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Lógica Proposicional Formas Normais e Resolução. Formas normais e { ,v,^} Um literal é um símbolo proposicional ou sua negação Um bom conjunto completo.

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1 Lógica Proposicional Formas Normais e Resolução

2 Formas normais e { ,v,^} Um literal é um símbolo proposicional ou sua negação Um bom conjunto completo é { ,v,^} Formas normais são obtidas a partir desse conjunto de conectivos

3 Forma normal disjuntiva Uma fórmula está na forma normal disjuntiva (fnd ou DNF, em inglês) se é uma disjunção de conjunções de literais F é da forma F1 v F2 v... v Fn, onde Fi é uma conjunção (da forma A1 ^ A2 ^... ^ An ) e Ai é um literal Ex: H=(  P^Q) v (  R^  Q^P) v (P^S)

4 Forma normal conjuntiva Uma fórmula está na forma normal conjuntiva (fnc ou CNF, em inglês) se é uma conjunção de disjunções de literais F é da forma F1 ^ F2 ^... ^ Fn, onde Fi é uma disjunção (da forma A1 v A2 v... v An ) e Ai é um literal Ex: G=(  PvQ) ^ (  Rv  QvP) ^ (PvS)

5 Obtenção de formas normais Observe que H e G são parecidos H=(  P^Q) v (  R^  Q^P) v (P^S), DNF G=(  PvQ) ^ (  Rv  Q vP) ^ (PvS), CNF Para obtê-las a partir de fórmulas quaisquer usam-se algoritmos duais Os mesmos, trocando-se T por F

6 Algoritmos usando leis (repetidamente) 1 -Leis de eliminação P  Q = (  PvQ) P  Q = (P  Q)^(Q  P) 2 -Lei da negação  (  H)  H 2 -Leis de De Morgan  (PvQ) =  P ^  Q  (P^Q) =  P v  Q 3 -Leis distributivas: F v (G^H) = (FvG) ^ (FvH) F ^ (GvH) = (F^G) v (F^H)

7 Exercícios Obter DNF de (P v  Q)  R =  (Pv  Q) v R (eliminação de  ) = (  P ^  (  Q)) v R (De Morgan) = (  P ^ Q) v R (negação) Obter CNF de (P^(Q  R))  S

8 Exercícios de obtenção de formas normais Obter DNF de  (P ^Q)  R Obter CNF de  (P ^Q)  R

9 Notação na forma de conjuntos H=(Pv  QvR)^(Pv  Q)^(PvP) Representação na forma de conjuntos: H={[P,  Q,R],[P,  Q],[P]} Note que (Pv  QvR) = [P,  Q,R] (PvP)=[P] Não é necessário representar duplicidade na forma de conjuntos

10 Cláusulas e literais complementares Cláusula em lógica proposicional é uma disjunção de literais Usando a notação de conjuntos: C1={P,  Q,R}, C2={P,  Q}, C3={P} Dois literais são complementares quando um é a negação do outro

11 Resolvente de 2 cláusulas Supondo 2 cláusulas C1={A1,..., An} e C2={B1,..., Bn}, com literais complementares A, um conjunto de literais em C1, tal que -A, um conjunto de literais complementares a A, estão em C2 Resolvente de C1 e C2: Res(C1,C2)=(C1-A)U(C2- -A) Res(C1,C2) pode ser {} Resolvente vazio ou trivial

12 Exemplo de resolvente C1={P,  Q,R} e C2={  P,R} Res (C1,C2) = {  Q,R}, que também é uma cláusula D1={P,  Q} e D2={  P,Q} Res (D1,D2) = {}, que também é uma cláusula

13 Sistema com Resolução Alfabeto da Lógica Proposicional Conjunto de cláusulas da Lógica Proposicional A regra de resolução

14 Regra de Resolução Supondo 2 cláusulas C1={A1,..., An} e C2={B1,..., Bn}, a Regra de Resolução aplicada a C1 e C2 é: Deduzir Res(C1,C2) Para verificar satisfabilidade Empregar várias vezes até obter a cláusula vazia Expansão por resolução

15 {[  P,Q,R],[P,R],[P,  R]} 1. [  P,Q,R] 2. [P,R] 3. [P,  R] 4. [Q,R] Res (1,2) 5. [Q,P]Res (3,4) 6. [P]Res (2,3) (Não conseguimos obter a cláusula vazia...)

