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PublicouMarianne Rosario Alterado mais de 9 anos atrás
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A Combinatorial Characterization of the Testable Graph Properties: It’s All About Regularity Alon, Fischer, Newman, Shapira 2007
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Introdução Decision Problems: Distinguir entradas que satisfazem alguma propriedade P e entradas que não satisfazem Testing Problems: Distinguir entradas que satisfazem alguma propriedade P e entradas que estão longe de satisfazer Uma estrutura E é -far(P) se uma fração da representação de E deve ser modificada para que E satisfaça a propriedade P Exemplo: String x {0,1} n é -far(P) se n símbolos precisam ser mudados para x satisfazer P [Goldreich-Goldwasser-Ron 96]: Propriedades de grafos densos. Representação por Matriz de adjacência: n 2 Uma grafo G é -far(P) se é preciso adicionar ou remover pelo menos n 2 arestas para que G satisfaça a propriedade P
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Introdução Testador para P: Algoritmo aleatório T que realiza consultas do tipo “ (u,v) é uma aresta? ” e distingue, com alta probabilidade, se grafos satisfazem P ou são -far(P) G satisfaz P Prob [ T aceitar G ] > 2/3 G é -far(P) Prob [ T rejeitar G ] > 2/3 Definição: Uma propriedade P é Testável se existe um Testador para P, que realiza f( ) consultas nas arestas (independe da entrada). [Goldreich-Trevisan 99]: Toda propriedade Testável P possui um Testador canônico (não adaptativo): Conjunto aleatório Q com q( ) vértices, consulta todas arestas em G[Q], aceita (deterministicamente) se e só se G[Q] satisfaz certa propriedade P’ (não necessariamente P).
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Alguns Resultados [Rodl-Duke 86]: k-colorabilidade é testável Amostra aleatória S com polin(1/ ) vértices e verifica se é k-colorível [Goldreich-Goldwasser-Ron 96]: -CUT é testável (possui corte de tamanho n 2 ?) Amostra aleat. S com polin(1/ ) vértices e verifica se tem corte de tam. ( - )|S| 2 [Alon-Duke-Leffman-Rodl-Yuster 92]: Para todo grafo H fixo, a propriedade H-free é testável. [Goldreich-Goldwasser-Ron 96]: Todo “problema de partição” é testável (k-colorabilidade, max-clique, max-cut...)
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Caracterização [Goldreich-Goldwasser-Ron 96]: Quais propriedades são testáveis? Caracterização de propriedades testáveis de grafos (Testável se e só se ???) Fechada sob remoção de arestas? [Goldreich-Trevisan 01] Não Monótonas (remoção de vértices e arestas: k-colorabilidade) ? [Alon-Shapira 05] Toda prop. monótona é testável Hereditárias (remoção de vértices: grafos perfeitos) ? [Alon-Shapira 05] Toda prop. hereditária é testável Downscaling (hereditária downscaling) ? q( ): G -close(P), Q V(G) aleatório, |Q| q G[Q] é ( + )-close(P) com probabilidade 2/3 [Alon-Fischer-Newman-Shapira 07] Não Ferramenta principal: Lema da Regularidade de Szemerédi
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Pares Regulares Par (A,B) é –regular se todo par (A’,B’), A’ A, B’ B, onde |A’| |A| e |B’| |B| satisfaz d(A’,B’) = d(A,B) A d(A,B) = d B |A’| |A| |B’| |B| d(A’,B’) = d d(A,B) = e(A,B) / |A||B| Obs: 0 par -regular “próximo” de grafo bipartido aleatório
