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PublicouRafaela Basto Alterado mais de 9 anos atrás
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Graph Limits and Testing Hereditary Graph Properties Lovász, Szegedy 2006
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Propriedades Testáveis de Grafos Propriedade P hereditária: G satisfaz P todo subgrafo induzido de G satisfaz P Propriedade P testável: Existe outra propriedade P’ tal que, , k: G satisfaz P Com prob. 1- , G k induzido k vértices satisfaz P’ G -far(P) Com prob. 1- , G k induzido k vértices não satisfaz P’ Teorema 1 [Alon, Shapira, 2005]: Propriedade Hereditária Testável
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Parâmetros Testáveis de Grafos Invariante f(G) de grafos normalizado entre 0 e 1 f(G) testável: , k: grafo G k vértices: Com prob. 1- , G k induzido com k vértices satisfaz |f (G)-f (G k )| Distância entre grafos: Distância para uma propriedade: Teorema 2 [Alon, Shapira, 2005]: Distância para P hereditária é testável Prova alternativa
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Densidades de Subgrafos t(F,G): Probabilidade de um random map V(F) V(G) preservar adjacências t inj (F,G): injective t ind (F,G): e não-adjacências
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Sequências Convergentes de Grafos Sequência ( G n ) de grafos simples |V( G n )| ( G n ) convergente: (t (F,G n )) converge, para todo grafo F simples cauchy? métrica? Distância : generalização de d para pesos e conjunto diferente de vértices [Borgs, Chayes, et al, 2006]: ( G n ) convergente cauchy em Todo ( G n ) possui uma subsequência convergente Prova: 1. Elon Lages : Toda sequência limitada de reais possui subsequência convergente 2. Para todo ( G n ), todo conjunto finito de grafos F possui subsequência na qual (t( F, G n )) converge 3. Segue do Teorema da Compacidade
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Funções com 2 variáveis Intuição: grafo em [0,1], onde W(x,y) é a dens entre vizinhança infinitesimal de x e y Norma retangular: Densidade de Subgrafos:
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Relação, “Graphons” e Step-Functions [Lovász, Szegedy 2004]: ( G n ) convergente se e só se existe “objeto limite” tal que Obs: Todo é limite de uma ( G n ) convergente W -random graph G(n,W) sobre [n] : sorteia x 1,…x n : ij aresta com prob. W(x i,x j ) StepFunction:
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f(G) Testável f(G n ) Convergente [Borgs, Chayes, et al, 2006]: Parâmetro f(G) testável (G n ) convergente: f(G n ) converge Prova ( ) f testável , k: grafo G k vértices: |f (G)-f (G[V k ])| com prob. 1- , para V k aleat. com k vértices |f (G)-E(f (G[V k ]))| , para V k aleat. com k vértices (G n ) convergente F k com k vértices:
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Um Lema Auxiliar Lema 4: Prova: Suponha Z indicadora de um retângulo S x T Vale para Z step-function (combinação linear de funções indicadoras de retângulos) Vale para Z integrável (por definição, aproxima para step-functions em L 1 ([0,1] 2 ) )
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Graphons com a propriedade P hereditária Funções, tais que n, x 1,…,x n [0,1]: Se G sobre [ n ] satisfaz: U ( x i,x j ) =0 ij E( G ) U ( x i,x j )=1 ij E( G ) Então G satisfaz P Obs 1 : Alterando 0 < U ( x,y )< 1 gera U ’ que satisfaz o mesmo Obs 2 : Lema 5: é fechado em com respeito a norma Prova:
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Distância de um Graphon para P Distância para : Lema 6: P hereditária é função contínua na norma || || Prova:
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Distância de um Graphon para P Distância para : Lema 6: P hereditária é função contínua na norma || || Prova: Se não for convergente, tome uma subsequência convergente
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Grafos e Graphons com a Propriedade P Lema 7: Prova: Lema 8: Prova:
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Prova do Teorema 2 Tome (G n ) convergente: Prova-se que Se não for convergente, tome uma subsequência convergente
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FIM
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