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A Combinatorial Characterization of the Testable Graph Properties: It’s All About Regularity Alon, Fischer, Newman, Shapira 2007.

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1 A Combinatorial Characterization of the Testable Graph Properties: It’s All About Regularity Alon, Fischer, Newman, Shapira 2007

2 Introdução Decision Problems: Distinguir entradas que satisfazem alguma propriedade P e entradas que não satisfazem Testing Problems: Distinguir entradas que satisfazem alguma propriedade P e entradas que estão longe de satisfazer Uma estrutura E é  -far(P) se uma fração  da representação de E deve ser modificada para que E satisfaça a propriedade P Exemplo: String x  {0,1} n é  -far(P) se   n símbolos precisam ser mudados para x satisfazer P [Goldreich-Goldwasser-Ron 96]: Propriedades de grafos densos. Representação por Matriz de adjacência: n 2 Uma grafo G é  -far(P) se é preciso adicionar ou remover pelo menos  n 2 arestas para que G satisfaça a propriedade P

3 Introdução Testador para P: Algoritmo aleatório T que realiza consultas do tipo “ (u,v) é uma aresta? ” e distingue, com alta probabilidade, se grafos satisfazem P ou são  -far(P)  G satisfaz P  Prob [ T aceitar G ] > 2/3  G é  -far(P)  Prob [ T rejeitar G ] > 2/3 Definição: Uma propriedade P é Testável se existe um Testador para P, que realiza f(  ) consultas nas arestas (independe da entrada). [Goldreich-Trevisan 99]: Toda propriedade Testável P possui um Testador canônico (não adaptativo): Conjunto aleatório Q com q(  ) vértices, consulta todas arestas em G[Q], aceita (deterministicamente) se e só se G[Q] satisfaz certa propriedade P’ (não necessariamente P).

4 Alguns Resultados [Rodl-Duke 86]: k-colorabilidade é testável Amostra aleatória S com polin(1/  ) vértices e verifica se é k-colorível [Goldreich-Goldwasser-Ron 96]:  -CUT é testável (possui corte de tamanho   n 2 ?) Amostra aleat. S com polin(1/  ) vértices e verifica se tem corte de tam. (  -  )|S| 2 [Alon-Duke-Leffman-Rodl-Yuster 92]: Para todo grafo H fixo, a propriedade H-free é testável. [Goldreich-Goldwasser-Ron 96]: Todo “problema de partição” é testável (k-colorabilidade, max-clique, max-cut...)

5 Caracterização [Goldreich-Goldwasser-Ron 96]: Quais propriedades são testáveis? Caracterização de propriedades testáveis de grafos (Testável se e só se ???) Fechada sob remoção de arestas?  [Goldreich-Trevisan 01] Não  Monótonas (remoção de vértices e arestas: k-colorabilidade) ?  [Alon-Shapira 05] Toda prop. monótona é testável  Hereditárias (remoção de vértices: grafos perfeitos) ?  [Alon-Shapira 05] Toda prop. hereditária é testável  Downscaling (hereditária  downscaling) ?    q(  ): G  -close(P), Q  V(G) aleatório, |Q|  q  G[Q] é (  +  )-close(P) com probabilidade 2/3  [Alon-Fischer-Newman-Shapira 07] Não Ferramenta principal: Lema da Regularidade de Szemerédi

6 Pares Regulares Par (A,B) é  –regular se todo par (A’,B’), A’  A, B’  B, onde |A’|   |A| e |B’|   |B| satisfaz d(A’,B’) = d(A,B)   A d(A,B) = d B |A’|   |A| |B’|   |B| d(A’,B’) = d   d(A,B) = e(A,B) / |A||B| Obs:  0  par  -regular “próximo” de grafo bipartido aleatório

7 Lema da Regularidade [Szemerédi 78]: Para todo k, , todo grafo pode ser particionado em k  t  LR(k,  ) subconjuntos V 1,…,V t de tamanhos “ iguais ”, tais que todos, exceto  t 2, pares (V i, V j ) são  –regulares  Todo grafo pode ser quebrado em um número constante(  ) de partes, tais que quase-todos(  ) os pares (V i,V j ) são pseudo- aleatórios(  )  Todo grafo pode ser descrito aproximadamente(  ) com complexidade constante(  )  Em muitas aplicações: k = 1 / 

