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Teorema de Herbrand e Unificação

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Apresentação em tema: "Teorema de Herbrand e Unificação"— Transcrição da apresentação:

1 Teorema de Herbrand e Unificação
Lógica de Predicados Teorema de Herbrand e Unificação

2 Desejo antigo... Encontrar um procedimento geral de decisão para verificar a validade (ou inconsistência) de uma fórmula Leibniz (1700s) Peano (1700s-1800s) Hilbert na década de 20

3 Church e Turing[1936] -> impossível!!
Não existe um procedimento de decisão para verificar a validade/invalidade de fórmulas da lógica de predicados  Mas existem métodos de prova que podem verificar se uma fórmula é válida se realmente ela for!  Para fórmulas inválidas, esses procedimentos são indecidíveis 

4 Herbrand (1930) Uma fórmula válida é verdadeira sob todas as suas interpretações Herbrand desenvolveu um algoritmo para encontrar uma interpretação que pode invalidar uma fórmula! No entanto, se ela é válida, nenhuma dessas interpretações pode existir O algoritmo termina após um número finito de tentativas! O método de Herbrand é a base para muitos métodos modernos de prova automática

5 Reduzindo o problema Um conjunto S de cláusulas é insatisfatível em LP sse for falso sob todas as interpretações sobre todos os domínios ... é inconveniente e impossível considerar todas as interpretações sobre todos os domínios  Mas, para provar por refutação, basta achar instâncias complementares de predicados 

6 Universo de Herbrand de um Conjunto de Cláusulas (H)
Ho é o conjunto de constantes que aparecem em S Se nenhuma constante aparece em S então Ho é formado por uma única constante, Ho={a} Se f é um símbolo funcional n-ário ocorrendo em S, e se t1, ...,tn são termos que pertencem a H, então o termo f(t1, ...,tn) também pertence a H

7 Exemplos de universos de Herbrand
S = {P(x)  Q(x), P(x)} H0 = H = {a} S = {P(a), P(x)  P(f(x))} H0 = {a} H1 = {a, f(a)} H2 = {a, f(a), f(f(a))} ... H = H = {a, f(a), f(f(a)), f(f(f(a))), ... }

8 Base de Herbrand Um termo-base é um elemento de H
Uma cláusula-base é um predicado sobre H Uma base de Herbrand para S é o conjunto B(S) de todas as fórmulas atômicas da forma P(t1, ...,tn) P é um símbolo predicativo ocorrendo em S t1, ...,tn termos-base Exemplo: S = {P(x)  Q(x), R(f(y))} H = {a, f(a), f(f(a)), ... } B(S) = {P(a), Q(a), R(a), P(f(a)), Q(f(a)), R(f(a)), ...}

9 Interpretação de Herbrand
Uma interpretação I para S é uma interpretação de Herbrand para S sse o domínio U de I é H para cada constante a de S, aI = a para cada função f de S, fI(t1, ...,tn) = f(t1, ...,tn), para cada t1, ...,tn  H(S) para cada predicado p de S, pI tem uma valoração (T ou F) Também chamada de H-interpretação Podem ser infinitas e de tamanho infinito  Porém são contáveis (ordenáveis) 

10 Exemplos de H-interpretações
S = {P(x)  Q(x), R(f(y))} H = {a, f(a), f(f(a)), ... } B(S) = {P(a), Q(a), R(a), P(f(a)), Q(f(a)), R(f(a)), ...} Algumas H-interpretações para S: I1 = {P(a), Q(a), R(a), P(f(a)), Q(f(a)), R(f(a)), ... } I2 = {P(a), Q(a), R(a), P(f(a)), Q(f(a)), R(f(a)), ... } I3 = {P(a), Q(a),  R(a), P(f(a)),Q(f(a)), R(f(a)),...} I1 e I2 satisfazem S

11 Teorema de Herbrand Um conjunto de cláusulas é insatisfatível sse há um conjunto finito insatisfatível de instâncias-base de cláusulas de S Reduz o problema da insatisfatibilidade de um conjunto de cláusulas ao problema de gerar um conjunto finito de instâncias básicas das cláusulas do conjunto que seja insatisfatível Tal conjunto sempre existirá se S for insatisfatível ...mas poderá não existir em caso contrário.

