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Lógica de Predicados Tableaux semânticos. Sistema de Tableaux Semânticos Alfabeto da Lógica de Predicados Conjunto de fórmulas da Lógica de Predicados.

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1 Lógica de Predicados Tableaux semânticos

2 Sistema de Tableaux Semânticos Alfabeto da Lógica de Predicados Conjunto de fórmulas da Lógica de Predicados Conjunto de regras de dedução (ou regras de inferência)

3 R1=H^G R2=HvGR3=H  G H G H G  H G R4=H  GR5=  H R6=  (H^G) H H^G  H^  G  H  G R7=  (HvG) R8=  (H  G)R9=  (H  G)  HH  G  G  H^G H^  G

4 Regras para quantificadores R10=  (  x)HR11=  (  x)H (  x)  H(  x)  H R12=(  x)H R13= (  x)HH(t) onde t é novo,onde t é qualquer que não apareceu na prova ainda R10 e 12 devem ter preferência! Por quê???

5 Características do Método de Tableau Semântico Baseado em árvores Ramos são decomposições de H em subfórmulas ou seja, possibilidades de interpretações da fórmula Cada ramo representa uma ou mais interpretações Adequado para implementação!

6 Idéia Básica de Tableaux Semânticos Concebido por E. Beth (1954) e Jaako Hintikka (1955) Cada interpretação representa um mundo possível Interpretação – caminho da raiz da árvore a uma folha “Semântica dos Mundos Possíveis” Buscam admissões de interpretações

7 Características do Método de Tableau Semântico (cont.) Sistema de refutação Prova por negação ou absurdo Para provar H supõe-se inicialmente, por absurdo,  H As deduções desta fórmula levam a um fato contraditório (ou absurdo) Então H é verdade!!

8 Construção de um Tableau Tableau semântico para o conjunto de fórmulas {(AvB),(A^  B)} 1. AvB 2.A^  B 3. A B R2, A A R1,  B  B R1, 2.

9 Construção do mesmo Tableau mais curto Tableau semântico para o conjunto de fórmulas {(AvB),(A^  B)} 1. AvB 2.A^  B 3. A R1,  B R1, A B R2, 1.

10 Heurística para aplicação de regras para tableau Advindas do sistema de tableau analítico “First Order Logic”, R. Smullyan (1970) Adiar a bifurcação Aplicar primeiro as regras que não bifurquem Árvore menor => menos interpretações a serem analisadas

11 Ramo aberto e fechado Ramo fechado – contém uma fórmula B e sua negação  B, ou o símbolo de verdade false Tableau fechado – não contém ramos abertos

12 Prova e Teorema em Tableaux Semânticos Uma prova de H usando tableaux semânticos é... Um tableau fechado associado a...  H! Neste caso, H é um teorema do sistema de tableaux semânticos

13 Exemplo de Prova em Tableaux Semânticos Como provar H=  ((P  Q)^(P  Q)^(  P))?? Gerar um tableau fechado para  H:  (  ((P  Q)^(P  Q)^(  P)))

14 1.  (  ((P  Q)^(P  Q)^(  P))) 2. (P  Q)^(P  Q)^(  P)R5, P  QR1, P  QR1,  PR1, PR5,  PQR3, 3. fechado 8. P^  Q  P^QR9, P  PR1,  Q QR1, 8. fechado

15 1.  (  (P  Q)v  P)) 2.  (P  Q) 3.  P 4. P 5. P^  Q  P^Q 6. P  P 7.  QQ aberto fechado

16 Conseqüência Lógica em Tableaux Semânticos Dada uma fórmula H e um conjunto de hipóteses  ={H1,H2,...Hn}, então H é conseqüência lógica em tableaux semânticos de  se existe uma prova, usando tableaux semânticos de (H1^H2^...^Hn)  H

17 Notação de Conseqüência Lógica em Tableaux Semânticos Dada uma fórmula H, se H é conseqüência lógica de um conjunto de hipóteses  ={H1,H2,...Hn} em tableaux semânticos, diz-se que:  ├ H ou {H1,H2,...Hn} ├ H

18 Exemplo de Conseqüência Lógica em Tableaux Semânticos Guga é determinado Guga é inteligente Se Guga é determinado, ele não é um perdedor Guga é um atleta se é amante do tênis Guga é amante do tênis se é inteligente “Guga não é um perdedor” é conseqüência lógica das afirmações acima??