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Lema da Regularidade [Szemerédi 78]: Para todo k, , todo grafo pode ser particionado em k t LR(k, ) subconjuntos V 1,…,V t de tamanhos “ iguais ”, tais que todos, exceto t 2, pares (V i, V j ) são –regulares Todo grafo pode ser quebrado em um número constante( ) de partes, tais que quase-todos( ) os pares (V i,V j ) são pseudo- aleatórios( ) Todo grafo pode ser descrito aproximadamente( ) com complexidade constante( ) Em muitas aplicações: k = 1 /
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Lema da Regularidade - Aplicação Remover arestas: Dentro das partes Entre pares não -regulares Entre pares esparsos (densidade , por exemplo) Removendo n 2 arestas, obtemos um grafo onde todos os pares são vazios ou –regulares e “densos” Descrição aproximada( ) do grafo em termos de um número constante( ) de conjuntos e as densidades entre eles 0.3 0.15 0.2 0.07
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Lema da Regularidade - Aplicação Esboço: 0 : se ( V 1,V 2,V 3 ) formam pares ( 0 )-regular e “densos”, então contém “muitos” triângulos Intuição: A propriedade de um grafo ser livre de triângulo é testável. Estratégia geral: Seja G um grafo qualquer Suponha que G é -far(livre ’ s ) Lema da regularidade com min( 0, ) Remoção de n 2 arestas Algum sobrevive as remoções ( V 1,V 2,V 3 ) regulares e densos f( ) n 3 ’ s Sorteia 3 vértices: Prob. f( ) de ser Repete 1/f( ) vezes V1V1 V3V3 V2V2
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Instâncias de Regularidade Definição: Uma instância de regularidade consiste de 4 elementos: ordem k erro conjunto de densidades 0 ij 1, para todo 1 i < j k conjunto de pares não regulares (i,j) de tamanho Um grafo satisfaz essa instância de regularidade se ele possui uma partição V 1,…,V k de tamanhos “iguais” tal que, para todo (i,j) , o par (V i, V j ) é –regular e d(V i, V j ) = ij Lema da Regularidade: Para todo k, , todo grafo satisfaz alguma instância de regularidade de ordem k t LR(k, ), com erro
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Instâncias de Regularidade (testável) Um grafo é livre de triângulo se e só se todas as instâncias de regularidade que ele satisfaz são livres de triângulos Um grafo é k-colorível se e só se todas as instâncias de regularidade que ele satisfaz são k-coloríveis Porque não testar diretamente a propriedade de satisfazer alguma instância de regularidade? Teorema 1: Para toda instância de regularidade R, a propriedade de satisfazer R é testável. Se pudermos “expressar” a propriedade P em termos de instâncias de regularidade, então P é testável TODAS? Infinitas Discretizar
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Caracterização (Regular-Redutível) Definição: Uma propriedade P é regular-redutível se para todo >0 existe conjunto de r( ) instâncias de regularidade ( ) ={R 1,…,R r } : G satisfaz P G é –close( R i ), para algum R i G é –far(P) G é ( - )-far( R i ), para todo R i Teorema 2: Uma propriedade de grafos é testável se e só se é regular-redutível A propriedade de satisfazer uma instância de regularidade é a propriedade mais difícil de se testar
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algumas demonstrações 1.Discretização (mantém densidade, piora regularidade) 2.Discretização (mantém densidade, melhora regularidade) 3.Discretização (aplicação) 4.Contagem de subgrafos 5.Testável Regular-Redutível
