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Www.dca.ufrn.br/~lmarcos/courses/compgraf Computação Gráfica Geometria de Transformações Luiz M. G. Gonçalves Parte I: Vetores Bases Transformações.

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1 Computação Gráfica Geometria de Transformações Luiz M. G. Gonçalves Parte I: Vetores Bases Transformações

2 F Vetores, bases e matrizes F Translação, rotação e escala F Coordenadas homogêneas F Rotações e translações 3D F Composição de transformações

3 Uso de transformações F Modelagem: wConstruir modelos complexos a partir de componentes simples wAnalisar efeitos de transformações rígidas e não rígidas em objetos wMapear objetos em frames de referência diferentes wVerificar possibilidades de configurações dos modelos

4 Uso de transformações F Cinemática wVerificar possíveis configurações do atuador, traçando o caminho a ser percorrido wVariar transformações no tempo para atingir a peça desejada

5 Uso de transformações em CG F Visualização: wPosicionar câmera virtual no mundo (coordenadas de mundo para câmera) wTransformar coordenadas de câmera em mundo, objeto e imagem e vice-versa xoxo zozo yoyo ycyc xcxc zczc xwxw zwzw ywyw y im x im

6 Uso de transformações em CG F Animação wVariar transformações no tempo para criar movimento xoxo zozo yoyo ycyc xcxc zczc xwxw zwzw ywyw y im x im

7 Vetores F Noção da Física: wcomprimento, direção, sentido F Exemplos: wvelocidade, força, deslocamento F Representação matemática: wEnuplas ordenadas v = (v 1,v 2,…,v n ) v u

8 Vetores wSoma, subtração e multiplicação p/ escalar wProduto escalar: u.v = u 1 v 1 +u 2 v 2 +…+u n v n wNorma: ||v ||= (v 1 2 +v 2 2 +…+v n 2 ) 1/2 wUnitário: ||v ||= 1 wÂngulo:  (u,v) = cos -1 [(u.v) / (||u|| ||v)] wOrtogonalidade: u.v = 0 (  (u,v)=90 o ) v u 0

9 Combinação linear F Dados dois vetores v 1 e v 2, ande uma distância qualquer na direção de v 1 e então ande outra distância na direção de v 2 F O conjunto de todos os lugares (vetores, pontos) que podem ser atingidos é dado pelas combinações lineares possíveis entre v 1 e v 2

10 Combinação linear F V = k 1 V 1 +k 2 V 2 V1V1 V2V2 k1V1k1V1 k2V2k2V2 V = k 1 V 1 +k 2 V 2

11 Independência Linear F Um conjunto de vetores é dito linearmente independente se nenhum dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros F Ou sejam c i coeficientes quaisquer, então ∑c i v i =0  c i =0 F Exemplo de 3 vetores LI: we 1 = (1,0,0), e 2 = (0,1,0), e 3 = (0,0,1)

12 Base vetorial F Uma base vetorial é um conjunto de n vetores linearmente independentes entre si, cuja combinação linear leva a qualquer lugar do espaço considerado, isto é, varre o espaço. F Significa: para varrer um espaço n- dimensional, são necessários n vetores F Para ser uma base, vetores não precisam ser ortogonais nem possuir norma 1.

13 Base vetorial F Se os vetores da base possuem todos norma 1 e se são mutuamente ortogonais, a base é dita ser ortonormal F Exemplo: vetores da base canônica de R 3 : we 1 = (1,0,0) we 2 = (0,1,0) we 3 = (0,0,1) F Obviamente, há muito mais que uma base possível para um dado espaço vetorial.

14 Representação de vetores F Todo vetor tem uma representação única numa dada base wOs multiplicadores pelos vetores da base são chamados de componentes ou coordenadas wMudando a base, muda os componentes, mas não o vetor V= v 1 E 1 +v 2 E v n E n F Os vetores E 1, E 2,..., E n são vetores da base F Os escalares v 1, v 2,..., v n são os componentes de v com respeito à base.