19 Solução Provar H=(P^Q^((P^R)  P1)^(Q1  R)^(Q  Q1))  P1 Mostrando que  H é absurdo  (P^Q^((P^R)  P1)^(Q1  R)^(Q  Q1))  P1) gera um tableau fechado?

20 Exercícios de Formalização A proposta de auxílio está no correio. Se os árbitros a receberem até sexta- feira, eles a analisarão. Portanto, eles a analisarão porque se a proposta estiver no correio, eles a receberão até sexta- feira. (C, S, A)

21 Solução A proposta de auxílio está no correio. Se os árbitros a receberem até sexta-feira, eles a analisarão. Portanto, eles a analisarão porque se a proposta estiver no correio, eles a receberão até sexta-feira. C: A proposta de auxílio está no correio. S: Os árbitros recebem a proposta até Sexta-feira. A: Os árbitros analisarão a proposta. {C, S  A, C  S} |-- A

22 Exercício Hoje é Sábado ou Domingo. Se hoje é Sábado então é um fim de semana. Se hoje é Domingo então é um fim de semana. Portanto, hoje é um fim de semana.

23 Exercício Se hoje é Quinta-feira, então amanhã será sexta-feira. Se amanhã for sexta- feira, então depois de amanhã será sábado. Conseqüentemente, se hoje for quinta-feira, então depois de amanhã será sábado.

24 Exemplo 1: Construção de um Tableau H=(  x)(  y)p(x,y)  p(a,a) é tautologia? Tableau sobre  H: 0.  ((  x)(  y)p(x,y)  p(a,a)) 1. (  x)(  y)p(x,y) R8,0 2.  p(a,a) R8,0 3. (  y)p(a,y)R13,1 com t=a 4. p(a,a)R13,3 com t=a fechado

25 Exemplo 2: Construção de um Tableau H=(  x)p(x)  (  y)p(y) é tautologia? Tableau sobre  H: 0.  ((  x)p(x)  (  y)p(y)) 1. (  x)p(x) R8,0 2.  (  y)p(y)R8,0 3. (  y)  p(y)R11,2 4.  p(a)R13,3 com t=a 4. p(a)R13,1 com t=a fechado

26 Exemplo 3: Construção de um Tableau W= (  x)(Bom(x)  Alegria)  (  x) (Bom(x)  Alegria) Tableau sobre  W???

27 0.  ((  x)(Bom(x)  Alegria)  (  x) (Bom(x)  Alegria)) 1.  (  x)(Bom(x)  Alegria) R8,0 2.  (  x) (Bom(x)  Alegria)) R8,0 3. (  x)(Bom(x)  Alegria) R5,1 4. (  x)  (Bom(x)  Alegria) R11,2 5. (  x)Bom(x) R8,4 6.  Alegria R8,4 7. Bom(a)R13, t=a 8. (  x)  Bom(x) Alegria R3,3 9.  Bom(a) fechadoR13,8, t=a fechado

28 Exercícios J=((  x)p(x)^(  x)q(x))  (  x)(p(x)^q(x)) P=(  x)(p(x)^q(x))   (  x)p(x)^ (  x)q(x)) Q=(  x)(p(x)  (  y)(p(y))

29 Exemplo de prova M=(  x)(  y)p(x,y)  p(a,a) 0.  ((  x)(  y)p(x,y)  p(a,a)) 1. (  x)(  y)p(x,y) R8,0 2.  p(a,a)) R8,0 3. (  y)p(t1,y) R12,1, t1 novo, t1  =a 4. p(t1,t2)R12,1, t2 novo, t2  =a e t1 Fechado??? Se R12 fosse usada com t1 e t2=a (errado!), o tableau seria fechado

