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Lógica de Predicados Semântica. Interpretações mais elaboradas do que as da Lógica Proposicional De novo, associar significados a símbolos sintáticos.

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1 Lógica de Predicados Semântica

2 Interpretações mais elaboradas do que as da Lógica Proposicional De novo, associar significados a símbolos sintáticos Como fica isso, com variáveis, quantificadores, predicados, funções?? H=(  x)(  y)p(x,y) De que depende a interpretação da fórmula acima?

3 Interpretações em Lógica de Predicados - Predicados Em 1º. lugar, do predicado p Se I[p]= < (“menor que”), então I[p(x,y)]=T   I[x]

4 Interpretações em Lógica de Predicados - Domínios Ainda não dá pra determinar... Quais os xI e yI a ser considerados? Ou seja, que domínio U de xI e yI? Se U =[0,  ) então I[H]=T “para todo xI”, xI  U, “existe um yI”, xI  U, tal que xI

5 Interpretações Falsa! Porque se xJ=0, não existe yJ tal que xJ,yJ  U e xJ

6 Interpretações e símbolos livres Porque x e y não são símbolos livres em H Só precisamos definir a interpretação do símbolo livre p E se G=(  x)p(x,y), J[G]=???

7 Interpretações e símbolos livres (cont.) Para determinar J[G]... dependemos de J[p] e J[y] y é um símbolo livre Se J[p] =  e J[y]=-5 => J[G]= F “para todo xJ”, xJ  (- ,0], xJ  -5 Porém, se yJ=0 => J[G]=T... Dependemos do Domínio de interpretação Valor das interpretações dos símbolos livres

8 Formalizando: Interpretação de váriáveis e funções Extensão da interpretação proposicional Há interpretações para termos e expressões Se U é um conjunto não-vazio, uma interpretação I na Lógica de Predicados é uma função tal que: O domínio de I é o conjunto de símbolos de função, predicados e expressões Para toda variável x, se I[x]=xI, então xI  U Para todo símbolo de função n-ário f, se I[f]=fI, então fI é uma função n-ária em U fI: U**n  U

9 Interpretação de predicados, constantes e símbolos Analogamente, para todo símbolo de predicado n-ário p, se I[p]=pI, então pI é um predicado n-ário em U pI: U**n  {T,F} A interpretação de um predicado zero-ário é igual à interpretação de seu símbolo Se I[P] = PI, então PI  {T,F} A interpretação de uma função zero-ária é igual à interpretação de uma constante Se I[b] = bI, então bI  U

10 Interpretação de fórmulas – não-quantificadas Se E é uma expressão, I uma interpretação sobre o domínio U. I[E] é dada por: Se E=false, I[E]=I[false]=F (o mesmo com true) Se E = f(t1,t2,...,tn) (um termo), então I[E]= I[f(t1,t2,...,tn)]=fI(tI1,tI2,...,tIn), onde I[f]=fI e para todo ti, I[ti]=tIi Se E = p(t1,t2,...,tn) (um átomo), então I[E]= I[p(t1,t2,...,tn)]=pI(tI1,tI2,...,tIn), onde I[p]=pI e para todo ti, I[ti]=tIi

11 Interpretação de fórmulas – não-quantificadas (cont.) Se H é uma fórmula e E=  H, então I[E]=I[  H]=T se I[H]=F e I[E]=I[  H]=F se I[H]=T Se H e G são fórmulas, e E=(HvG), então I[E]=I[HvG]=T se I[H]=T e/ou I[G]=T e I[E]=I[HvG]=F se I[H]=F e I[G]=F

12 Interpretação de Expressões Dados H=(  p(x,y,a,b))  r(f(x),g(y)) e G= p(x,y,a,b)  (q(x,y)^r(y,a)) A interpretação I, onde U=[0,  ) I[x]=3,I[y]=2,I[a]=0,I[b]=1 I[p(x,y,z,w)]=T  xI*yI>zI*wI I[q(x,y)]=T  xI yI I[f(x)]=xI+1, I[g(x)]=xI-2, Lembrar que I[x]=xI o objeto xI é o significado de x em I e xI  N

13 Interpretação de Expressões – Tabela verdade Sintaxexyabp(x,y,a,b)f(x)g(y)q(x,y)r(y,a)HG Semântica3201T40FTTF Observe que I[x]=3,..., I[H]=T,I[G]=T As interpretações de f e g são elementos do domínio de I (N) As interpretações de H e G e dos átomos p(x,y,a,b), q(x,y) e r(y,a) são valores de verdade