12 Fecho de resolução Se S’ é este conjunto finito insatisfatível
O fecho de resolução de S’ (T) é S’ mais o conjunto das cláusulas deriváveis de S’ recursivamente O fecho é finito, obviamente! Ex: S’={P(a),P(a)Q(a),Q(a)false} T={P(a),P(a)Q(a),Q(a)false, Q(a), P(a)false, false}

13 Teorema de resolução da base
Se um conjunto de cláusulas-base S’ (i.e. instanciadas em H) é insatisfatível, então seu fecho de resolução contém false. Em outras palavras, existe uma expansão por resolução para esse conjunto! Prova por negação: se ele não tiver false, ele é satisfatível! Ok, S’ é insatisfatível, e como provar que S também é? Lema do Levantamento (fim)

14 Método de Herbrand 1. Dado um conjunto S de cláusulas, gere todos os conjuntos finitos S0, S1, ..., Sn, ... de instâncias-base 2. Para cada conjunto Si gerado, teste se Si é insatisfatível 3. Pare com SIM, se Si é insatisfatível 4. Pare com NÃO, se não houver novos conjuntos a gerar

15 Decidibilidade Esse procedimento:
sempre pára com SIM quando S for insatisfatível nunca pára quando S for satisfatível e existir um conjunto infinito de instâncias básicas de cláusulas de S sempre pára com NÃO quando S for satisfatível mas o conjunto de instâncias básicas de cláusulas de S é finito Procedimento de decisão parcial para o problema da insatisfatibilidade de conjunto de cláusulas Procedimento de decisão para o problema da insatisfatibilidade de conjunto de cláusulas cujo conjunto de instâncias básicas é finito

16 Árvores semânticas Mostra as interpretações de S
Encontrar uma prova para um conjunto de cláusulas S é, a partir de ~S gerar uma árvore semântica fechada! Árvores semânticas completas contém todas as possibilidades Em LPO, as árvores são infinitas... Mas, se S é insatisfatível, uma árvore semântica sobre H é fechada e finita!

17 Árvore semântica completa
S = {P(x), P(a)} B = {P(a)} P(a) P(a)

18 Árvore semântica infinita
S = {P(x), Q(f(x))} B = {P(a), Q(a), P(f(a)), Q(f(a)), P(f(f(a))),...}.

19 Exemplos de árvores completas proposicionais

20 Nós de falha S = {P, Q v R, P v Q, P v R} B = {P, Q, R}.

21 Árvore semântica fechada
S = {P(x), P(x) v Q(f(x)), Q(f(a))} B = {P(a), Q(a), P(f(a)), Q(f(a)), ...}

22 Implementação de Gilmore (60)
S = {P(a), ~P(x)  Q(f(x)), ~Q(f(a))} H0 = {a} Geram-se todos os Si (método multiplicativo) S0 = P(a) & (~P(a)  Q(f(a))) & ~Q(f(a)) = ((P(a) & ~P(a))  (P(a) & Q(f(a)))) & Q(f(a)) = (P(a) & ~P(a) & ~Q(f(a)))  (P(a) & Q(f(a)) & ~Q(f(a))) = F  F = F

23 Avaliação do algoritmo
MUITO INEFICIENTE!!! Ordem de 2n , onde n é o número de instâncias-base Imagine com 500 instâncias...

24 Para resolver isso: Unificação
Intuição de Herbrand, criação de Robinson 2 fórmulas são unificáveis sse existir uma substituição que, se aplicada a ambas, torna-as iguais Como unificar?? Fazendo substituições inteligentes de variáveis nas 2 fórmulas Existe bons algoritmos para isso...

25 Substituição É um conjunto O={x1<-t1, ..., xn<-tn}
xi é variável, ti termo e xi<>ti xi<>xj, com i<>j Existe substituição vazia ({})

26 Aplicação de substituição
S é uma expressão e O uma substituição O={x1<-t1, ..., xn<-tn} A aplicação de O em S (dita SO) é o conjunto obtido de S substituindo simultaneamente: Todas as ocorrências xi por ti Se O={}, SO=S

27 Exemplo C1 = {p(y1), q(y1,z,x)} C2 = {p(x), q(w), r(w,y1,z,x,z)}
O = {y1w, wg(a,z,x), xw} A aplicação de O em C1 e C2 é C1O= {p(w), q(w,z,w)} C2O = {p(w), q(g(a,z,x)), r(g(a,z,x),w,z,w,z)} C1 e C2 não tinham literais complementares... Mas C1O e C2O têm!

28 Composição de substituições
Dadas 2 substituições O1 e O2 A composição O1O2 deve manter a propriedade S(O1O2) = (SO1)O2 S é um conjunto de expressões O1={xy}, O2={yb}, S={p(x,y)} S(O1)O2 = (p(x,y){xy}){yb}=p(b,b) S(O1O2) = p(x,y){xy,yb}=p(y,b)!!