30 Exemplo 2 de prova H=(  x)p(x)^q(x)  (  x)p(x) é tautologia? Fazer o Tableau sobre  H

31 Exemplo 2 de prova (cont.) H=(  x)p(x)^q(x)  (  x)p(x) 0.  ((  x)p(x)^q(x)  (  x)p(x)) 1. (  x)p(x)^q(x) R8,0 2.  (  y)p(x) R8,0 3.  p(t) R12,2, t novo 4. p(t)^q(t)R13,1, t qualquer 4. p(t)R1,4 5. q(t)R1,4 6. Fechado - Que alegria

32 Mais exercícios... Fumo!! E1=(  x)(p(x)  q(x)) E2=(  x)p((x)  (  x)q(x)) E1  E2?? G1=(  x)(p(x)  q(x)) G2=(  x)p((x)  (  x)q(x)) G1  G2?? G2  G1??

33 Conseqüência Lógica em Tableaux Semânticos Dada uma fórmula H e um conjunto de hipóteses  ={H1,H2,...Hn}, então H é conseqüência lógica em tableaux semânticos de  se existe uma prova, usando tableaux semânticos de (H1^H2^...^Hn)  H Porém em Lógica de 1ª. Ordem, isto é raro...

34 Notação de Conseqüência Lógica em Tableaux Semânticos Dada uma fórmula H, se H é conseqüência lógica de um conjunto de hipóteses  ={H1,H2,...Hn} em tableaux semânticos, diz-se que:  ├ H ou {H1,H2,...Hn} ├ H ├ {H1,H2,...Hn,  H} Queremos provar, por negação ao absurdo, que  U H é insatisfatível  U  ├ Falso

35 Exercício de Cons. Lógica {(  x)(Homem(x)  Mortal(x)), Homem(Sócrates)} ├ Mortal(Sócrates)? Prova por tableaux de H =(  x)(Homem(x)  Mortal(x))^ Homem(Sócrates))  Mortal(Sócrates)  H=  ((  x)(Homem(x)  Mortal(x))^ Homem(Sócrates))  Mortal(Sócrates))

36 Exercício de Cons. Lógica (cont.)  H=  ((  x)(Homem(x)  Mortal(x))^ Homem(Sócrates))  Mortal(Sócrates)) Por R8, queremos um tableau fechado que começa SEMPRE com as premissas e negação dõ conseqüente 1. (  x)(Homem(x)  Mortal(x))^ Homem(Sócrates)) R3,0 2. (  x)(Homem(x)  Mortal(x)) R1,1 3. Homem(Sócrates) R1,1 4.  Mortal(Sócrates) R3,0 Portanto se eu gerar o conseqüente (Mortal(Sócrates)) diretamente, eu já tenho uma contradição! Podem (e devem) usadas outras contradições

37 Exercício de Cons. Lógica (cont.) 1. (  x)(Homem(x)  Mortal(x))^ Homem(Sócrates)) 2. (  x)(Homem(x)  Mortal(x)) 3. Homem(Sócrates) 4.  Mortal(Sócrates) 5. Homem(Sócrates)  Mortal(Sócrates) 6.  Homem(Sócrates)Mortal(Sócrates) FechadoFechado

38 E para a implementação??

39 Tem um probleminha  ((  x)(Bom(x)  Alegria)  (  x) (Bom(x)  Alegria)) 1.  (  x)(Bom(x)  Alegria) R8,0 2.  (  x) (Bom(x)  Alegria)) R8,0 3. (  x)(Bom(x)  Alegria) R5,1 4. (  x)  (Bom(x)  Alegria) R11,2 5. (  x)Bom(x) R8,4 6.  Alegria R8,4 7. Bom(a)R13, t=a 8. (  x)  Bom(x) Alegria R3,3 9.  Bom(a1) fechadoR13,8, t=a 10.  Bom(a2).... E nunca fazer x=a

40 Solução Tableaux semânticos podem ser usados, mas Podem não ser decidíveis (por quê?) ocupam muita memória, para gerar as instanciações possíveis Aguardem os próximos capítulos... Unificação!!


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