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Medianas e Estatísticas de Ordem

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Apresentação em tema: "Medianas e Estatísticas de Ordem"— Transcrição da apresentação:

1 Medianas e Estatísticas de Ordem
Marcela Quispe Cruz

2 Medianas e Estatísticas de Ordem
o Problema da Seleção consiste em que dado um conjunto A de n números distintos e um número i, 1 <= i <= n, determinar qual é o i-ésimo menor elemento de A. São casos particulares do problema da seleção: O mínimo, o primeiro O máximo, o ultimo A mediana de um conjunto, onde i = 1, i = n e i = n/2, respectivamente. Par Impar Um algoritmo para o problema da seleção deve de alguma forma obter informação, ainda que parcial, sobre a ordem dos elementos do conjunto.

3 Quantas comparações são necessárias para determinar ambos o mínimo e o máximo
? Para determinar o mínimo n-1 comparações são necessárias. O mesmo é certo para o máximo. Por tanto, o numero deve ser 2n-2 para determinar ambos. De fato somente comparações são necessárias para encontrar ambos o mínimo e o máximo

4 compara o menor com min y o maior com max

5 Seleção em tempo linear esperado
Entrada: vetor A de números reais, os índices p e r que delimitam inicio e fim do subvetor onde seria feita a seleção e i, o índice do elemento procurado no vetor ordenado. Saída: o i-ésimo menor elemento do vetor A. RANDOMIZED-SELECT(A, p, r, i) 1 if p = r then return A[p] 3 q ← RANDOMIZED-PARTITION(A, p, r) 4 k ← q - p + 1 5 if i = k then return A[q] 7 elseif i < k then return RANDOMIZED-SELECT(A, p, q - 1, i) 9 else return RANDOMIZED-SELECT(A, q + 1, r, i - k)  k de elementos no subarray A[p..q]  o valor pivô é a resposta

6 Total: ( r – p ) e <= { 6 ( r – p ) + 6 }
Ex. de PARTITION PARTITION(A,p,r) x = A[ r ] 2 i = p 3 for j = p to r do if A[ j ] <= x then i = i trocar A[ i ] com A[ j ] 7 trocar A[ i+1] com A[ r ] 8 return i Total: ( r – p ) e <= { 6 ( r – p ) + 6 } ou seja lineal na longitude do array A[p..r] RAMDOMIZED-PARTITION(A,p,r) 1 i = RAMDOM (p,r) 2 exchange A[p] <-> A[i] 3 return PARTITION(A,p,r) escolhe um i, p <= i <= r e usamos A[i] como pivot

7

8 Necessitamos mostrar que n é
suficientemente grande, esta expressão é no maior cn/4-c/2-an ≥ 0 Se assumimos que T(n)=O(1) para n<2c/(c-4a), temos T(n) = O(n). Nós concluímos que qualquer ordem estatístico e no particular a mediana pode ser determinar em promedio em tempo lineal

9 Seleção em tempo linear pior caso
O algoritmo de seleção com tempo de execução O(n) no pior caso seleciona o elemento desejado particionando recursivamente o arranjo de entrada. Essa partição deve garantir uma boa divisão desse arranjo. O algoritmo SELECT determina o i-ésimo menor elemento de um arranjo de entrada com n > 1 elementos, executando 5 etapas: Dividir os n elementos do arranjo de entrada em piso(n/5) grupos de 5 elementos cada e no máximo 1 grupo com menos de 5 elementos. O(n) Encontrar a mediana dos teto(n/5) grupos, usando primeiro a ordenação por inserção dos elementos do grupo para em seguida, escolher a mediana dos grupos. O(n) Usar o SELECT recursivamente para encontrar a mediana x das teto(n/5) medianas encontradas. T(n/5) Particionar o arranjo de entrada em torno da mediana de medianas x. Seja k uma unidade maior que o número de elementos no lado de baixo da partição, de forma que x seja o k-ésimo menor elemento e existam n – k elementos no alto da partição. O(n) Se i == k, retorne k. Caso contrário, usar o SELECT recursivamente para encontrar o i-ésimo menor elemento no lado baixo da partição, se i <= k, ou então o (i – k)-ésimo menor elemento no lado alto da partição, se i > k. T( max( q - p, r - q ) )

10 pelo menos 1/2 dos teto(n/5) medianas
no step 2 são maiores que x, ignorando o grupo no qual x pertence e o grupo que tem quantidade menor que 5 elementos si 5 não divide n exatamente Logo o número de elementos maiores que x é pelo menos Assumindo que T(n) é não- decrescente isso implica que o tempo usado pelo step 5 é não maior Que T( 7n/ )

11 Assumindo que a entrada com n<=140 usa tempo O(1).
Permita que a seja tal que os step 1,3,4 necessitem tempo não maior que an vezes. Assuma que T(n) é não decrementavel. Logo provaremos por induçao que T(n)<=cn, para todo n>0. Escolhendo c bastante grande que Pela Hipotesis de Indução

12 ou Posto que n >= 140 temos que n/(n-70)<2 por tanto isto seria verdadeiro para c >= 20a e logo temos demonstrado que T(20)<=cn para todo n >= 140 e:


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