8 Lema da Regularidade - Aplicação Remover arestas:  Dentro das partes  Entre pares não  -regulares  Entre pares esparsos (densidade  , por exemplo) Removendo  n 2 arestas, obtemos um grafo onde todos os pares são vazios ou  –regulares e “densos” Descrição aproximada(  ) do grafo em termos de um número constante(  ) de conjuntos e as densidades entre eles

9 Lema da Regularidade - Aplicação Esboço:   0 : se ( V 1,V 2,V 3 ) formam pares (    0 )-regular e “densos”, então contém “muitos” triângulos Intuição: A propriedade de um grafo ser livre de triângulo é testável. Estratégia geral: Seja G um grafo qualquer Suponha que G é  -far(livre  ’ s ) Lema da regularidade com   min(  0,  ) Remoção de   n 2 arestas Algum  sobrevive as remoções ( V 1,V 2,V 3 ) regulares e densos   f(  ) n 3  ’ s Sorteia 3 vértices: Prob. f(  ) de ser  Repete 1/f(  ) vezes V1V1 V3V3 V2V2

10 Instâncias de Regularidade Definição: Uma instância de regularidade consiste de 4 elementos:  ordem k  erro   conjunto de densidades 0   ij  1, para todo 1  i < j  k  conjunto de pares não regulares (i,j) de tamanho Um grafo satisfaz essa instância de regularidade se ele possui uma partição V 1,…,V k de tamanhos “iguais” tal que, para todo (i,j) , o par (V i, V j ) é  –regular e d(V i, V j ) =  ij Lema da Regularidade: Para todo k, , todo grafo satisfaz alguma instância de regularidade de ordem k  t  LR(k,  ), com erro 

11 Instâncias de Regularidade (testável)  Um grafo é livre de triângulo se e só se todas as instâncias de regularidade que ele satisfaz são livres de triângulos  Um grafo é k-colorível se e só se todas as instâncias de regularidade que ele satisfaz são k-coloríveis Porque não testar diretamente a propriedade de satisfazer alguma instância de regularidade? Teorema 1: Para toda instância de regularidade R, a propriedade de satisfazer R é testável.  Se pudermos “expressar” a propriedade P em termos de instâncias de regularidade, então P é testável TODAS? Infinitas Discretizar

12 Caracterização (Regular-Redutível) Definição: Uma propriedade P é regular-redutível se para todo  >0 existe conjunto de r(  ) instâncias de regularidade  (  ) ={R 1,…,R r } :  G satisfaz P  G é  –close( R i ), para algum R i    G é  –far(P)  G é (  -  )-far( R i ), para todo R i   Teorema 2: Uma propriedade de grafos é testável se e só se é regular-redutível  A propriedade de satisfazer uma instância de regularidade é a propriedade mais difícil de se testar

13 algumas demonstrações 1.Discretização (mantém densidade, piora regularidade) 2.Discretização (mantém densidade, melhora regularidade) 3.Discretização (aplicação) 4.Contagem de subgrafos 5.Testável  Regular-Redutível

14 Discretização – Lema 3.2 Lema 3.2:     (A,B) (  +  )-regular  (A,B) (  +2  )-regular d(A,B) =   d(A,B) =  |A| = |B| = m  m 3.2 ( ,  )   2  m 2 alterações nas arestas Prova: d(A,B) =  +p, onde |p|  . Suponha p > 0. (A’, B’) tamanho (  +2  )m  d(A’, B’) =  +p  (  +  ) Remove pm 2 arestas   + p –  –  – (pm 2 / |A’||B’|)  d 1 (A’, B’)   +p+  +  Se p   (  +2  ) 2   –  –  – (  )  d 1 (A’, B’)   +  +2   d 1 (A’, B’) =   (  +2  ) Lema Ok

15 Discretização – Lema 3.2 Lema 3.2:     (A,B) (  +  )-regular  (A,B) (  +2  )-regular d(A,B) =   d(A,B) =  |A| = |B| = m  m 3.2 ( ,  )   2  m 2 alterações nas arestas Prova: d(A,B) =  +p, onde |p|  . Suponha p >  (  +2  ) 2 (Passo 1) Remove com prob. p/(  +p) cada aresta entre A e B. Número esperado de remoções: p/(  +p) d(A,B)m 2 = pm 2   m 2 Valor esperado para d(A,B): d 1 (A,B) =  Desigualdade de Chernoff: Prob [ |X-E(X)|   n ]  2exp{-2  2 n}, onde X é a soma de n variáveis 0–1 aleatórias n grande  erro pequeno n é o número de arestas entre A e B  (  +p)m 2 >  (  +2  ) 2 m 2 Tomando m  m 3.2 ( ,  ) Prob [d 1 (A,B) =   m -0.5 ]  3/4 Prob [N  remoções  1.5  m 2 ]  3/4