15 Função x Transformação F Função é uma função que a cada dado apresentado retorna um único valor (escalar   ) F Transformação é uma função onde o resultado são vetores   n

16 Transformação Linear F Uma função (ou mapeamento ou ainda transformação) F é linear se, para todos os vetores u e v e todos escalares k e l: F(u+v) = F(u) + F(v) F(kv) = kF(v) Ou simplesmente F(ku+lv) = kF(u)+lF(v) F Qualquer mapeamento linear é completamente especificado pelo seu efeito numa base vetorial

17 Efeito na base v = v 1 E 1 + v 2 E 2+ v 3 E 3 F(v) = F(v 1 E 1 +v 2 E 2+ v 3 E 3 )= = F(v 1 E 1 )+F(v 2 E 2 )+F(v 3 E 3 )= = v 1 F(E 1 ) + v 2 F(E 2 )+v 3 F(E 3 ) F Obs: uma função F é afim se ela é linear mais uma translação wEx: y = mX+b não é linear, mas é afim

18 Transformando um vetor F Transformação linear (op. com escalares) F Supondo as coordenadas da base transformada (em termos dos vetores da base original): F(E 1 ) = f 11 E 1 +f 21 E 2 +f 31 E 3 (f ij são coordenadas) F(E 2 ) = f 12 E 1 +f 22 E 2 +f 32 E 3 F(E 3 ) = f 13 E 1 +f 23 E 2 +f 33 E 3 F Um vetor geral V, transformado, torna-se: F(V) = v 1 F(E 1 ) + v 2 F(E 2 )+v 3 F(E 3 ) = v 1 (f 11 E 1 +f 21 E 2 +f 31 E 3 )+v 2 (f 12 E 1 +f 22 E 2 +f 32 E 3 )+v 3 (f 13 E 1 +f 23 E 2 +f 33 E 3 )= (f 11 v 1 +f 12 v 2 +f 13 v 3 )E 1 +(f 21 v 1 +f 22 v 2 +f 23 v 3 )E 2 +(f 31 v 1 +f 32 v 2 +f 33 v 3 )E 3 F(v)= v 1 F(E 1 ) + v 2 F(E 2 )+v 3 F(E 3 )

19 Transformando um vetor (f 11 v 1 +f 12 v 2 +f 13 v 3 )E 1 +(f 21 v 1 +f 22 v 2 +f 23 v 3 )E 2 +(f 31 v 1 +f 32 v 2 +f 33 v 3 )E 3 F Suas coordenadas em referência a base original E tornam-se: v 1 t = f 11 v 1 +f 12 v 2 +f 13 v 3 v 2 t = f 21 v 1 +f 22 v 2 +f 23 v 3 v 3 t = f 31 v 1 +f 32 v 2 +f 33 v 3 F Ou simplesmente v i t =  f ij v j fórmula de mult. matricial (outro modo) f 11 f 12 f 13 v 1 f 21 + v 2 f 22 + v 3 f 23 f 31 f 32 f 33

20 Multiplicação de matrizes! F Uma matriz F de dimensões nxn representa uma função linear (ou transformação) em n dimensões wA i-ésima coluna mostra o que a função faz ao vetor de base correspondente F Transformação é uma combinação linear das colunas de F pelos componentes de V wPrimeiro componente do vetor de entrada escala a primeira coluna da matriz wAcumula no vetor de saída wRepete para cada coluna e componente

21 Multiplicação matricial F Usualmente calcula-se de modo diferente wfaça o produto interno da linha i da matriz com o vetor de entrada para conseguir componente i do vetor de saída: v 1 t f 11 f 12 f 13 v 1 v 2 t = f 21 f 22 f 23 v 2 v 3 t f 31 f 32 f 33 v 3

22 Exemplo: ACHANDO A MATRIZ F F:R2->R2: (x, y) -> (2x, 3y) F E 1 = (1,0), E 2 = (0,1) F F(E 1 ) = (2, 0) F F(E 2 ) =(0,3) F Em forma matricial: 2 0 X F 0 3 Y F F:R2->R2: (x, y) -> (2x+y, 3y+x)

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24 Translação

25 Rotação

26 Matriz de rotação possui vetores unitários

27 Representação da rotação

28 Exemplo de rotação

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