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SAT e Custo Computacional

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Apresentação em tema: "SAT e Custo Computacional"— Transcrição da apresentação:

1 SAT e Custo Computacional
Lógica Proposicional SAT e Custo Computacional

2 Conjuntos FOR: conjunto das fórmulas
SAT: conjunto das fórmulas satisfazíveis INSAT: conjunto das fórmulas insatisfazíveis TAUT: conjunto das tautologias REFUT: conjunto das fórmulas refutáveis Refutável é toda fórmula H tal que exista pelo menos uma interpretação I[H]=F

3 Lema de pertinência Para H € FOR: H € SAT D H € INSAT
H € INSAT D (H) € TAUT H € SAT D (H) € TAUT H € REFUT D H € TAUT H € REFUT D (H) € INSAT

4 Lema entre os conjuntos
SAT, INSAT, TAUT, REFUT  FOR TAUT  SAT INSAT  REFUT TAUT I REFUT = {} INSAT I SAT = {} SAT U REFUT = FOR TAUT U INSAT  FOR SAT I REFUT = {}

5 O problema SAT Dada uma fórmula proposicional
 = (a  b) ( a b  c) Determinar se  é satisfazível Problema de decisão Para n símbolos proposicionais, são necessárias 2n linhas numa tabela verdade e 2m+1 colunas a b c 1

6 Aplicações Um “resolvedor de SAT” é a principal ferramenta computacional para: Em Inteligência Artificial: Programação em lógica Provadores de teoremas Em Projeto Automático de Componentes Eletrônicos: Teste e Verificação Síntese Escalonamento Planejamento

7 Custo Computacional O custo (determinístico) de SAT é dito exponencial
Não-determinísticamente, o custo de SAT cai para cerca de 2m+1 2m+1 é o número de sub-proposições, por indução m= no. de conectivos da fórmula Custo não-deterministicamente polinomial (NP) Testam-se apenas algumas linhas da tabela O no. de sub-fórmulas é sempre até 2 vezes o número de conectivos mais 1

8 Complexidade Computacional
Criação da classe de problemas NP-Completo S. A. Cook, The complexity of theorem proving procedures, Proceedings, Third Annual ACM Symp. on the Theory of Computing,1971, Abordagem mais simples: B. Hayes, Can’t get no satisfaction, American Scientist, Vol. 85, nr. 2, Mar-Apr 1997,

9 Complexidade Computacional (cont.)
Algoritmos deterministicamente polinomiais: logarítmico, linear quadrático, cúbico (log n, n, n**2, n**3, …, n**500,…) Algoritmos exponenciais (ou não-deterministicamente polinomiais): 2**n,n**n,n**log n Algoritmos exponenciais são mais lentos que os polinomiais para valores altos de n Polinomiais são preferíveis!

10 Complexidade e SAT 1-SAT:linear (um literal por subfórmula)
2-SAT: linear (com fases) (x11 OR x12) AND (x21 OR x22) AND (x31 OR x32) AND… 3-SAT: NP-completo (x11 OR x12 OR x13) AND (x21 OR x22 OR x23) AND (x31 OR x32 OR x33) AND ... O problema são os conflitos, que diminuem a satisfabilidade! Não existe um algoritmo polinomial para todas as instâncias do problema SAT, a não ser que P = NP Vira deterministicamente polinomial quando as sentenças viram 2-SAT (no máximo 2 símbolos proposicionais por fórmula) Cláusula de Horn – 1-SAT (No máximo 1 símbolo proposicional positivo em todas as sub-fórmulas)


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