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Escoamento em leitos porosos Equação de Ergun Lei de Darcy Porosidade, Diâmetro equivalente Leitos fixos e fluidizados Equação de Blake-Kozeny Equação.

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1 Escoamento em leitos porosos Equação de Ergun Lei de Darcy Porosidade, Diâmetro equivalente Leitos fixos e fluidizados Equação de Blake-Kozeny Equação de Burke-Plummer TA 631 – OPERAÇÕES UNITÁRIAS I Aula 20: 01/06/2012 1

2 1. Lei de Darcy Henry Darcy em 1856 demonstrou que a velocidade média (v) de um fluido newtoniano quando escoa em regime laminar dentro de um leito poroso é proporcional ao gradiente de pressão e inversamente proporcional à distância percorrida. v = velocidade média do fluido no leito poroso K = constante que depende das propriedades do fluído e do leito poroso (-  P) = queda de pressão através do leito L = percurso realizado no leito poroso 2

3 3 A equação de Darcy também pode ser escrita da seguinte maneira: B = coeficiente de permeabilidade, que depende apenas das propriedades físicas do leito poroso μ f = viscosidade do fluído.

4 2. Equação de Poiseuille Explica o escoamento em regime laminar de um fluido newtoniano dentro de um tubo. Colocando a equação em termos da velocidade média do fluido no tubo: Onde: ∆p é a o gradiente de pressão (N/m 2 ) v é a velocidade do fluido no tubo (m/s) D é o diâmetro do tubo (m) L é o comprimento do tubo (m) µ é a viscosidade do fluido (Pa.s) 4

5 Comparando as equações: Considerando o “canal tortuoso” como um tubo, relaciona-se as duas equações e obtém-se uma expressão para “B” : Darcy modificadaPoiseuille k = f( , Dp, Φp, etc.) Logo, é necessário uma equação “mais robusta”. 5

6 Quais são as variáveis que atuam no escoamento de um fluido newtoniano em um leito de partículas sólidas rígidas? Precisamos de uma equação para descrever como varia a velocidade do fluido com a pressão aplicada, a distância percorrida (altura do leito), a viscosidade e a densidade do fluido, o diâmetro das partículas e sua esfericidade, a porosidade do leito. 3. Dedução de um modelo para descrever a passagem de um fluido em um leito particulado 6 Primeiro para leitos fixos e depois em leitos móveis (ou fluidizados)

7 Considerações para as equações que serão desenvolvidas a seguir: Fluido Newtoniano As partículas se distribuem de forma homogênea, o que permite a formação de canais de escoamento contínuos, uniformes e em paralelo Um leito de percurso curto (L pequeno) 7

8 v0v Porosidade Lembrando que em um leito poroso existem espaços vazios (zonas sem partículas). A porosidade (  ) é definida como a razão entre o volume do leito que não está ocupado com material sólido e o volume total do leito. 8

9 v0v0 No caso do fluxo através do leito de partículas: VazioSólido Fração Volume Massa 9  s = densidade da partícula sólida  f = densidade do fluido

10 v0v0 Equação pra correlacionar a porosidade com as densidades do leito, das partículas e do fluido: massa total = massa de sólidos + massa de fluido Substituindo os termos, tem-se: (densidade aparente) [1] 10

11 3.2. Volumes no leito Volume total do leito Leito particulado Conjunto de partículas Volume = soma dos volumes unitários Volume total de vazios Volume total de sólidos 11

12 v0v0 A vazão mássica do fluido fora do leito é igual a vazão dentro do leito: Balanço de massa 3.3. Relação entre “velocidade superficial” (fora do leito) do fluido e velocidade média do fluido no leito Quando o leito não tem partículas: Se a porosidade for 50%: [2] Área de vazios 12

13 v0v Diâmetro equivalente Como não se trata do escoamento em uma tubulação cilíndrica (pois tem-se um canal tortuoso), devemos usar o conceito de diâmetro equivalente e de raio hidráulico, cuja definição é: Multiplicando por (L b /L b ) tem-se: 13 A área de atrito entre o fluido e as partículas sólida corresponde a área externa das partículas sólidas.

14 Sabemos que: Se a s é a área superficial por unidade de volume sólido: Substituindo essas relações no “Deq” acima tem-se: 14 Área de atrito = volume ocupado pelas partículas sólidas x a s

15 Para partículas esféricas tem-se: [3] 15

16 v0v Leito particulado fixo A perda de pressão no leito particulado é obtida com o Balanço de Energia: Substituindo f F para fluido Newtoniano em regime laminar tem-se: [5] [4] 16

17 Substituindo [3] e [6] em [2], obtém-se: [6] [2] [3] ou [7] [8] partículas esféricas, fluido Newtoniano em regime laminar Equações [7] e [8] válidas para partículas esféricas, fluido Newtoniano em regime laminar. 17

