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Estudo e estado da arte dos provadores automáticos de teoremas Provadores Automáticos de Teoremas Everton Marques

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Apresentação em tema: "Estudo e estado da arte dos provadores automáticos de teoremas Provadores Automáticos de Teoremas Everton Marques"— Transcrição da apresentação:

1 Estudo e estado da arte dos provadores automáticos de teoremas Provadores Automáticos de Teoremas Everton Marques

2 Agenda Introdução Provadores automáticos de teoremas: fundamentos teóricos Estado da arte: Provadores automáticos de teoremas em lógica de primeira ordem Estado da arte: Outros tipos de provadores Conclusões

3 Introdução As pesquisas direcionadas à área de teoria da prova estudam os conceitos de provas formais e os fundamentos relacionados Provas formais podem ser classificadas como:  Prova dirigida por humanos  Prova automatizada O uso de provadores é bastante difundido na área de construção de provas formais  Diversas lógicas Lógica de primeira ordem Lógica clássica proposicional...

4 Introdução  Utilização de diversos métodos Resolução Tableaux Anéis booleanos Dedução Natural... Provador automática de teoremas: um programa computacional que mostra se a conjectura apresentada é uma conseqüência lógica de um conjunto de sentenças (os axiomas e hipóteses)  Linguagem formal sem ambigüidades  Sentença produzida: prova

5 Provadores automáticos de teoremas: fundamentos teóricos Herbrand: desenvolveu a base dos provadores automáticos de teoremas em  Seu método era impraticável de se aplicar até a invenção do computador digital.  Só após o artigo de Robinson em 1965, junto com o desenvolvimento do princípio da resolução, foi possível o desenvolvimento dos provadores.

6 Fundamentos teóricos: Teorema de Herbrand Por definição, uma fórmula válida é uma fórmula que é verdade sobre todas as interpretações.  Herbrand desenvolveu um algoritmo para encontrar uma interpretação que pode falsificar uma dada fórmula.  Se a dada fórmula mantém-se válida, não pode existir nenhuma interpretação e seu algoritmo irá parar depois de um número finito de tentativas.  Desta forma, ao invés de provar se uma fórmula é válida, o algoritmo de Herbrand prova que a negação da fórmula é inconsistente

7 Fundamentos teóricos: Teorema de Herbrand Com base no teorema de Herbrand, Gilmore foi um dos primeiros a implementar o procedimento de Herbrand em um computador.  Seu programa foi desenvolvido para detectar a inconsistência da fórmula dada, mas encontrou dificuldades com fórmulas não simples.  Estudos do seu programa revelaram que o seu método era ineficiente. O seu método foi melhorado por Davis e Putnam (1960).  O procedimento de prova por resolução é muito mais eficiente que os outros métodos anteriores.

8 Estado da arte: Provadores em lógica de primeira ordem CADE – Conference on Automated Deduction  Principal fórum internacional para a apresentação de pesquisas em todos os aspectos da dedução automática.  1ª vez em Era bienal até 1996, após anual  Em 2001 uniu-se a outras conferências e virou International Joint Conference on Automated Reasoning CASC – CADE ATP System Competition  Foi criada para estimular a pesquisa e desenvolvimento de sistemas na área dos provadores  Foi criada também para expor sistemas de provas para a comunidade dos provadores e para fora dela

9 Estado da arte: Provadores em lógica de primeira ordem  Avalia o desempenho dos provadores em termos de: Número de problemas resolvidos com ou sem solução de sáida Média de tempo de execução dos problemas resolvidos  No contexto de: Um número limitado de problemas qualificados, escolhidos da “TPTP Problem Library” um determinado tempo limite para cada tentativa de solução  A CASC divide-se em classes e na última edição foram 6: FOF – axiomática FOF com uma conjectura provável CNF – conjunto de cláusulas insatisfatíveis FNT – axiomas FOF com conjecturas que não podem ser provadas SAT – conjunto de cláusulas satisfatíveis EPR – conjunto de cláusulas finitas UEQ – cláusulas de unidade equitativas insatisfatíveis

10 Estado da arte: Vampire Baseado na CASC é possível falar dos melhores provadores em lógica de primeira ordem:  Vampire Desenvolvido na universidade Uppsala pelo PhD Andrei Voronkov e pelo doutor Alexandre Riazanov Utiliza métodos de resolução e paramodulação para encontrar bons resultados de prova Ganhou muitos prêmios na CASC, e na última competição, a versão 8.1 venceu a divisão CNF e a versão 9.0 venceu a divisão FOF

11 Estado da arte: Paradox  Paradox Desenvolvido na Chalmers University of Technology por Koen Lindström Claessen e Niklas Sörensson É um provador baseado no método MACE O método MACE basicamente transforma o conjunto de cláusulas e um domínio em um conjunto de cláusulas em lógica proposicional através da introdução de variáveis proposicionais Venceu a classe SAT do CASC de 2003 até 2006 Em 2007 venceu tanto a classe SAT quanto a FNT Foi desenvolvido na linguagem Haskell e é um software livre

12 Estado da arte: Darwin  Darwin O Darwin é a primeira implementação do cálculo de evolução de modelos Possui algumas das técnicas mais eficazes de busca desenvolvidas pela comunidade SAT A abordagem é semelhante a outros buscadores de modelos finitos como o Paradox, mas, em vez de transformar um problema em lógica proposicional, ele é convertido em lógica de primeira ordem livre de função. A versão 1.3 venceu a classe EPR em 2006 e uma variante do Darwin conseguiu o terceiro lugar na classe SAT No CASC-21 venceu a classe EPR