16 Discretização – Lema 3.2 Lema 3.2:     (A,B) (  +  )-regular  (A,B) (  +2  )-regular d(A,B) =   d(A,B) =  |A| = |B| = m  m 3.2 ( ,  )   2  m 2 alterações nas arestas Prova: d(A,B) =  +p, onde |p|  . Suponha p >  (  +2  ) 2 (Passo 1) Remove com prob. p/(  +p) cada aresta entre A e B. (Passo 2) Remove ou Adiciona  m -0.5 m 2 = m 1.5 arestas  d 2 (A,B) =  (prob. 3/4) Alterações nas arestas:  m  m 2  2  m 2 (A’, B’) tamanho (  +2  )m  d(A’, B’) =  +p  (  +  ) Após passo 1: E [ d 1 (A’, B’) ] = (  +p  (  +  )) (1 – p/(  +p)) =   (  +  ) Prova-se: d 1 (A’, B’) desvia   /2 com prob. 3/4,  (A’,B’) Como d 2 (A’, B’) muda  m 1.5 /(  +2  ) 2 m 2   /2 para m  m 3.2 ( ,  ) Logo (A,B) é (  +2  )-regular com prob. 1/2 Prob [d 1 (A,B) =   m -0.5 ]  3/4 Prob [N  remoções  1.5  m 2 ]  3/4 Ok

17 Discretização – Lema 3.2 Lema 3.2:     (A,B) (  +  )-regular  (A,B) (  +2  )-regular d(A,B) =   d(A,B) =  |A| = |B| = m  m 3.2 ( ,  )   2  m 2 alterações nas arestas Prova: d(A,B) =  +p, onde |p|  . Suponha p >  (  +2  ) 2 Se p < 0: (Passo 1) Adiciona (ao invés de remover) com prob. p/(1-  +p) … Ok (Passo 1) Remove com prob. p/(  +p) cada aresta entre A e B. Provar: d 1 (A’, B’) desvia   /2 ? SE d(A’, B’)   /2  d 1 (A’, B’) muda   /2 Ok SE d(A’, B’) >  /2  > (  /2) (  +2  ) 2 m 2 arestas em (A’, B’) Chernoff  d 1 (A’, B’) desvia >  /2 com prob. ≤ 2 exp{ – 2(  /2) 2 (  /2) (  +2  ) 2 m 2 } Menos de 2 m 2 m possíveis pares (A’, B’) + m  m 3.2 ( ,  )  d 1 (A’, B’) desvia   /2 com prob. 3/4,  (A’,B’) Ok Ok

18 Discretização – Lema 3.3 Lema 3.3:     (A,B) (  +  )-regular (  m)  (A,B)  -regular d(A,B) =   d(A,B) =  |A| = |B| = m  m 3.3 ( ,  )   (3  /  )m 2 alterações nas arestas Prova: (Passo 1) Selecionar com prob. p = 2  /(  +  ) os pares de vértices que serão alterados (Passo 2) Entre esses, “ligar” com prob. , senão, “desligar” N  alterações  N  pares selecionados = Bi(m 2, 2  /(  +  )) Chernoff  N  alterações desvia > (  /2)m 2 com prob. 2 exp{–2(  /2) 2 m 2 } m  m 3.3 ( ,  )   pm 2 + (  /2)m 2  (2.5  /  )m 2 alterações com prob. 5/6 Ok E[ e 1 (A, B) ] = (1–  )m 2 [p  ] +  m 2 [1– p + p  ] =  m 2 Chernoff  e 1 (A, B) desvia  m 1.5 prob. 5/6, para m  m 3.3 ( ,  )  d 1 (A, B) =   m -0.5 prob. 5/6  Remove ou Adiciona  m -0.5 m 2 = m 1.5 arestas Ok