29 Como resolver?? Antes de substituir {x<-y} e {y<-b}
Aplicar {y<-b} nos termos y que ocorre em O1 ({x<-y}) O1O2={x<-y{y<-b},y<-b}={x<-b,y<-b} O3= {x<-w} e O4= {w<-x} O3O4=???

30 Gerando complementares
C1={p(x)} e C2={p(a)} não possuem literais complementares Com O1={xa} C1O1={p(a)} e C2O2={p(a)} com literais complementares C3={p(f(x),y,x)} e C4={p(z,g(z),a)} O2=?? | C3O2=C4O2

31 Expressões unificáveis
Um conjunto de expressões é unificável se existir uma substituição O que faça SO=1 O é unificador de S Ex: S={p(x,y),p(w,x)} O1={xw, yx} é unificador de S O2={xa, ya, wa} também O1 é mais geral que O2 O2, usando a, é mais específica O2 pode ser obtida de O1 O2=O1{wa,xa}

32 Unificador mais geral Se O é unificador de S, ele é o mais geral se para qualquer unificador Oi Exista uma substituição F | Oi=OF Pode ter mais de um... O1={xw,yg(f(w)),zf(w)} unifica S={p(f(x),y,x),p(z,g(z),w)} O2={xa,wa,yg(f(a)),zf(a)} tb! O1 é mais geral pois O2=O1{wa}

33 Conjunto de diferenças
Dado S={A1,...An}, um conjunto de expressões, o conjunto de diferenças é achado pelo algoritmo 1-Pegue o primeiro símbolo de cada expressão Ai 2-Se todos os símbolos coincidem, passe para o próximo símbolo Senão o conjunto de diferenças é D={E1,...,En} D pode ser vazio

34 Exemplo de conjunto de diferenças
S={p(f(x),y,x),p(z,g(z),a)} D1={f(x),z} D2=...

35 Unificação Dado um conjunto de expressões S, se S é unificável, acha-se um Unificador mais geral (ou indica-se a impossibilidade) fazendo: 1- k=0, O0={} 2-Se SOk=1, Ok é este unificador Senão ache o conjunto de diferenças Dk de SOk 3-Se existe uma variável x e um termo t em Dk de forma que x não ocorra em t, então faça Ok+1=Ok{xt} e incremente k Se não existir, S não é unificável

36 Exemplo de unificação S={p(f(x),y,x), p(z,g(z),w)}
k=0, O0={}, SO0=S <>1, D0={f(x),z} z não ocorre em f(x), O1=O0{zf(x)} k=1, O1={}{zf(x)}={zf(x)} SO1={p(f(x),y,x), p(f(x), g(f(x)),w)} SO1<>1, D1={y,g(f(x))} y não ocorre em g(f(x)) O2={zf(x)}{yg(f(x))} ={zf(x),yg(f(x))}, k=2 SO2={p(f(x),g(f(x)),x), p(f(x), g(f(x)),w)} <> 1 D2={x,w} x não ocorre em w, O3={zf(x)}{yg(f(x))}{xw} O3={zf(w)}{yg(f(w)),xw}, k=3 SO3={p(f(w), g(f(w)),w)} = 1 O3 é o unificador mais geral

37 Exemplo não-unificável
S={p(f(x)),p(x)} D0={f(x),x} e x ocorre em f(x) Se continuamos ?? Prolog normalmente não testa a ocorrência, para dar mais eficiência, mas...

38 Lema do levantamento Se C1 e C2 não têm as mesmas variáveis e
C1’ e C2’ são instâncias-base de C1 e C2 e C’ é resolvente de C1’ e C2’ Então existe um resolvente C de C1 e C2 e C’ é uma instância de C Prova: voltar com substituições

39 Exemplo do lema C1=P(x,F(x,a))^Q(x,a)R(x,b) C2=N(G(y),z)P(H(y),z)
C1’=P(H(b),F(H(b),a))^Q(H(b),a)R(H(b),b) C2’=N(G(b),F(H(b),a))P(H(b),F(H(b),a)) C’=N(G(b),F(H(b),a))^Q(H(b),a)R(H(b),b) C=N(G(y),F(H(y),a))^Q(H(y),a)R(H(y),b)

40 Cenas dos próximos capítulos
Agora que temos a unificação, a resolução terá um passo só...


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