Teorema em Tableaux Semânticos Uma prova de H usando tableaux semânticos é... Um tableau fechado associado a...  H! Neste caso, H é um teorema do sistema de tableaux semânticos

17 Exemplo de Prova em Tableaux Semânticos Como provar H=  ((P  Q)^ ¬ (P  Q)^(  P))?? Gerar um tableau fechado para  H:  (  ((P  Q)^ ¬ (P  Q)^(  P)))

18 1.  (  ((P  Q)^ ¬ (P  Q)^(  P))) 2. (P  Q)^ ¬ (P  Q)^(  P) R5, P  QR1, ¬( P  Q)R1,  PR1, PR5,  PQR3, 3. fechado 8. P^  Q  P^QR9, P  PR1,  Q QR1, 8. fechado

19 1.  ((P  Q)v  P)) 2.  (P  Q) 3. P 4. P^  Q  P^Q 5. P  P 6.  QQ aberto fechado

20 Conseqüência Lógica em Tableaux Semânticos Dada uma fórmula H e um conjunto de hipóteses  ={H1,H2,...Hn}, então H é conseqüência lógica em tableaux semânticos de  se existe uma prova, usando tableaux semânticos de (H1^H2^...^Hn)  H

21 Notação de Conseqüência Lógica em Tableaux Semânticos Dada uma fórmula H, se H é conseqüência lógica de um conjunto de hipóteses  ={H1,H2,...Hn} em tableaux semânticos, diz-se que:  ├ H ou {H1,H2,...Hn} ├ H

22 Exemplo de Conseqüência Lógica em Tableaux Semânticos Guga é determinado Guga é inteligente Se Guga é determinado, ele não é um perdedor Guga é um atleta se é amante do tênis Guga é amante do tênis se é inteligente “Guga não é um perdedor” é conseqüência lógica das afirmações acima??

23 Solução Provar H=(P^Q^((P^R)  P1)^(Q1  R)^(Q  Q1))  P1 Mostrando que  H é absurdo  (P^Q^((P^R)  P1)^(Q1  R)^(Q  Q1))  P1) gera um tableau fechado?

24 Conjunto insatisfatível Como provar que um conjunto de fórmulas é insatisfatível? Por exemplo:  ={  AvB,  (Bv  C), C  D,  (  AvD)}

25 Conjunto insatisfatível (cont.)  é insatisfatível sse não existe I tal que I[  AvB]=I[  (Bv  C)]=I[C  D]=I[  (  AvD)]=T  I,I[(  AvB)^  (Bv  C)^(C  D)^  (  AvD)]=F  I,I[  ((  AvB)^  (Bv  C)^(C  D)^  (  AvD))]=T Portanto para provar que  é insatisfatível Provar que  ((  AvB)^  (Bv  C)^(C  D)^  (  AvD)) é tautologia

26 Conjunto insatisfatível (cont.)  ={  AvB,  (Bv  C), C  D,  (  AvD)} é insatisfatível? Provar que  ((  AvB)^  (Bv  C)^(C  D)^  (  AvD)) é tautologia Vimos na parte de semântica (Validade e factibilidade) H é válida   H é contraditória Em tableaux semânticos Gerar um tableau fechado para  (  ((  AvB)^  (Bv  C)^(C  D)^  (  AvD)))

27 Exemplo de conjunto insatisfatível Olhando o tableau de {  AvB,  (Bv  C), C  D,  (  AvD)}, quais outros conjuntos de fórmulas são insatisfatíveis? {  AvB,  (Bv  C), C  D} {  AvB,  (Bv  C),  (  AvD)} {  AvB, C  D,  (  AvD)} {  (Bv  C), C  D,  (  AvD)}

28 Tableaux Completamente Abertos Como provar que H é tautologia? E se eu construir um tableau direto a partir de H (e não de  H)? Ex: H=(Av  A)^(A  B) Construir os tableaux de H e de  H O que um tableau completamente aberto nos diz??

29 Tableaux Completamente Abertos (cont.) Nada!! Ex: G=(Av  A)^(B  B) Construir os tableaux de G e de  G Conclusões?

30 Conclusões Dada uma fórmula da lógica proposicional H H é tautologia  Tableau associado a  H é fechado H é contraditória (insatisfatível)   H é tautologia  Tableau associado a H é fechado H é refutável  Tableau associado a  H é aberto (não necessariamente aberto completamente)

31 Exercícios de Formalização A proposta de auxílio está no correio. Se os árbitros a receberem até sexta- feira, eles a analisarão. Portanto, eles a analisarão porque se a proposta estiver no correio, eles a receberão até sexta- feira. (C, S, A)

32 Solução A proposta de auxílio está no correio. Se os árbitros a receberem até sexta-feira, eles a analisarão. Portanto, eles a analisarão porque se a proposta estiver no correio, eles a receberão até sexta-feira. C: A proposta de auxílio está no correio. S: Os árbitros recebem a proposta até Sexta-feira. A: Os árbitros analisarão a proposta. {C, S  A, C  S} |-- A

33 Exercício Hoje é Sábado ou Domingo. Se hoje é Sábado então é um fim de semana. Se hoje é Domingo então é um fim de semana. Portanto, hoje é um fim de semana.

34 Exercício Se hoje é Quinta-feira, então amanhã será sexta-feira. Se amanhã for sexta- feira, então depois de amanhã será sábado. Conseqüentemente, se hoje for quinta-feira, então depois de amanhã será sábado.


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