19 Discretização – Lema 3.3 Lema 3.3:     (A,B) (  +  )-regular (  m)  (A,B)  -regular d(A,B) =   d(A,B) =  Ok |A| = |B| = m  m 3.3 ( ,  )   (3  /  )m 2 alterações nas arestas Ok Prova: (Passo 1) Selecionar com prob. p = 2  /(  +  ) os pares de vértices que serão alterados (Passo 2) Entre esses, “ligar” com prob. , senão, “desligar” (Passo 3) Remove ou Adiciona  m -0.5 m 2 = m 1.5 arestas (A’, B’) tamanho  m  Seja d’ = d(A’, B’) =   (  +  ) E[ e 1 (A’,B’) ] = (1– d’)|A’||B’| [p  ] + d’|A’||B’| [1– p + p  ] = |A’||B’| [p  ] + (   (  +  )) |A’||B’| [1– p] = [    +  – p(  +  )] |A’||B’| = [   (  –  )] |A’||B’| Chernoff  e 1 (A’, B’) desvia ≥ (  /2) |A’||B’| prob. 2exp{-2(  /2) 2 (  m) 2 } m  m 3.3 ( ,  ) +  2 m 2 m (A’,B’)  d 1 (A’, B’) =   (  -  /2)  (A’,B’) prob. 5/6 m  m 3.3 ( ,  )  m 1.5 / (  m) 2   /2  d 1 (A’, B’) =    Ok Ok

20 Discretização – Final Lema 3.1:     (A,B) (  +  )-regular  (A,B)  -regular d(A,B) =   d(A,B) =  |A| = |B| = m  m 3.1 ( ,  )   (50  /  2 )m 2 alterações nas arestas Prova: Lema 3.2  (A,B) (  +2  )-regular, d(A,B) = , (2  )m 2 alterações (A’, B’) tamanho  m  d(A’, B’) = [   (  +2  )] (  +2  ) 2 m 2 / (  m) 2  d(A’, B’) = [   (  +2  )] (1+2  /  ) 2  d(A’, B’) =   (  +14  /  )  (A,B) é (  +14  /  )-regular (  m) Lema 3.3  (A,B)  -regular, d(A,B)= , [(2.5)(14  /  )/  ]m 2 = (42  /  2 )m 2 alterações

21 Discretização – Aplicação Lema 3.5: Seja R uma instância de regularidade de ordem k, erro , densidades  ij e conjunto de pares não regulares. Se um grafo G possui uma partição V 1,…,V k de tamanhos “iguais” tal que: 1. d(V i, V j ) =  ij   2  /50,  i

22 Contagem de Subgrafos Induzidos Instância de regularidade R h : ordem h, erro , densidades  ij e conjunto. Grafo G: Satisfaz R h com partição (V 1,…,V h ), tamanhos m Grafo H com h vértices Permutação  :[h]  [h] IC(H,G,  ): número de cópias induzidas de H em G, segundo  Lema 4.4:  :   =  4.4 ( ,h): IC(H,G,  ) = (ICd(H,R h,  )   ) m h IC 1 (H,G): número de cópias induzidas de H em G com 1 vértice em cada V i Lema 4.6:  :   =  4.6 ( ,h): IC 1 (H,G) = (ICd(H,R h )   ) m h V1V1 V2V2 V3V3 VhVh … Grafo G Grafo H

23 Contagem de Subgrafos Induzidos Instância de regularidade R k : ordem k, erro , densidades  ij e conjunto Grafo G: Satisfaz R k com n vértices Grafo H com h  k vértices IC(H,G): número de cópias induzidas de H em G Lema 4.8: , q:   =  4.8 ( ,q), k = k 4.8 ( ,q):  h  q: Idéia: Sorteia h vértices  2 vértices no mesmo conjunto:  Par de vértices em par não regular: V1V1 V2V2 V3V3 V k-2 V k-1 VkVk … Depois Aplica Lema 4.6 com  / 3

24 Testável  Regular Redutível Lema 4.1: Toda propriedade testável de grafos é regular-redutível Prova: Fixe  < 0.1 e n.   testador canônico T para P, complexidade q = q(  )  G n satisfaz P  Prob [ T aceitar G n ] > 2/3  G n é  -far(P)  Prob [ T rejeitar G n ] > 2/3 Seja A := { grafos H q tais que T aceita H q } Lema 4.8,  H q  A, com q e  A =  k = k 4.8 (  A, q),  =  4.8 (  A, q) Se G satisfaz uma instância de regularidade R k,   Lema da regularidade para k,   LR (k,  ) Seja I := Todas as Instâncias de regularidade de ordem k  t  LR(k,  ), erro  e densidades  ij em {0,   2 /50q 2, 2   2 /50q 2, 3   2 /50q 2,..., 1} Instâncias usadas na redução:

25 Testável  Regular Redutível Lema 4.1: Toda propriedade testável de grafos é regular-redutível Prova:. ordem k  t  LR(k,  ), erro   ij  {0,   2 /50q 2, 2   2 /50q 2,..., 1} Se G satisfaz P  T aceita G prob. 2/3  q-conjuntos de G induzem H  A Regularidade  G satisfaz instância de regularidade de ordem k  t  LR(k,  ), erro  Lema 3.4  G é  / q 2 -close(R), para R  I Remove/Adiciona ≤(  /q 2 ) n 2 arestas de G  Remove H  A  G possuirá H  A  R   Se G é  –far(P),  >  : Suponha G (  -  )-close(R), para algum R    G é (  -  )-close(G * ), onde q-conjuntos de G * induzem H  A  T aceita G * com prob. 1/3+   G * não é  –far(P), senão T rejeitaria com prob. 2/3  G não é  –far(P) Contradição

26 algumas aplicações 1.Livre de Triângulo é Testável 2.k-colorabilidade é Testável 3.Isomorfismo NÃO é testável

27 Livre de Triângulo é Testável Provar que Livre de Triângulo (LT) é Regular-Redutível Fixe  e  = min{ ,  4.6 ( ,3)}  : instâncias de regularidade R com erro , ordem 1/   t  LR( 1/ ,  ):  densidades  ij  {0, , 2 , 3 ,..., 1}, para  =  2  / 100  não existe V i, V j, V k com densidades  ij,  ik,  jk, todas positivas Se G é  –far(LT),  >  : Suponha G (  -  )-close(R), para algum R   G satisfaz R com  (  -  )n 2 modificações nas arestas Remove as arestas internas G está Livre de Triângulo (LT) com   n 2 modificações. Contradição Suponha que G é Livre de Triângulo (LT) LReg: G satisfaz instância de regularidade com erro  e ordem 1/   t  LR( 1/ ,  ) Lema 4.6: não existe V i, V j, V k com densidades todas   (senão teria muitos  s) Remove as arestas dos pares com densidade <    (  /2)n 2 remoções Lema 3.5:  ij  {0, , 2 ,...,1}, para  =  2  / 100  G * é (  /2)-close(  )  G é (  )-close(  )

28 k-colorabilidade é Testável Provar que k-colorabilidade (kCor) é Regular-Redutível. Fixe   : instâncias de regularidade R com erro , ordem 1/   t  LR( 2k/ ,  ):  densidades  ij  {0, , 2 , 3 ,..., 1}, para  =  3 / 100  O grafo reduzido T(R) de R é k-colorível: (i,j) é aresta   ij > 0 Se G é  –far(kCor),  >  : Suponha G (  -  )-close(R), para algum R   G satisfaz R com  (  -  )n 2 modificações nas arestas Remove as arestas internas G está k-colorível (kCor) com   n 2 modificações. Contradição Suponha que G é k-colorível (kCor) Tome uma k-coloração V 1,…,V k de G Quebre V i em U ij ’s de tam (  /2k)n  “resto” vai p/ conjunto Lixo de tam  (  /2)n LReg: G satisfaz instância de regularidade R com erro  e ordem 1/   t  LR(2k/ ,  ), que “refina” a partição dos U ij ’s (ou seja, também não tem arestas internas)  Remove arestas do Lixo   (  /2)n 2 remoções  T(R * ) é k-colorível Lema 3.5:  ij  {0, , 2 ,...,1}, para  =  3 / 100  G * é (  /2)-close(  )  G é (  )-close(  )

29 Isomorfismo NÃO é Testável Caso particular: Propriedade P J := Isomorfismo p/ grafo J  G(n,0.5) Provar que P J não é testável, com prob. 1-o(1) Chernoff: subgrafo bipartido o(n) vértices tem densidade  0.5, com prob. 1-o(1) Suponha que J satisfaz essa propriedade e P J é regular-redutível Tome  suf. pequeno e seja  (  ) o conjunto de instâncias de regularidade Tome G isomórfico a J  G é  -close(R), para R   com ordem k e densidades  ij  0.5 Seja B um grafo aleatório k-partido V 1,…,V k, tamanhos n/k, onde d(V i,V j )=  ij  B é  -close(R) com prob. 1-o(1)  ij  0.5  B é  –far(P J ), para algum  >2  fixo, com prob. 1-o(1) Como P J é regular-redutível, B deveria ser (  -  >  )-far(R) Contradição  P J não é regular-redutível  P J não é testável