18 Regimes de escoamento Número de Reynolds Definição do regime do fluxo de fluido:  Laminar quando Re < 10  Turbulento quando Re > 100 Substituindo Deq [3] e v leito [2] em Re tem-se: [9] 18

19 Os dados experimentais revelam que o valor da constante (72) em [8] geralmente é maior, como mostra a equação abaixo: Equação de Blake-Kozeny; válida para  <0,5 e Re<10 De [8] Regime Laminar 19

20 Fator de Fanning Re Laminar Turbulento 20

21 Para o regime turbulento pode propor-se: Equação de Burke-Plummer (k=0,583) Regime Turbulento Agora, substituindo [2] e [3] em [4] tem-se: [2] [4] [3] [10] 21

22 a equação geral de Ergun Somando os dois regimes (laminar de Blake-Kozeny e turbulento de Burke-Plummer ), tem-se a equação geral de Ergun que descreve a queda de pressão de um fluido deslocando-se em um leito poroso fixo: Rearranjando tem-se: [11] [12] 22

23 3.6. Partículas não esféricas A equação de Ergun [11] inclui a esfericidade quando as partículas não são esféricas. Para isso, o diâmetro da partícula é multiplicado pela esfericidade (phi): [13] 23

24 4. Resposta ao fluxo superficial (velocidade v 0 do fluido) O fluido não possui uma força de arraste suficiente para se sobrepor a força da gravidade e fazer com que as partículas se movimentem: Leito fixo. Se o fluido tem alta força cinética, as forças de arraste e empuxo superam a da gravidade e o leito se expande e se movimenta: Leito fluidizado. Baixa velocidade Alta Velocidade  P e o aumento da velocidade superficial v 0 Enquanto se estabelece a fluidização o  P cresce, depois se mantém constante. Comprimento do leito quando aumenta v 0 A altura (L) é constante até que se atinge o estado de fluidização depois começa a crescer. 24

25 5. Fluidização sem que sejam arrastadas junto com o fluido. A fluidização ocorre quando um fluxo ascendente de fluido escoa através de um leito de partículas e adquire velocidade suficiente para manter as partículas em suspensão, sem que sejam arrastadas junto com o fluido. 25

26 A fluidização é empregada em: Secagem Mistura Revestimento de partículas Aglomeração de pós Aquecimento e resfriamento de sólidos Congelamento Torrefação de café Pirólise  Alta mistura dos sólidos (homogeneização rápida)  A área superficial das partículas sólidas fica completamente disponível para transferência de calor e de massa Vantagens da Fluidização: 26

27 O  A: Aumento da velocidade e da queda de pressão do fluído; A  B: O leito está iniciando a fluidização; B  C: Com o aumento da velocidade, há uma queda leve da pressão devido à mudança repentina da porosidade do leito; C  D: O log(-∆P) varia linearmente com log(v) até o ponto D. D  ∞: Após o ponto D, as partículas começam a ser carregadas pelo fluído e perde-se a funcionalidade do sistema. v mf = velocidade mínima de fluidização v a = velocidade de arraste Leito fluidizado Transporte pneumático 5.1. Etapas da fluidização 27 Leito fixo

28 Exemplo da aplicação de fluidização em resfriamento de sólidos Entrada de sólidos quentes Entrada de ar Leito fluidizado Água fria Saída de ar Saída de sólidos frios distribuidor 28 Água quente

29 5.2. Tipos de fluidização (A) Fluidização particulada: Ocorre quando a densidade das partículas é parecida com a do fluido e o diâmetro das partículas é pequeno. Video sobre fluidização particulada: 29

30 (B) Fluidização agregativa: Ocorre quando as densidades das partículas e do fluído são muito diferentes ou quando o diâmetro das partículas é grande. Video sobre fluidização agregativa: 30

31 Quando inicia-se a fluidização, há um aumento da porosidade e da altura do leito. Essa relação é dada pela seguinte expressão: 5.3. Altura do leito poroso volume de sólidos no leito fixo volume de sólidos no leito fluidizado SS [14] 31

32 5.4. Velocidade mínima de fluidização O leito somente fluidizará a partir de um certo valor de velocidade do fluido ascendente. Essa velocidade é definida como a velocidade mínima de fluidização (v mf ). Quando atinge-se v mf, a força da pressão (F p ) e a de empuxo (Fe) se igualam a força do peso das partículas do leito (F g ). Logo, Fp + Fe = Fg Fe 32

33 Sabe-se que Fazendo tem-se: [15] L Fe Fp + Fe = Fg 33

34 v mf para regime laminar Para esse regime, a parte final da equação de Ergun [13] é insignificante em relação à primeira, logo temos: Rearranjando com a equação [15] tem-se: [16] 34

35 Para esse regime, a parte inicial da equação de Ergun [13] é insignificante em relação à segunda, logo temos: v mf para regime turbulento [17] Rearranjando com a equação [15] tem-se: 35