13 Estado da arte: WALDMEISTER  WALDMEISTER Foi desenvolvido na University of Kaiserslautern por Buch e Hillenbrand e foi implementado em C É um provador de teoremas para lógica equacional de primeira ordem Tem como objetivo principal ser eficiente em todo o processo de busca da prova É dividido em 3 níveis lógicos: nível mais alto corresponde à escolha dos parâmetros redução ordenada e heurística de busca, nível intermediário corresponde à uma máquina de inferência e o nível mais baixo fornece algoritmos e estruturas de dados para a execução das operações básicas Vem vencendo a classe UEQ do CASC desde 1997 e a sua última versão é a WALDMEISTER 806

14 Estado da arte: E-SETHEO  E-SETHEO É um provador composicional com estratégia paralela. Combina uma variedade de provadores de alto desempenho e procedimentos de decisão especializados Deixa diferentes procedimentos de busca de provas competirem por recursos para resolver um determinado problema Seu sucesso é parcialmente explicado pelo uso de estratégias paralelas e pela fácil adaptação a um determinado domínio exigido. Outra importante razão é o uso de excelentes máquinas de inferência para as diferentes estratégias. Usa estratégias de cooperação baseadas no lema de intercâmbio entre os diferentes sistemas Venceu o CASC-17 nas classes MIX e SEM. Já no CASC-JC venceu nas classes FOF, MIX e EPR.

15 Estado da arte: Outros tipos de provadores  Um Provador Automático de Teoremas para a Lógica Modal, Baseado em Anéis Booleanos Desenvolvido no IME-SP por Fabio Campos Tisovec Tem como objetivo principal ser um provador com um bom grau de eficiência na prova de problemas SAT Usa a teoria de anéis booleanos para apoiar a resolução de problemas de satisfatibilidade Basicamente pega a expressão trabalhada e subdividi-a em inúmeras mini-expressões, compara-as duas a duas, e verifica a existência de contradições entre elas. Caso encontre contradição, sabe-se que a expressão não é válida, caso contrário ela é aceita Possui uma estrutura dividida em módulos A linguagem de programação utilizada foi a C++

16 Estado da arte: Outros tipos de provadores  Kems – Um provador de teoremas multi-estratégia Foi desenvolvido na USP como tese de doutorado de Adolfo Neto. É um provador multi-estratégia baseado no método de tableaux KE. É capaz de provar teoremas em três sistemas lógicos: lógica clássica proposicional, mbC e mCi Pode ser utilizado com 3 objetivos: educacional, exploratório e adaptativo Possui uma arquitetura modularizada

17 Estado da arte: Outros tipos de provadores Dada a entrada, retorna uma prova de saída que contêm:  O status do tableau  A árvore tableau de prova  O tamanho do problema  O tempo gasto para construir a prova  O tamanho da prova A versão atual é implementada em Java 1.5 e na linguagem AspectJ Foi avaliado com várias instâncias de famílias de problemas e nenhuma configuração do KEMS obteve resultados incorretos.

18 Estado da arte: Outros tipos de provadores

19  Isabelle Desenvolvido pela “University of Cambridge” (PhD Larry Paulson) e “Technical University of Munich” (PhD Tobias Nipkow) A principal aplicação é a formalização de provas matemáticas e em particular verificação formal, incluindo provar propriedades de protocolos e linguagens computacionais Boa interface visual para o usuário Ampla documentação, incluindo um tutorial de como usar o sistema Várias interfaces com outros sistemas Vem com uma grande biblioteca teórica de matemáticas Foi utilizado para formalizar muitos teoremas da matemática e da ciência da computação, como o teorema da completude de Gödel É um software livre

20 Estado da arte: Outros tipos de provadores

21  Ergo Começou o seu desenvolvimento em 2006 na Universidade de Paris É um provador dedicado a verificação de programas É baseado no CC(X), um algoritmo de conclusão de congruência e no cálculo de seqüentes É implementado em Qu-Prolog Sua arquitetura é modular É um software livre  ARA É um provador para vários tipos de relações algébricas Pode provar muitos teoremas em diversas álgebras Foi implementado em Haskell

22 Estado da arte: Outros tipos de provadores  PLLIC - Provador para as Lógicas Linear, Intuicionista e Clássica Foi desenvolvido no ano de 2006 na universidade UFMG Foi desenvolvido com a linguagem de programação Java e λ-Prolog Analisa quando seqüentes do tipo Γ├ L Δ tem resposta: sim ou não, e caso positivo exibe a prova Trabalha com 3 tipos de lógica: linear, intuicionista e clássica É acessado via web e é em português Possui tutoriais, exemplos e fundamentação teórica também em português É fácil de usar e possui uma interface com o usuário agradável Tem como objetivo principal ser uma ferramenta de fácil manuseio, podendo ser acessado remotamente para o ensino de lógica em cursos de graduação

23 Estado da arte: Outros tipos de provadores ~((~ A)/\(~B)) |- A\/B A |- ~(~A) - Dupla negação

24 Conclusões Considerações finais  Embasamento teórico  Estado da arte dos provadores  Estudo de muitos provadores Dificuldades Encontradas  Escolha de escopo  Dificuldade em encontrar bibliografia  Dificuldade na execução dos programas

25 Conclusões Trabalhos Futuros  Implementar um provador automático de teorema  Uma tese de mestrado na área  Desenvolver um provador para competir na CASC

26 Referências MARQUES, Everton. Estudo e estado da arte dos provadores automáticos de teoremas. Trabalho de Graduação, Bacharelado em Ciência da Computação, Universidade Federal de Pernambuco

27 Estudo e estado da arte dos provadores automáticos de teoremas Provadores Automáticos de Teoremas Everton Marques


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