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Colégio Integrado Jaó. Prof. Paulo.. Matrizes  Exemplos:

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1 Colégio Integrado Jaó. Prof. Paulo.

2 Matrizes  Exemplos:

3 Matrizes  Definição: toda tabela de números dispostos em linhas ou colunas.  Cada elemento da matriz é indicado por dois índices:  Formando assim um conjunto m x n (m por n) elementos dispostos em m linhas e n colunas onde aij é o elemento associado a i-ésima linha e j-ésima coluna.

4 Matrizes Especiais  Matriz-linha – matriz de tipo 1×n  Matriz-coluna – matriz de tipo m×1  Matriz-quadrada – matriz de tipo n×n ou de ordem n  elementos principais = Aii diagonal principal  tr(A) = traço de uma matriz quadrada = soma dos elementos da diagonal principal  Matriz transposta  obtém-se através da troca ordenada de linhas por colunas (colunas por linhas) de uma matriz.

5 Matrizes Especiais

6 Operações Matriciais  Igualdade de matrizes: duas matrizes são iguais se e só se os elementos homólogos são iguais.  Elementos homólogos – elementos com índices iguais

7 Adição e subtração de matrizes  A adição ou subtração de duas matrizes é uma matriz cujos elementos são iguais à soma dos elementos homólogos.

8 Multiplicação por um escalar  O produto de uma matriz por um escalar é uma matriz que se obtém multiplicando o escalar por cada um dos elementos da matriz.

9 Multiplicação de Matrizes  Considerem-se duas matrizes A e B tais que o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B. O produto das matrizes A e B é uma matriz P=A.B onde

10 = x3 3 x3 = 2x 3 Multiplicação de matrizes

11 = x3 3x3 8 2x 3

12 = x3 3x3 8 2x 3 12

13 = x3 3x3 8 2x 3 15

14 = x3 3x3 8 2x

15 = x3 3x3 8 2x

16 = x3 3x3 8 2x

17 = x3 3x3 8 2x

18 Propriedades 1. Em geral, AB ≠ BA, ou seja, não é comutativa. 2. Associatividade: (AB)C = A(BC). 3. α(AB) = (αA)B = A(αB), A(–B) = (–A)B = –(AB). 4. (A + B)C = AC + BC se A e B são m×n e C e n×p. 5. D(A + B) = DA + DB se A e B são m×n e D e p×m. 6. Elemento neutro da multiplicacao: AIn = ImA = A, em que Ip e a matriz identidade de ordem p.

19 Criptografia  Fundamentação Teórica Criptografia Kriptós: escondido, oculto Grápho: grafia

20 Introdução à Criptografia  A Criptografia é a ciência que estuda as formas de se escrever uma mensagem em código. Trata-se de um conjunto de técnicas que permitem tornar incompreensível uma mensagem originalmente escrita com clareza, de forma a permitir que apenas o destinatário a decifre e compreenda (Cavalcante, 2004).

21 A cifra de Hill  Método que se utiliza da Álgebra Linear para codificar e decodificar uma mensagem através da multiplicação de matrizes.  Pré-requisito para Cifra de Hill Matrizes Multiplicação de Matrizes Inversa de uma Matriz Matriz Identidade

22 A cifra de Hill Quando uma mensagem esta codificada por uma Matriz A2x2, dizemos que se trata de uma 2-Cifra de Hill. A decodificação é feita multiplicando a mensagem codificada pela inversa da matriz codificadora.

23 A cifra de Hill  Tabela de conversão de caracteres em números.

24 Exemplo de codificação e decodificação Tomemos a mensagem: Tudo bem? e substituamos cada letra por um número, de acordo com a tabela anterior. T u d o b e m ?

25 Exemplo de codificação e decodificação  Montamos uma matriz 3x3 com os números encontrados:

26 Exemplo de codificação e decodificação Usaremos com chave a matriz: Agora efetuamos a multiplicação da matriz chave pela matriz texto. Substituindo os valores da matriz pelos símbolos da tabela temos a mensagem codificada: Óuftm!em?


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