30 outras demonstrações 1.Amostras em Partições Regulares 2.Satisfazer Instância de Regularidade é Testável 3.Regular Redutível  Testável

31 Amostras em Partições Regulares Grafo G, Amostra Q com O(1) vértices  Com alta prob., G e G [Q] satisfazem as mesmas instâncias de regularidade Lema 5.2:  k,  :  q=q 5.2 (k,  ) : Grafo G e amostra Q com q vértices: com probabilidade 2/3 Se G satisfaz instância de regularidade R de ordem k, então, G[Q] satisfaz instância de regularidade R Q de ordem k igual,  –similar a R E vice-versa  ij Q =  ij   (V i,V j )  -regular  (V i Q,V j Q ) (  +  )-regular

32 Instâncias de Regularidade (testável) Teorema 1: Para toda instância de regularidade R, a propriedade de satisfazer R é testável. Prova: Grafo G + Instância R (ordem k, erro , densidades  ij ) Algoritmo toma amostra Q com q vértices, q=q( ,,k,  ) suf. grande (independe de G), e aceita se e só se G[Q] é (  4  /200k 2 )-close(R) Se G satisfaz R:  Lema 5.2 com q > q 5.2 (k,  6  /10 4 k 2 ), com prob. 2/3  G[Q] satisfaz R Q com densidades  ij   6  /10 4 k 2 e erro  +  6  /10 4 k 2  Lema 3.4  G[Q] é (  4  /200k 2 )-close(R) OK Se G é  –far(R) : Suponha G[Q] (  4  /200k 2 )-close(R) (  4  /200k 2 )q 2 modificações  G[Q] * satisfaz R com uma equipartição (U 1,…,U k ):  U i ’  U i, U j ’  U j, |U i ’|   |U i |, |U j ’|   |U j |  d * (U i, U j ) =  ij  d * (U i ’,U j ’) =  ij   Lema 5.2 com q > q 5.2 (k,  4  /200k 2 ), com prob. 2/3 G satisfaz inst.reg. com densidades [  ij  (  4  /200)]   4  /200k 2 e pares (V i, V j ) (  +  2  /100 +  4  /200k 2 )-regular Lema 3.5: G é  –close(R) Contradição  G[Q] (  4  /200k 2 )-far(R) OK  d(U i, U j ) =  ij  (  4  /200)  d(U i ’,U j ’) =  ij  (  +  2  /200)  (U i,U j ) em G[Q] é origin. (  +  2  /100)-regular   ij  (  2  /50)  (  +  2  /50)-regular  Testa tudo em O(1)

33 Regular Redutível  Testável Fixe  e uma propriedade P regular-redutível Tome  =  /4 e  (  ) o conjunto de r=r(  ) instâncias de regularidade para  =  /4 Teorema 1   R  , “satisfazer R” é testável [FN05]   R  ,  Alg 1 que distingue grafos (  /4)-close(R) e (3  /4)-far(R), com probab. 2/3, realizando q(  ) consultas Repete Alg 1 várias vezes   Alg 2 com prob. 1-1/3r escolhendo a resposta mais dada Testador Alg 3 para P: Roda Alg 2  R   Alg 3 aceita, se Alg 2 aceita para algum R. Caso contrário, Alg 3 rejeita. P regular-redutível: Tome  =  /4 e  (  ) Se G satisfaz P  RR G é (  =  /4)-close(R), para algum R    Alg 3 aceita com prob. 2/3 Se G é  -far(P)  RR G é (  -  = 3  /4)-far(R), para todo R    Alg 3 rejeita com prob. 2/3 Fischer, Newman [FN05] (Testável  Estimável):  1 <  2  Algoritmo aleatório que distingue grafos que são  1 -close(P) e  2 -far(P), realizando q(  1,  2 ) consultas, com probabilidade 2/3 Erro de Alg 3 :  r (1/3r) = 1/3 Alg 3 é mesmo um Testador para P ?

34 FIM


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