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Discretização – Lema 3.2 Lema 3.2: (A,B) ( + )-regular (A,B) ( +2 )-regular d(A,B) = d(A,B) = |A| = |B| = m m 3.2 ( , ) 2 m 2 alterações nas arestas Prova: d(A,B) = +p, onde |p| . Suponha p > 0. (A’, B’) tamanho ( +2 )m d(A’, B’) = +p ( + ) Remove pm 2 arestas + p – – – (pm 2 / |A’||B’|) d 1 (A’, B’) +p+ + Se p ( +2 ) 2 – – – ( ) d 1 (A’, B’) + +2 d 1 (A’, B’) = ( +2 ) Lema Ok
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Discretização – Lema 3.2 Lema 3.2: (A,B) ( + )-regular (A,B) ( +2 )-regular d(A,B) = d(A,B) = |A| = |B| = m m 3.2 ( , ) 2 m 2 alterações nas arestas Prova: d(A,B) = +p, onde |p| . Suponha p > ( +2 ) 2 (Passo 1) Remove com prob. p/( +p) cada aresta entre A e B. Número esperado de remoções: p/( +p) d(A,B)m 2 = pm 2 m 2 Valor esperado para d(A,B): d 1 (A,B) = Desigualdade de Chernoff: Prob [ |X-E(X)| n ] 2exp{-2 2 n}, onde X é a soma de n variáveis 0–1 aleatórias n grande erro pequeno n é o número de arestas entre A e B ( +p)m 2 > ( +2 ) 2 m 2 Tomando m m 3.2 ( , ) Prob [d 1 (A,B) = m -0.5 ] 3/4 Prob [N remoções 1.5 m 2 ] 3/4
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Discretização – Lema 3.2 Lema 3.2: (A,B) ( + )-regular (A,B) ( +2 )-regular d(A,B) = d(A,B) = |A| = |B| = m m 3.2 ( , ) 2 m 2 alterações nas arestas Prova: d(A,B) = +p, onde |p| . Suponha p > ( +2 ) 2 (Passo 1) Remove com prob. p/( +p) cada aresta entre A e B. (Passo 2) Remove ou Adiciona m -0.5 m 2 = m 1.5 arestas d 2 (A,B) = (prob. 3/4) Alterações nas arestas: m 1.5 + 1.5 m 2 2 m 2 (A’, B’) tamanho ( +2 )m d(A’, B’) = +p ( + ) Após passo 1: E [ d 1 (A’, B’) ] = ( +p ( + )) (1 – p/( +p)) = ( + ) Prova-se: d 1 (A’, B’) desvia /2 com prob. 3/4, (A’,B’) Como d 2 (A’, B’) muda m 1.5 /( +2 ) 2 m 2 /2 para m m 3.2 ( , ) Logo (A,B) é ( +2 )-regular com prob. 1/2 Prob [d 1 (A,B) = m -0.5 ] 3/4 Prob [N remoções 1.5 m 2 ] 3/4 Ok
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Discretização – Lema 3.2 Lema 3.2: (A,B) ( + )-regular (A,B) ( +2 )-regular d(A,B) = d(A,B) = |A| = |B| = m m 3.2 ( , ) 2 m 2 alterações nas arestas Prova: d(A,B) = +p, onde |p| . Suponha p > ( +2 ) 2 Se p < 0: (Passo 1) Adiciona (ao invés de remover) com prob. p/(1- +p) … Ok (Passo 1) Remove com prob. p/( +p) cada aresta entre A e B. Provar: d 1 (A’, B’) desvia /2 ? SE d(A’, B’) /2 d 1 (A’, B’) muda /2 Ok SE d(A’, B’) > /2 > ( /2) ( +2 ) 2 m 2 arestas em (A’, B’) Chernoff d 1 (A’, B’) desvia > /2 com prob. ≤ 2 exp{ – 2( /2) 2 ( /2) ( +2 ) 2 m 2 } Menos de 2 m 2 m possíveis pares (A’, B’) + m m 3.2 ( , ) d 1 (A’, B’) desvia /2 com prob. 3/4, (A’,B’) Ok Ok
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Discretização – Lema 3.3 Lema 3.3: (A,B) ( + )-regular ( m) (A,B) -regular d(A,B) = d(A,B) = |A| = |B| = m m 3.3 ( , ) (3 / )m 2 alterações nas arestas Prova: (Passo 1) Selecionar com prob. p = 2 /( + ) os pares de vértices que serão alterados (Passo 2) Entre esses, “ligar” com prob. , senão, “desligar” N alterações N pares selecionados = Bi(m 2, 2 /( + )) Chernoff N alterações desvia > ( /2)m 2 com prob. 2 exp{–2( /2) 2 m 2 } m m 3.3 ( , ) pm 2 + ( /2)m 2 (2.5 / )m 2 alterações com prob. 5/6 Ok E[ e 1 (A, B) ] = (1– )m 2 [p ] + m 2 [1– p + p ] = m 2 Chernoff e 1 (A, B) desvia m 1.5 prob. 5/6, para m m 3.3 ( , ) d 1 (A, B) = m -0.5 prob. 5/6 Remove ou Adiciona m -0.5 m 2 = m 1.5 arestas Ok