36  Para determiná-la, usam-se as seguintes relações:  Experimentalmente: 5.5. Porosidade mínima de fluidização 36

37 Exercícios de Fluidização 37

38 Ex. 1: Um leito fluidizado possui 80 kg de partículas de diâmetro 60 µm (  = 0,8) e densidade 2500 kg/m 3. O diâmetro do leito é 40 cm e a altura mínima de fluidização é 50 cm. O fluido ascendente é ar (  = 0,62 kg/m 3 ), que flui em regime turbulento no leito. Calcule: (a) A porosidade mínima de fluidização. (b) A perda de carga na altura mínima de fluidização. (c) A velocidade mínima de fluidização (a) Volume de sólidos = 80kg / 2500 kg/m 3 = 0,032 m 3. Para uma porosidade de 0 (  1= zero), a altura do leito considerando apenas sólidos seria de: L1=Volume/Área=0,032m 3 /0,1256m 2 =0,2548 m Usando [14] tem-se: No início da fluidização, o leito possui 49% de seu volume ocupado com ar e os 51% restantes com partículas sólidas Também poderia ser resolvido por: 38

39 (b) De [15] tem-se: Na altura mínima de fluidização, a perda de carga no leito poroso será de 6,3kPa (c) De [13] tem-se: Quando o fluido atingir Vmf se iniciará a fluidização do leito. 39

40 40 Tipo de escoamento Consistência?

41 Exercício 2: Velocidade mínima de fluidização Partículas sólidas possuindo diâmetro de 0,12mm, esfericidade de 0,88 e densidade de 1000kg/m3 irão ser fluidizadas com ar a 2 atm e 25ºC (  =1, Pa.s;  =2,37kg/m 3 ). A porosidade mínima de fluidização é 0,42. Com essas informações encontre: (a)A altura mínima de fluidização considerando a seção transversal do leito vazio de 0,30m 2 e que o leito contém 300kg de sólidos. (b)Encontre a queda de pressão nas condições de fluidização mínima. (c)Encontre a velocidade mínima de fluidização (a) Volume de sólidos = 300kg / 1000 kg/m 3 = 0,3 m 3 Para uma porosidade de 0 (  1= zero), a altura do leito considerando apenas sólidos seria de: L1=0,3m 3 /0,3m 2 =1m Usando [14] tem-se: No início da fluidização, o leito terá 1,72m 41

42 (b) De [15] tem-se: (c) Na altura mínima de fluidização, a perda de carga no leito será 9,7kPa De [15](condições de mínima fluidização) em [13] (Ergun) tem-se: Resolvendo tem-se: v mf = 0,00504 m/s Quando o fluido atingir 0,00504 m/s, a fluidização do leito será iniciada. 42

43 Exercício 3: Velocidade mínima de fluidização e expansão do leito Partículas sólidas possuindo diâmetro de 0,10mm, esfericidade de 0,86 e densidade de 1200kg/m3 irão ser fluidizadas com ar a 2atm e 25ºC (  =1, Pa.s;  =2,37kg/m 3 ). A porosidade mínima de fluidização é 0,43. O diâmetro do leito é de 0,60m e contém 350kg de sólidos. Com essas informações encontre: (a)A altura mínima de fluidização. (b)Encontre a queda de pressão nas condições de fluidização mínima. (c)Encontre a velocidade mínima de fluidização. (d)Utilizando 4 vezes a velocidade mínima, estime a porosidade do leito. Itens (a), (b) e (c) são resolvidos da mesma maneira que o exercício anterior. Respostas: (a) 1,81m; (b) 12120Pa; (c) 0,004374m/s. 43

44 (d) De [15] em [13] (Ergun) tem-se: Resolvendo tem-se:  = 0,605 Quando o fluido atingir quatro vezes a velocidade mínima de fluidização, a porosidade do leito será de 0,605, ou seja, 60,5% do volume do leito ocupado com fluido e 39,5% do volume do leito ocupado com as partículas sólidas. 44

45 Exercício 4: Fluidização em um filtro de areia Para limpar um filtro de areia, ele é fluidizado à condições mínimas utilizando água a 24ºC. As partículas arredondadas de areia possuem densidade de 2550 kg/m3 e um tamanho médio de 0,40mm. A areai possui as seguintes propriedades: esfericidade de 0,86 e porosidade mínima de fluidização de 0,42. (a)O diâmetro do leito é 0,40m e a altura desejada do leito para as condições mínimas de fluidização é 1,75m. Calcule a quantidade de sólidos necessários (massa de areia). (b)Encontre a queda de pressão nessas condições, e a velocidade mínima de fluidização. (c)Utilizando 4 vezes a velocidade mínima de fluidização, estime a porosidade e altura do leito expandido. (a) 325,08kg (b) 15418Pa; 0,00096 m/s (b)  = 0,536; 2,16m Respostas: 45


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