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Lógica Proposicional Tableaux semânticos. Características do Método de Tableaux Semântico Baseado em árvores Ramos são decomposições de H em subfórmulas.

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1 Lógica Proposicional Tableaux semânticos

2 Características do Método de Tableaux Semântico Baseado em árvores Ramos são decomposições de H em subfórmulas ou seja, possibilidades de interpretações da fórmula Cada ramo representa uma ou mais interpretações Adequado para implementação!

3 Idéia Básica de Tableaux Semânticos Concebido por E. Beth (1954) e Jaako Hintikka (1955) Interpretação – caminho da raiz da árvore a uma folha “Semântica dos Mundos Possíveis” Buscam admissões de interpretações

4 Características do Método de Tableaux(cont.) Sistema de refutação Prova por negação ou absurdo Para provar H supõe-se inicialmente, por absurdo,  H As deduções desta fórmula levam a um fato contraditório (ou absurdo) Então H é verdade!!

5 R1=H^G R2=HvGR3=H  G H G H G  H G R4=H  GR5=  H R6=  (H^G) H H^G  H^  G  H  G R7=  (HvG) R8=  (H  G) R9=  (H  G)  HH  G  G  H^G H^  G

6 Tipos de regras - tipo α Regras do tipo α não bifurcam H^G, ¬ (H v G), ¬ (H  G) Se α =H^G, α 1=H e α 2=G então α. α1 α2

7 Tipos de regras - tipo β Regras do tipo β bifurcam HvG, ¬ (H ^ G), H  G, H  G, ¬ (H  G) Se β =HvG, β 1=H e β 2=G então β Β1 β2

8 Construção de um Tableaux Tableaux semântico para o conjunto de fórmulas {(AvB),(A^  B)} 1. AvB 2.A^  B 3. A B R2, A A R1,  B  B R1, 2.

9 Construção do mesmo Tableaux mais curto Tableaux semântico para o conjunto de fórmulas {(AvB),(A^  B)} 1. AvB 2.A^  B 3. A R1,  B R1, A B R2, 1.

10 Heurística para aplicação de regras para tableaux Adiar a bifurcação Aplicar primeiro as regras que não bifurquem Árvore menor => menos interpretações a serem analisadas

11 Construção de um Tableaux Semântico – Definição (recursiva) Dado o conjunto de fórmulas {A1,A2,...,An} A seguinte árvore, com um ramo, é um tableaux associado a {A1,A2,...,An} 1. A1 2. A2,... n. An Se Tree é um tableaux associado a {A1,A2,...,An}, então Tree* (Tree submetida a alguma das regras R1 a R9) também é

12 Exemplo de Construção de um Tableaux Semântico {(A  B)  (AvB),  (C  A)} Tree1: 1. A  B 2.  (AvB) 3.  (C  A)

13 Exemplo de Construção de um Tableaux Semântico (cont.) {(A  B)  (AvB),  (C  A)} Tree2 (=R7 aplicada a Tree1): 1. A  B 2.  (AvB) 3.  (C  A) 4.  A R7,  BR7, 2.

14 Exemplo de Construção de um Tableaux Semântico (cont.) {(A  B),  (AvB),  (C  A)} Tree3 (=R3 aplicada a Tree2): 1. A  B 2.  (AvB) 3.  (C  A) 4.  A R7,  BR7,  A BR3, 1.

15 Exemplo de Construção de um Tableaux Semântico (cont.) {(A  B),  (AvB),  (C  A)} Tree4 R8 aplicada a Tree3 O ramo da esquerda contém B e  B Como essa informação pode ser útil? 1. A  B 2.  (AvB) 3.  (C  A) 4.  A R7,  BR7,  A BR3, 1 7. C CR8,  A  A R8, 3.