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Discretização – Lema 3.3 Lema 3.3: (A,B) ( + )-regular ( m) (A,B) -regular d(A,B) = d(A,B) = Ok |A| = |B| = m m 3.3 ( , ) (3 / )m 2 alterações nas arestas Ok Prova: (Passo 1) Selecionar com prob. p = 2 /( + ) os pares de vértices que serão alterados (Passo 2) Entre esses, “ligar” com prob. , senão, “desligar” (Passo 3) Remove ou Adiciona m -0.5 m 2 = m 1.5 arestas (A’, B’) tamanho m Seja d’ = d(A’, B’) = ( + ) E[ e 1 (A’,B’) ] = (1– d’)|A’||B’| [p ] + d’|A’||B’| [1– p + p ] = |A’||B’| [p ] + ( ( + )) |A’||B’| [1– p] = [ + – p( + )] |A’||B’| = [ ( – )] |A’||B’| Chernoff e 1 (A’, B’) desvia ≥ ( /2) |A’||B’| prob. 2exp{-2( /2) 2 ( m) 2 } m m 3.3 ( , ) + 2 m 2 m (A’,B’) d 1 (A’, B’) = ( - /2) (A’,B’) prob. 5/6 m m 3.3 ( , ) m 1.5 / ( m) 2 /2 d 1 (A’, B’) = Ok Ok
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Discretização – Final Lema 3.1: (A,B) ( + )-regular (A,B) -regular d(A,B) = d(A,B) = |A| = |B| = m m 3.1 ( , ) (50 / 2 )m 2 alterações nas arestas Prova: Lema 3.2 (A,B) ( +2 )-regular, d(A,B) = , (2 )m 2 alterações (A’, B’) tamanho m d(A’, B’) = [ ( +2 )] ( +2 ) 2 m 2 / ( m) 2 d(A’, B’) = [ ( +2 )] (1+2 / ) 2 d(A’, B’) = ( +14 / ) (A,B) é ( +14 / )-regular ( m) Lema 3.3 (A,B) -regular, d(A,B)= , [(2.5)(14 / )/ ]m 2 = (42 / 2 )m 2 alterações
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Discretização – Aplicação Lema 3.5: Seja R uma instância de regularidade de ordem k, erro , densidades ij e conjunto de pares não regulares. Se um grafo G possui uma partição V 1,…,V k de tamanhos “iguais” tal que: 1. d(V i, V j ) = ij 2 /50, i<j 2. (V i, V j ) é ( + 2 /50)–regular, (i,j) Então G é –close(R) Lema da Regularidade: Para todo k, , todo grafo satisfaz alguma instância de regularidade de ordem k t LR(k, ), com erro Tome todas as instâncias de regularidade com erro , ordem k t LR(k, ) e densidades ij em {0, , 2 , 3 ,…,1}, para = 2 /50. Todo grafo é –close de algumas delas
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Contagem de Subgrafos Induzidos Instância de regularidade R h : ordem h, erro , densidades ij e conjunto. Grafo G: Satisfaz R h com partição (V 1,…,V h ), tamanhos m Grafo H com h vértices Permutação :[h] [h] IC(H,G, ): número de cópias induzidas de H em G, segundo Lema 4.4: : = 4.4 ( ,h): IC(H,G, ) = (ICd(H,R h, ) ) m h IC 1 (H,G): número de cópias induzidas de H em G com 1 vértice em cada V i Lema 4.6: : = 4.6 ( ,h): IC 1 (H,G) = (ICd(H,R h ) ) m h V1V1 V2V2 V3V3 VhVh … Grafo G Grafo H
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Contagem de Subgrafos Induzidos Instância de regularidade R k : ordem k, erro , densidades ij e conjunto Grafo G: Satisfaz R k com n vértices Grafo H com h k vértices IC(H,G): número de cópias induzidas de H em G Lema 4.8: , q: = 4.8 ( ,q), k = k 4.8 ( ,q): h q: Idéia: Sorteia h vértices 2 vértices no mesmo conjunto: Par de vértices em par não regular: V1V1 V2V2 V3V3 V k-2 V k-1 VkVk … Depois Aplica Lema 4.6 com / 3
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Testável Regular Redutível Lema 4.1: Toda propriedade testável de grafos é regular-redutível Prova: Fixe < 0.1 e n. testador canônico T para P, complexidade q = q( ) G n satisfaz P Prob [ T aceitar G n ] > 2/3 G n é -far(P) Prob [ T rejeitar G n ] > 2/3 Seja A := { grafos H q tais que T aceita H q } Lema 4.8, H q A, com q e A = k = k 4.8 ( A, q), = 4.8 ( A, q) Se G satisfaz uma instância de regularidade R k, Lema da regularidade para k, LR (k, ) Seja I := Todas as Instâncias de regularidade de ordem k t LR(k, ), erro e densidades ij em {0, 2 /50q 2, 2 2 /50q 2, 3 2 /50q 2,..., 1} Instâncias usadas na redução:
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Testável Regular Redutível Lema 4.1: Toda propriedade testável de grafos é regular-redutível Prova:. ordem k t LR(k, ), erro ij {0, 2 /50q 2, 2 2 /50q 2,..., 1} Se G satisfaz P T aceita G prob. 2/3 q-conjuntos de G induzem H A Regularidade G satisfaz instância de regularidade de ordem k t LR(k, ), erro Lema 3.4 G é / q 2 -close(R), para R I Remove/Adiciona ≤( /q 2 ) n 2 arestas de G Remove H A G possuirá H A R Se G é –far(P), > : Suponha G ( - )-close(R), para algum R G é ( - )-close(G * ), onde q-conjuntos de G * induzem H A T aceita G * com prob. 1/3+ G * não é –far(P), senão T rejeitaria com prob. 2/3 G não é –far(P) Contradição
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algumas aplicações 1.Livre de Triângulo é Testável 2.k-colorabilidade é Testável 3.Isomorfismo NÃO é testável
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Livre de Triângulo é Testável Provar que Livre de Triângulo (LT) é Regular-Redutível Fixe e = min{ , 4.6 ( ,3)} : instâncias de regularidade R com erro , ordem 1/ t LR( 1/ , ): densidades ij {0, , 2 , 3 ,..., 1}, para = 2 / 100 não existe V i, V j, V k com densidades ij, ik, jk, todas positivas Se G é –far(LT), > : Suponha G ( - )-close(R), para algum R G satisfaz R com ( - )n 2 modificações nas arestas Remove as arestas internas G está Livre de Triângulo (LT) com n 2 modificações. Contradição Suponha que G é Livre de Triângulo (LT) LReg: G satisfaz instância de regularidade com erro e ordem 1/ t LR( 1/ , ) Lema 4.6: não existe V i, V j, V k com densidades todas (senão teria muitos s) Remove as arestas dos pares com densidade < ( /2)n 2 remoções Lema 3.5: ij {0, , 2 ,...,1}, para = 2 / 100 G * é ( /2)-close( ) G é ( )-close( )
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k-colorabilidade é Testável Provar que k-colorabilidade (kCor) é Regular-Redutível. Fixe : instâncias de regularidade R com erro , ordem 1/ t LR( 2k/ , ): densidades ij {0, , 2 , 3 ,..., 1}, para = 3 / 100 O grafo reduzido T(R) de R é k-colorível: (i,j) é aresta ij > 0 Se G é –far(kCor), > : Suponha G ( - )-close(R), para algum R G satisfaz R com ( - )n 2 modificações nas arestas Remove as arestas internas G está k-colorível (kCor) com n 2 modificações. Contradição Suponha que G é k-colorível (kCor) Tome uma k-coloração V 1,…,V k de G Quebre V i em U ij ’s de tam ( /2k)n “resto” vai p/ conjunto Lixo de tam ( /2)n LReg: G satisfaz instância de regularidade R com erro e ordem 1/ t LR(2k/ , ), que “refina” a partição dos U ij ’s (ou seja, também não tem arestas internas) Remove arestas do Lixo ( /2)n 2 remoções T(R * ) é k-colorível Lema 3.5: ij {0, , 2 ,...,1}, para = 3 / 100 G * é ( /2)-close( ) G é ( )-close( )