14 Domínio de Interpretação Seja I uma interpretação sobre N onde I[a]=25, I[b]=5, I[f(x,y)]=xI/yI I interpreta a constante a como 25 I interpreta f como a função divisão Então I[f(a,b)]=5, pois I[f]=fI, onde fI: U*U  U Porém, se I[c]=0, I[f(x,c)] não está definida! Então o domínio de f é NxN*  Q (racionais) => Se o domínio de I for N, I[f] não pode ser a função divisão E para raiz quadrada??

15 Interpretação de fórmulas – quantificadas Se H é uma fórmula, x uma variável e I uma interpretação sobre U I[(  x)H]=T   d  U; I[H]=T I[(  x)H]=F   d  U; I[H]=F I[(  x)H] =T   d  U; I[H]=T I[(  x)H] =F   d  U; I[H]=F Onde significa “interpretação de x como d” ou I[x]=d

16 Exemplo de Interpretação de fórmulas quantificadas I é uma interpretação sobre o conjunto de alunos do CIn (aluno-CIn) tal que I[p(x)]=T  xI é inteligente H1= (  x)p(x). O que é I[H1]=T? I[H1]=T  I[(  x)p(x)]=T   d  aluno-CIn; d é inteligente   d  aluno-CIn;pI(d)=T   d  aluno-CIn; I[p(x)]=T  d  aluno-CIn, se x é interpretado como d Então p(x) é interpretado como T

17 Exemplo de Interpretação de fórmulas quantificadas (cont.) I[H1]=F? I[H1]=F  I[(  x)p(x)]=F   d  aluno-CIn; d é burro   d  aluno-CIn;pI(d)=F   d  aluno-CIn; I[p(x)]=F Nem todo aluno-CIn é inteligente  d  aluno-CIn; I[p(x)]=F  d  aluno-CIn, se x é interpretado como d Então p(x) é interpretado como F

18 Exemplo 2 de Interpretação de fórmulas quantificadas H2= (  x)p(x). O que é I[H2]=T? I[H2]=T  I[(  x)p(x)]=T   d  aluno-CIn; d é inteligente   d  aluno-CIn;pI(d)=T   d  aluno-CIn; I[p(x)]=T  d  aluno-CIn, se x é interpretado como d Então p(x) é interpretado como T

19 Exemplo 2 de Interpretação de fórmulas quantificadas (cont.) I[H2]=F? I[H2]=F  I[(  x)p(x)]=f   d  aluno-CIn; d é burro   d  aluno-CIn;pI(d)=F   d  aluno-CIn; I[p(x)]=F Não existe aluno-CIn inteligente  d  aluno-CIn; I[p(x)]=F  d  aluno-CIn, se x é interpretado como d Então p(x) é interpretado como F

20 Exemplo 3 de Interpretação de fórmulas quantificadas Se I uma interpretação sobre N, tal que I[x]=3,I[a]=5, I[y]=4,I[f]=+,I[p]=< G=(  x)p(x,y) “Todo natural é menor que 4”

21 Exemplo 3 de Interpretação de fórmulas quantificadas (cont.) I[G]=F  I[(  x)p(x,y)]=F   d  N; I[p(x,y)]=F   d  N;d<4 é F, que é verdadeira  I[G]=F é verdadeira A interpretação de G segundo I é falsa Não foi usada I[x]=3, E sim a versão estendida

22 Exemplo 4 de Interpretação de fórmulas quantificadas E=(  x) (  y)p(x,y) “Para todo natural x, existe outro natural y tal que y>x” I[E]=T  I[(  x)(  y)p(x,y)]=T   d  N; I[(  y)p(x,y)]=T   d  N,  c  N; I[p(x,y)]=T  “  d  N,  c  N; d

23 Exemplo 4 de Interpretação de fórmulas quantificadas (cont.) I[E]=F  I[(  x) (  y)p(x,y)]=F   d  N; I[(  y)p(x,y)]=F   d  N,  c  N; I[p(x,y)]=F   d  N,  c  N; d=c é verdadeira, que é falsa! (não existe um no. maior que todos!)  I[E]=F é falso  I[E]=T

