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Lógica Proposicional SAT e Custo Computacional. Conjuntos FOR: conjunto das fórmulas SAT: conjunto das fórmulas satisfazíveis INSAT: conjunto das fórmulas.

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1 Lógica Proposicional SAT e Custo Computacional

2 Conjuntos FOR: conjunto das fórmulas SAT: conjunto das fórmulas satisfazíveis INSAT: conjunto das fórmulas insatisfazíveis TAUT: conjunto das tautologias REFUT: conjunto das fórmulas refutáveis Refutável é toda fórmula H tal que exista pelo menos uma interpretação I[H]=F

3 Lema de pertinência Para H € FOR: H € SAT   H  € INSAT H € INSAT   (  H) € TAUT H € SAT   (  H)  € TAUT H € REFUT   H  € TAUT H € REFUT   (  H)  € INSAT

4 Lema entre os conjuntos SAT, INSAT, TAUT, REFUT  FOR TAUT  SAT INSAT  REFUT TAUT  REFUT = {} INSAT  SAT = {} SAT U REFUT = FOR TAUT U INSAT  FOR SAT  REFUT  = {}

5 O problema SAT Dada uma fórmula proposicional  = (a  b)  (  a   b  c) Determinar se  é satisfazível Problema de decisão Para n símbolos proposicionais, são necessárias 2 n linhas numa tabela verdade e 2m+1 colunas a bb cccc

6 Aplicações Um “ resolvedor de SAT ” é a principal ferramenta computacional para: Em Inteligência Artificial: Programa ç ão em l ó gica Provadores de teoremas Em Projeto Autom á tico de Componentes Eletrônicos: Teste e Verificação Síntese Escalonamento Planejamento …

7 Custo Computacional O custo (determinístico) de SAT é dito exponencial Não-determinísticamente, o custo de SAT cai para cerca de 2m+1 2m+1 é o número de sub-proposições, por indução m= no. de conectivos da fórmula Custo não-deterministicamente polinomial (NP) Testam-se apenas algumas linhas da tabela O no. de sub-fórmulas é sempre até 2 vezes o número de conectivos mais 1

8 Complexidade Computacional Criação da classe de problemas NP-Completo S. A. Cook, The complexity of theorem proving procedures, Proceedings, Third Annual ACM Symp. on the Theory of Computing,1971, Abordagem mais simples: B. Hayes, Can’t get no satisfaction, American Scientist, Vol. 85, nr. 2, Mar-Apr 1997,

9 Complexidade Computacional (cont.) Algoritmos deterministicamente polinomiais: logarítmico, linear quadrático, cúbico (log n, n, n**2, n**3, …, n**500,…) Algoritmos exponenciais (ou não- deterministicamente polinomiais): 2**n,n**n,n**log n Algoritmos exponenciais são mais lentos que os polinomiais para valores altos de n Polinomiais são preferíveis!

10 Complexidade e SAT 1-SAT:linear (um literal por subfórmula) 2-SAT: linear (com fases) (x11 OR x12) AND (x21 OR x22) AND (x31 OR x32) AND… 3-SAT: NP-completo (x11 OR x12 OR x13) AND (x21 OR x22 OR x23) AND (x31 OR x32 OR x33) AND... O problema são os conflitos, que diminuem a satisfabilidade! Não existe um algoritmo polinomial para todas as instâncias do problema SAT, a não ser que P = NP Vira deterministicamente polinomial quando as sentenças viram 2-SAT (no máximo 2 símbolos proposicionais por fórmula) Cláusula de Horn – 1-SAT (No máximo 1 símbolo proposicional positivo em todas as sub-fórmulas)


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