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Álgebra Linear Modelos Econômicos de Leontief. Sistemas Econômicos Serão discutidos modelos simples baseados nas idéias do economista Wassily Leontief,

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1 Álgebra Linear Modelos Econômicos de Leontief

2 Sistemas Econômicos Serão discutidos modelos simples baseados nas idéias do economista Wassily Leontief, prêmio nobel de economia em Nós examinamos dois modelos diferentes, porém relacionados: O modelo Fechado, ou Input-Output O modelo Aberto, ou de Produção Serão usadas teoria de matrizes para os cálculos adicionais.

3 O modelo Fechado Prevê o efeito de mudanças de um setor da economia em relação aos outros Um sistema é denominado fechado quando ele satisfaz todas suas demandas, ou seja, nenhuma produção entra ou sai do sistema Na matriz utilizada pelo modelo, cada linha descreve a proporção da produção que aquele setor da economia consome e cada coluna representa o quanto de sua produção é direcionado a cada um dos outros setores Este modelo propõe uma maneira de encontrar quais devem ser os fluxos totais de entrada em cada setor para que o sistema fique em equilíbrio. Assuma que o sistema econômico é constituído de n setores independentes, cada setor consome bens produzidos pelos outros setores e por si próprio(Ex.: o setor de produção de energia consome energia para se manter ativo). (i) p i é o nível de produção do setor s i. P é a matriz coluna contendo p 1..p n esta matriz é chamada de vetor de produção. (ii)A é a matriz de input-ouput (iii) AP = P é o sistema que garante que a economia esteja equilibrada

4 Exemplos Um exemplo que demonstra o uso desse modelo para três setores da economia: Agricultura, Manufatura e Serviços. Seja a Matriz A= e P = Sendo p1,p2 e p3 o fluxo de capital recebido por cada setor através de vendas e A a matriz input-output. Qual devem ser os valores de p1,p2 e p3 para que o sistema esteja em equilíbrio, ou seja, que os gastos sejam iguais à receita. A M S  Produção AMSAMS Consumo 

5 Interpretando o sistema Como o sistema é fechado, a soma das colunas deve ser 1 (tudo que é produzido deve ser consumido internamente) Solução: AP = P AP-P = 0 (A-I)P = 0 A solução é [ p1; p2; p3 ] = [ 1; 3/4; 1]*s. Ela é dada em função de um parâmetro s. Por exemplo: se p1 produzir $1000, p2 deve produzir $750 e p3 $1000 para manter o sistema em equilíbrio.

6 O modelo aberto O modelo fechado descreve o caso em que nenhum capital deixa o sistema, porém, muitas vezes um sistema econômico tem que satisfazer uma demanda externa, por isso recorremos ao modelo aberto Neste caso, seja b i a demanda de um i-ésimo setor externo, o sistema anterior pode ser escrito como: P = AP + B onde A e P são as mesmas matrizes do sistema fechado e B é a matriz contendo b 1, b 2,..., b n Se o sistema não tiver solução ele é dito improdutivo

7 Exemplo Considere três setores abertos em uma empresa: Fundição, Ferramentaria e Montagem. Cada um dos setores consome um determinado valor em manutenção, equipamento e matéria prima, providos por outras empresas, sendo esses valores respectivamente 8000, 2000 e 850 reais. A matriz de input-output é: [ 1/10 0 1/3; 6/10 2/10 3/4; 0 7/10 0] Qual deve ser o vetor de produção da empresa?

8 Análise da soloção Como o sistema não é fechado, a soma das colunas pode ser diferente de 1. Se ela é menor que 1, o setor é dito lucrativo (produz mais que consome). P=AP+B P-AP = B (I-A)P = B P = inv(I-A)B Resolvendo leva ao seguinte vetor produção: [ 67969/8; /11; /15 ] =[R$8496; R$28128; R$20540]


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