16 Exemplo de expansão por resolução {[  P,Q],[P,R],[P,  Q],[  Q,  R]} 1. [  P,Q] 2. [P,R] 3. [P,  Q] 4. [  Q,  R] 5. [Q,R]Res (1,2) 6. [P,R]Res (3,5) 7. [Q,R]Res (1,6) 8. {}Res(4,7) Expansão fechada – contém a cláusula vazia

17 Forma clausal Dada uma fórmula H, a forma clausal associada a H é Uma fórmula Hc, uma conjunção de cláusulas equivalente a H Toda fórmula proposicional possui uma forma clausal associada

18 Exercício Achar a a forma clausal associada a: (H^(GvH))  (H^G)v(H^H)  (H  G)  (  H  G)  (  (H)  H

19 Prova por resolução Dadas uma fórmula H e  Hc, a forma clausal associada a  H Uma Prova de H por resolução é uma expansão fechada sobre  Hc H é um teorema do sistema de resolução

20 Exemplo de Prova por resolução H=((P1vP2vP3)^(P1  P4)^(P2  P4)^ (P3  P4))  P4 Determinar  Hc associada a  H  Hc=  (((P1vP2vP3)^(P1  P4)^(P2  P4)^ (P3  P4))  P4)) =  (  ((P1vP2vP3)^(P1  P4)^(P2  P4)^(P3  P4)) vP4) =(P1vP2vP3)^(  P1vP4)^(  P2vP4)^(  P3vP4)^  P4 ={[P1,P2,P3],[  P1,P4],[  P2,P4],[  P3,P4],[  P4]} Agora, é só fazer a expansão por resolução!

21 Exemplo de Prova por resolução (cont.) 1. [P1,P2,P3] 2. [  P1,P4] 3. [  P2,P4] 4. [  P3,P4] 5. [  P4] 6. [P2,P3,P4]Res(1,2) 7. [P3,P4]Res(3,6) 8. [P4]Res(4,7) 9. {}Res(5,8)

22 Exercício H=((P1vP2)^(P1  P4)^(P2  P4)^ (P3  P4))  P3 Determinar  Hc associada a  H Fazer a expansão por resolução Aberta ou fechada?

23 Conseqüência lógica na resolução Dada uma fórmula H e um conjunto de hipóteses  ={H1,H2,...Hn}, então H é conseqüência lógica de  por resolução se existe uma prova por resolução de (H1^H2^...^Hn)  H

24 Notação de Conseqüência Lógica por Resolução Dada uma fórmula H, se H é conseqüência lógica de um conjunto de hipóteses  ={H1,H2,...Hn} por resolução, diz-se que:  ├ H ou {H1,H2,...Hn} ├ H

25 Exercício de Conseqüência Lógica por Resolução Guga é determinado Guga é inteligente Se Guga é determinado, ele não é um perdedor Guga é um atleta se é amante do tênis Guga é amante do tênis se é inteligente “Guga não é um perdedor” é conseqüência lógica das afirmações acima??

26 Solução Provar H=(P^Q^((P^R)  P1)^(Q1  R)^(Q  Q1))  P1 Mostrando que  H é absurdo  (P^Q^((P^R)  P1)^(Q1  R)^(Q  Q1))  P1) gera uma expansão por resolução fechada a partir da sua forma clausal?

27 Resolução e Tableaux Quais as relações entre eles??

28 Resolução e Tableaux [Fitting 1990] Métodos por negação Implementáveis Resolução [Julia Robinson 1965] Prolog [Colmerauer 1972] Uma expansão fechada por resolução equivale a um tableau fechado

29 Resolução x Tableaux Olha para o significado da fórmula Uma disjunção mantém-se numa cláusula Uma conjunção “bifurca” cláusulas Linhas de resoluções Pega-se uma conjunção de disjunções e tenta-se simplificá-la Olha para o valor da fórmula As regras disjuntivas bifurcam tableaux São usadas árvores Representam naturalmente disjunções entre ramos

30 Em resolução... Na CNF, para converter uma fórmula para a forma clausal, os ‘v’s criam cláusulas seqüenciais e os ‘^’s separam os termos Exs: AvB = {[A,B]}; A^B ={[A],[B]} o que, na prática, vira uma bifurcação Resolução ocorre sobre CNFs

31 Exercícios de Formalização A proposta de auxílio está no correio. Se os árbitros a receberem até sexta- feira, eles a analisarão. Portanto, eles a analisarão porque se a proposta estiver no correio, eles a receberão até sexta- feira. (C, S, A)

32 Solução A proposta de auxílio está no correio. Se os árbitros a receberem até sexta-feira, eles a analisarão. Portanto, eles a analisarão porque se a proposta estiver no correio, eles a receberão até sexta-feira. C: A proposta de auxílio está no correio. S: Os árbitros recebem a proposta até Sexta-feira. A: Os árbitros analisarão a proposta. {C, S  A, C  S} |-- A

33 Exercício Hoje é Sábado ou Domingo. Se hoje é Sábado então é um fim de semana. Se hoje é Domingo então é um fim de semana. Portanto, hoje é um fim de semana.

34 Exercício Se hoje é Quinta-feira, então amanhã será sexta-feira. Se amanhã for sexta- feira, então depois de amanhã será sábado. Conseqüentemente, se hoje for quinta-feira, então depois de amanhã será sábado.


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