A apresentação está carregando. Por favor, espere

A apresentação está carregando. Por favor, espere

Lógica de Predicados Sintaxe. O que não é possível expressar em Lógica Prop. Todo tricolor é um campeão. Roberto é tricolor. Logo Roberto é um campeão.

Apresentações semelhantes


Apresentação em tema: "Lógica de Predicados Sintaxe. O que não é possível expressar em Lógica Prop. Todo tricolor é um campeão. Roberto é tricolor. Logo Roberto é um campeão."— Transcrição da apresentação:

1 Lógica de Predicados Sintaxe

2 O que não é possível expressar em Lógica Prop. Todo tricolor é um campeão. Roberto é tricolor. Logo Roberto é um campeão. A adição de dois números ímpares quaisquer é um número par. Por quê?

3 Ausências da Lógica Proposiconal Quantificadores todo, qualquer, existe, alguns, nenhum,... Sempre estão ligados a variáveis Objetos Indivíduos do universo de discurso Todo tricolor é um campeão. Roberto é tricolor

4 Roteiro desta parte do curso Sintaxe Semântica Métodos de prova Tableaux semânticos Resolução Programação em lógica

5 Alfabeto da Lógica de Predicados Símbolos de pontuação: (,) Símbolos de verdade: false, true Conjunto enumerável de símbolos para variáveis: x, y, z, w, x1, y1, x2, z2... Conjunto enumerável de símbolos para funções: f, g, h, f1, g1, f2, g2... Conjunto enumerável de símbolos para predicados: p, q, r, s, p1, q1, p2, q2... Conectivos proposicionais: ,v, , 

6 Lógica de Predicados Também chamada de Lógica de 1ª. Ordem FOL (First-Order Logic) Extensão da Lógica Proposicional Novos conectivos (quantificadores) Novos símbolos para funções, variáveis, predicados, etc

7 Aridade Associado a cada símbolo de função ou predicado, temos uma aridade número inteiro, não-negativo k Indica o número de argumentos da função ou predicado Constantes e símbolos proposicionais Sempre têm k=0 Funções -> constantes Predicados -> símbolos proposicionais

8 Notação Constantes (ou funções zero-árias) a, b, c, a1, b1, a2, b2,... Símbolos (ou predicados zero-ários) P, Q, R, S, P1, Q1, P2, Q2... Quantificadores Universal:  (para todo …) Existencial:  (existe …) Os conectivos ,  e ^ são definidos em função do conjunto completo { ,v}

9 Tipos de perguntas (consultas) “A capital de Togo é Lome?” Deve retornar um símbolo de verdade Sentenças que representam símbolos de verdade, em Lógica de Predicados, são chamados de átomos “Qual a capital da Estônia?” Deve retornar um objeto Sentenças que representam objetos são chamados de termos

10 Termos São construídos a partir destas regras: Variáveis são termos (representam objetos) Se t1, t2,..., tn são termos f é um símbolo de função n-ária, então f(t1, t2,..., tn) também é um termo

11 Exemplos de termos x, a (constante, função zero-ária) f(x,a) se e somente se f é binária g(y, f(x,a), c) se e somente se g é ternária +(9,10), -(9,5) interpretados como 10+9, 9-5 Notação polonesa h(x,y,z), considerada implicitamente como ternária

12 Átomos São construídos a partir destas regras: O símbolo de verdade false é um átomo Se t1, t2,..., tn são termos p é um símbolo de predicado n-ária, então p(t1, t2,..., tn) é um átomo

13 Exemplos de átomos P (símbolo proposicional) Predicado zero-ário) p(f(x,a),x) se e somente se p é binário q(x,y,z) considerado implicitamente como ternário Ex: >(9,10), =(9,+(5,4)) interpretados como 10>9, 9=5+4 Interpretados como T Note os abusos de linguagem > e = são predicados + e – são funções

14 Fórmulas São construídos a partir destas regras: Todo átomo é uma fórmula da Lógica de Predicados Se H é fórmula então (  H) também é Se H e G são fórmulas, então (HvG) também é Se H é fórmula e x variável, então ((  x)H) e ((  x)H) são fórmulas

15 Construção de fórmulas Átomos p(x), R e false ((  p(x)) v R) Que equivale a (p(x)  R) também fórmula ((  x) p(x)  R) Expressão = termo v fórmula