16 Ramo aberto e fechado Ramo fechado – contém uma fórmula B e sua negação  B, ou o símbolo de verdade false Tableau fechado – não contém ramos abertos

17 Prova e Teorema em Tableaux Semânticos Uma prova de H usando tableaux semânticos é... Um tableau fechado associado a...  H! Neste caso, H é um teorema do sistema de tableaux semânticos

18 Exemplo de Prova em Tableaux Semânticos Como provar H=  ((P  Q)^ ¬ (P  Q)^(  P))?? Gerar um tableau fechado para  H:  (  ((P  Q)^ ¬ (P  Q)^(  P)))

19 1.  (  ((P  Q)^ ¬ (P  Q)^(  P))) 2. (P  Q)^ ¬ (P  Q)^(  P) R5, P  QR1, ¬( P  Q)R1,  PR1, PR5,  PQR3, 3. fechado 8. P^  Q  P^QR9, P  PR1,  Q QR1, 8. fechado

20 1.  ((P  Q)v  P)) 2.  (P  Q) 3. P 4. P^  Q  P^Q 5. P  P 6.  QQ aberto fechado

21 Conseqüência Lógica em Tableaux Semânticos Dada uma fórmula H e um conjunto de hipóteses  ={H1,H2,...Hn}, então H é conseqüência lógica em tableaux semânticos de  se existe uma prova, usando tableaux semânticos de (H1^H2^...^Hn)  H

22 Notação de Conseqüência Lógica em Tableaux Semânticos Dada uma fórmula H, se H é conseqüência lógica de um conjunto de hipóteses  ={H1,H2,...Hn} em tableaux semânticos, diz-se que:  ├ H ou {H1,H2,...Hn} ├ H

23 Exemplo de Conseqüência Lógica em Tableaux Semânticos Guga é determinado Guga é inteligente Se Guga é determinado, ele não é um perdedor Guga é um atleta se é amante do tênis Guga é amante do tênis se é inteligente “Guga não é um perdedor” é conseqüência lógica das afirmações acima??

24 Solução Provar H H=(D^I^((D^A)  P)^(T  A)^(I  T))  P Mostrando que  H é absurdo  H=(D^I^((D^A)  P)^(T  A)^(I  T))  H gera um tableau fechado?

25 Conjunto insatisfatível Como provar que um conjunto de fórmulas é insatisfatível? Por exemplo:  ={  AvB,  (Bv  C), C  D,  (  AvD)}

26 Conjunto insatisfatível (cont.)  é insatisfatível sse não existe I tal que I[  AvB]=I[  (Bv  C)]=I[C  D]=I[  (  AvD)]=T  I,I[(  AvB)^  (Bv  C)^(C  D)^  (  AvD)]=F  I,I[  ((  AvB)^  (Bv  C)^(C  D)^  (  AvD))]=T Portanto para provar que  é insatisfatível Provar que  ((  AvB)^  (Bv  C)^(C  D)^  (  AvD)) é tautologia

27 Conjunto insatisfatível (cont.)  ={  AvB,  (Bv  C), C  D,  (  AvD)} é insatisfatível? Provar que  ((  AvB)^  (Bv  C)^(C  D)^  (  AvD)) é tautologia Em tableaux semânticos Gerar um tableau fechado para  (  ((  AvB)^  (Bv  C)^(C  D)^  (  AvD)))

28 Tableaux Completamente Abertos E se eu construir um tableau direto a partir de H (e não de  H)? Ex: H=(Av  A)^(A  B) Construir os tableaux de H e de  H O que um tableau completamente aberto nos diz??

29 Tableaux Completamente Abertos (cont.) Nada!! Ex: G=(Av  A)^(B  B) Construir os tableaux de G e de  G Conclusões?

30 Conclusões Dada uma fórmula da lógica proposicional H H é tautologia  Tableau associado a  H é fechado H é contraditória (insatisfatível)   H é tautologia  Tableau associado a H é fechado H é refutável  Tableau associado a  H é aberto (não necessariamente aberto completamente)

31 Exercício Hoje é Sábado ou Domingo. Se hoje é Sábado então é um fim de semana. Se hoje é Domingo então é um fim de semana. Portanto, hoje é um fim de semana.

32 Exercício Se hoje é Quinta-feira, então amanhã será sexta-feira. Se amanhã for sexta- feira, então depois de amanhã será sábado. Conseqüentemente, se hoje for quinta-feira, então depois de amanhã será sábado.


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