24 Ordem A ordem das extensões é o inverso da ordem dos quantificadores sintáticos na fórmula A ordem dos quantificadores semânticos é a mesma dos sintáticos Não é preciso usar as interpretações I[x]=3 e I[y]=4, pois x e y são ligadas Usa-se a interpretação estendida I[p(x,y)] que não usa I[x] ou I[y]

25 Interpretação de conjunções de fórmulas quantificadas E1=E^G anteriores I[E1]=F, pois I[G]=F e I[E]=T Resolve-se I[E] e I[G] primeiro

26 Exemplo 5 de Interpretação de fórmulas quantificadas I em Q* (racionais, exceto o zero) I[a]=1,I[b]=25,I[x]=13,I[y]=77,I[f]=/,I[p]=< H1= (  x)p(x,y) I[H1]=T  I[(  x)p(x,y)]=T   d  Q* I[p(x,y)]=T  “  d  Q*, d<77 é verdadeiro”, ou “d<77 é verdadeiro  d  Q*”, que é falsa!  I[H1]=T é falsa  I[H1]=F

27 Exemplo 5 de Interpretação de fórmulas quantificadas (cont.) I[H1]=F  I[(  x)p(x,y)]=F   d  Q* I[p(x,y)]=F  “  d  Q*, d<77 é falso”, ou “d<77 é falso para algum d  Q*”, que é verdadeira!  I[H1]=F é verdadeira  I[H1]=F

28 Exemplo 6 de Interpretação de fórmulas quantificadas H2= (  x)p(x,y) I[H2]=T  I[(  x)p(x,y)]=T   d  Q* I[p(x,y)]=T  “  d  Q*, d<77 é verdadeiro”, ou “d<77 é verdadeiro  d  Q*”, que é verdadeira!  I[H2]=T é verdadeira  I[H2]=T

29 Exemplo 6 de Interpretação de fórmulas quantificadas (cont.) I[H2]=F  I[(  x)p(x,y)]=F   d  Q* I[p(x,y)]=F  “  d  Q*, d<77 é falso”, ou “d<77 é falso para todo d  Q*”, que é falsa!  I[H2]=F é falsa  I[H2]=T

30 Exemplo 7 de Interpretação de fórmulas quantificadas G=(  x)(  y)p(x,y)  p(b,f(a,b)) Para provar que I[G]=T por absurdo I[G]=F  I[(  x)(  y)p(x,y)  p(b,f(a,b))]=F  I[(  x)(  y)p(x,y)]=T e I[p(b,f(a,b))]= F Mas I[p(b,f(a,b))] sse (25<(1/25)) que é falsa E I[(  x)(  y)p(x,y)]=T   d  Q*, I[p(x,y)]= T   d  Q*,  d  Q*; d

31 Exemplo 8 de Interpretação de fórmulas quantificadas H=(  x)(  y)p(x,y)  p(f(a,b),b) Para provar que I[H]=T por absurdo I[H]=F  I[(  x)(  y)p(x,y)  p(f(a,b),b)]=F  I[(  x)(  y)p(x,y)]=T e I[p(f(a,b),b)]= F Mas I[p(f(a,b),b)] sse ((1/25)<25) que é verdadeira e contradiz I[p(f(a,b),b)]= F que contradiz I[H]=F. Então I[H]=T

32 Exemplo 9 de Interpretação de fórmulas quantificadas H3= (  x)(  y)p(x,y)  p(x,y) Só há variáveis livres de em H3 (x e y) É preciso usar as interpretações I[x]=13 e I[y]=77 I[p(x,y)]=T => I[H3]=T

33 Exemplo 10 de Interpretação de fórmulas quantificadas H4= (  x)((  y)p(x,y)  p(x,y)) Só y é livre em H4 É preciso usar a interpretação I[y]=77 I[H4]=F  I[(  x)((  y)p(x,y)  p(x,y))]=F   d  Q* I[(  y)p(x,y)]=T e I[p(x,y))]=F   d  Q*,  c  Q* I[p(x,y)]=T e I[p(x,y))]=F   d  Q*,  c  Q*(d

34 Exemplo 11 de Interpretação de fórmulas quantificadas E=(  x)(  y)p(x,y)  p(f(a,b),x) Note que  xI tal que (1/25)

35 Exemplo 11 de Interpretação de fórmulas quantificadas - Conclusão Nos casos em que (1/25)=xI I[E]=F

36 Façam os exercícios do livro!!


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