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Isomorfismo NÃO é Testável Caso particular: Propriedade P J := Isomorfismo p/ grafo J G(n,0.5) Provar que P J não é testável, com prob. 1-o(1) Chernoff: subgrafo bipartido o(n) vértices tem densidade 0.5, com prob. 1-o(1) Suponha que J satisfaz essa propriedade e P J é regular-redutível Tome suf. pequeno e seja ( ) o conjunto de instâncias de regularidade Tome G isomórfico a J G é -close(R), para R com ordem k e densidades ij 0.5 Seja B um grafo aleatório k-partido V 1,…,V k, tamanhos n/k, onde d(V i,V j )= ij B é -close(R) com prob. 1-o(1) ij 0.5 B é –far(P J ), para algum >2 fixo, com prob. 1-o(1) Como P J é regular-redutível, B deveria ser ( - > )-far(R) Contradição P J não é regular-redutível P J não é testável
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outras demonstrações 1.Amostras em Partições Regulares 2.Satisfazer Instância de Regularidade é Testável 3.Regular Redutível Testável
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Amostras em Partições Regulares Grafo G, Amostra Q com O(1) vértices Com alta prob., G e G [Q] satisfazem as mesmas instâncias de regularidade Lema 5.2: k, : q=q 5.2 (k, ) : Grafo G e amostra Q com q vértices: com probabilidade 2/3 Se G satisfaz instância de regularidade R de ordem k, então, G[Q] satisfaz instância de regularidade R Q de ordem k igual, –similar a R E vice-versa ij Q = ij (V i,V j ) -regular (V i Q,V j Q ) ( + )-regular
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Instâncias de Regularidade (testável) Teorema 1: Para toda instância de regularidade R, a propriedade de satisfazer R é testável. Prova: Grafo G + Instância R (ordem k, erro , densidades ij ) Algoritmo toma amostra Q com q vértices, q=q( ,,k, ) suf. grande (independe de G), e aceita se e só se G[Q] é ( 4 /200k 2 )-close(R) Se G satisfaz R: Lema 5.2 com q > q 5.2 (k, 6 /10 4 k 2 ), com prob. 2/3 G[Q] satisfaz R Q com densidades ij 6 /10 4 k 2 e erro + 6 /10 4 k 2 Lema 3.4 G[Q] é ( 4 /200k 2 )-close(R) OK Se G é –far(R) : Suponha G[Q] ( 4 /200k 2 )-close(R) ( 4 /200k 2 )q 2 modificações G[Q] * satisfaz R com uma equipartição (U 1,…,U k ): U i ’ U i, U j ’ U j, |U i ’| |U i |, |U j ’| |U j | d * (U i, U j ) = ij d * (U i ’,U j ’) = ij Lema 5.2 com q > q 5.2 (k, 4 /200k 2 ), com prob. 2/3 G satisfaz inst.reg. com densidades [ ij ( 4 /200)] 4 /200k 2 e pares (V i, V j ) ( + 2 /100 + 4 /200k 2 )-regular Lema 3.5: G é –close(R) Contradição G[Q] ( 4 /200k 2 )-far(R) OK d(U i, U j ) = ij ( 4 /200) d(U i ’,U j ’) = ij ( + 2 /200) (U i,U j ) em G[Q] é origin. ( + 2 /100)-regular ij ( 2 /50) ( + 2 /50)-regular Testa tudo em O(1)
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Regular Redutível Testável Fixe e uma propriedade P regular-redutível Tome = /4 e ( ) o conjunto de r=r( ) instâncias de regularidade para = /4 Teorema 1 R , “satisfazer R” é testável [FN05] R , Alg 1 que distingue grafos ( /4)-close(R) e (3 /4)-far(R), com probab. 2/3, realizando q( ) consultas Repete Alg 1 várias vezes Alg 2 com prob. 1-1/3r escolhendo a resposta mais dada Testador Alg 3 para P: Roda Alg 2 R Alg 3 aceita, se Alg 2 aceita para algum R. Caso contrário, Alg 3 rejeita. P regular-redutível: Tome = /4 e ( ) Se G satisfaz P RR G é ( = /4)-close(R), para algum R Alg 3 aceita com prob. 2/3 Se G é -far(P) RR G é ( - = 3 /4)-far(R), para todo R Alg 3 rejeita com prob. 2/3 Fischer, Newman [FN05] (Testável Estimável): 1 < 2 Algoritmo aleatório que distingue grafos que são 1 -close(P) e 2 -far(P), realizando q( 1, 2 ) consultas, com probabilidade 2/3 Erro de Alg 3 : r (1/3r) = 1/3 Alg 3 é mesmo um Testador para P ?
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FIM
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