16 Subtermo Se E=x, então a variável x é subtermo de E Se E = f(t1,t2,...,tn) então ti e f(t1,t2,...,tn) são subtermos de E Se t1 é subtermo de t2 e t2 de E, então t1 também é subtermo de E

17 Subfórmula Se H é fórmula H é uma subfórmula Se H=(  G), então G é subfórmula de H Se H é do tipo (EvG), (E^G), (E  G) ou (E  G), então E e G são subfórmulas de H Se x é uma variável e Q um quantificador, H=((Qx)G) então G e ((Qx)G) são subfórmulas de H Se G é subfórmula de H, então toda subfórmula de G também é subfórmula de H

18 Próprios e subexpressões Se t é subtermo de E, e t é diferente de E, então t é subtermo próprio de E Se G é subfórmula de H e G e H são diferentes, então G é subfórmula própria de H Todo subtermo ou subfórmula é uma subexpressão

19 Literais e formas normais Literal em lógica de predicados é um átomo ou sua negação Uma fórmula está na forma normal disjuntiva (fnd ou DNF, em inglês) se é uma disjunção de conjunções de literais Uma fórmula está na forma normal conjuntiva (fnc ou CNF, em inglês) se é uma conjunção de disjunções de literais

20 Ordem de precedência da Lógica de Predicados  ,  ,  ^,v G=(  x)(  y)p(x,y)  (  z)  q(z)^r(y) representa H=((((  x)((  y)p(x,y)))  (  z)(  q(z))^ r(y))

21 Correspondência entre quantificadores ((  x)H)=  ((  z)(  H)) ((  x)H)=  ((  z)(  H)) Qualquer quantificador pode ser definido a partir do outro!

22 Escopo de um quantificador Abrangência de seu uso nas subfórmulas Se E é uma fórmula na Lógica de Predicados Se ((  x)H) é subfórmula de E o escopo de (  x) é H Se ((  x)H) é subfórmula de E o escopo de (  x) é H

23 Exemplo de escopo de quantificadores G=(  x)(  y)((  z)p(x,y,w,z)  (  y)q(z,y,x,z1)) O escopo de (  x) é (  y)((  z)p(x,y,w,z)  (  y)q(z,y,x,z1)) O escopo de (  y) é ((  z)p(x,y,w,z)  (  y)q(z,y,x,z1)) O escopo de (  z) é p(x,y,w,z) O escopo de (  y) é q(z,y,x,z1))

24 Ocorrência livre e ligada Se x é uma variável e E uma fórmula, uma ocorrência de x em E é Ligada, se x está no escopo de um quantificador (  x) ou (  x) em E Livre, se não for ligada G=(  x)(  y)((  z)p(x,y,w,z)  (  y)q(z,y,x,z1))

25 Variável livre e ligada Se x é uma variável e E uma fórmula que contém x. x é Ligada em E, se existir uma ou mais ocorrências ligadas de x em E Livre em E, se existir uma ou mais ocorrências livres de x em E No exemplo anterior, z é livre e ligada!

26 Símbolos livres Símbolos livres de uma fórmula são suas variáveis livres, símbolos de função e de predicado Tudo menos os conectivos, variáveis dos quantificadores, símbolos de verdade e de pontuação Ex: O conjunto {w,z,z1,p,q} no exemplo anterior

27 Fórmulas fechadas Fórmulas ditas fechadas não possuem variáveis livres O exemplo anterior não é, mas, adicionando (  w), (  z) e (  z1)... G1=(  w)(  z)(  z1)(  x)(  y) ((  x)p(x,y,w,z)  (  y)q(z,y,x,z1)) é fechada

28 Fecho de uma fórmula Se H é fórmula da Lógica de Predicados e {x1, x2,..., xn} é o conjunto das variáveis livres em H O fecho universal de H, (  *)H, é (  x1)(  x2)...(  xn) G1 é o fecho universal de G O fecho existencial de H, (  *)H, é (  x1)(  x2)...(  xn)

29 Fechos e fórmulas fechadas G1=(  w)(  z)(  z1)(  x)(  y) ((  x)p(x,y,w,z)  (  y)q(z,y,x,z1)) Se H é fechada, como não possui variáveis livres, seus fechos universal e existencial são iguais a H H=(  *)H=(  *)H


Carregar ppt "Lógica de Predicados Sintaxe. O que não é possível expressar em Lógica Prop. Todo tricolor é um campeão. Roberto é tricolor. Logo Roberto é um campeão."

Apresentações semelhantes


Anúncios Google