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Departamento de Informática – E D L M Funções Rosen 5 th ed., §1.8 Estruturas Discretas e Lógica Matemática Dep. de Informática – UFMA Prof. Anselmo Paiva.

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1 Departamento de Informática – E D L M Funções Rosen 5 th ed., §1.8 Estruturas Discretas e Lógica Matemática Dep. de Informática – UFMA Prof. Anselmo Paiva

2 Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Funções Conceito familiar no cálculo Função real f, que associa a cada número x  R um valor particular y=f(x), onde y  R. Noção generalizada –Conceito de associar elementos de um conjunto qualquer a elementos de um outro conjunto qualquer

3 Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Definição Formal Sejam A e B dois conjuntos, então dizemos que um função f de A em B (f:A  B) é uma associação de um único elemento f(x)  B a cada elemento x  A. Generalizações desta Idéia: –Função f associa zero ou elemento de B a cada elemento x  A. –Funções de n argumentos; relations. Mais na frente veremos

4 Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Gráficos de Funções Podemos representar uma função f:A  B como o conjunto de pares ordenados {(a,f(a)) | a  A}. –Isto torna f uma relação entre A e B: –Para cada a  A, existe somente um par (a,b). Podemos representar os pares ordenados como pontos em um plano. –Assim desenhamos uma curva com um único y para cada x.

5 Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Funções pode ser representadas graficamente: A B a b f f x y Gráfico Grafo Bipartido Diagrama de Venn AB

6 Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Funções que já vimos Uma proposição pode ser vista como uma funçãoque leva de “situações”em valores veradade {T,F} –p=“Está chovendo.” –s=nossa situação aqui hoje –p(s)  {T,F}. Um operador proposicional pode ser visto como uma função de pares ordenados em valores verdade: e.g.,  ((F,T)) = T.

7 Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Mais funções Um predicado pode ser visto como uma função de objetos em proposições: P :≡ “tem 2 metros de altura”; P(Zé) = “Zé tem 2 metros de altura.” Uma bit string B de comprimento n pode ser vista como uma função de números {1,…,n}(posições dos bits) em bits { 0, 1 }. E.g., B= 101  B(3)= 1.

8 Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Continuando Um conjunto S sobre um universo U pode ser visto como uma função dos elementos de U em {T, F}, definindo se cada elemento de U está no conjunto S Suponha U={0,1,2,3}. Então S={3}  S(0)=S(1)=S(2)=F, S(3)=T

9 Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Continuando Um conjunto de operadores tal como , ,  pode ser visto como uam função de pares de conjuntos em conjuntos. –Exemplo:  (({1,3},{3,4})) = {3}

10 Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Notação Podemos escrever YX para denotar o conjunto F de todas as possíveis funções f: X  Y. Assim, f  YX é outra maneira de dizer que f: X  Y. Notação apropriada –Para X e Y finitos |F| = |Y||X|.

11 Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Detalhe Se usarmos F  0, T  1, então um subconjunto T  S é uma função de S em {0,1} P(S) pode ser representado como {0,1}S (o cojunto de todas as funções de S em {0,1} )

12 Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Terminologia Se escrevemos f:A  B, e f(a)=b (onde a  A & b  B), podemos dizer: –A é o domínio de f. –B b é o contra-domínio de f. –b é a imagem de a em f. –O conjunto imagem de f:A  B é o conjunto de todas as imagens de elementos de A. –Dizemos que f:A  B mapeia A em B.

13 Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Funções Considere a função f:P  C com P = {Linda, Max, Kathy, Peter} C = {Boston, New York, Hong Kong, Moscow} f(Linda) = Moscow f(Max) = Boston f(Kathy) = Hong Kong f(Peter) = New York O conjunto imagem de f é C.

14 Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Funções Let us re-specify f as follows: f(Linda) = Moscow f(Max) = Boston f(Kathy) = Hong Kong f(Peter) = Boston Is f still a function? yes {Moscow, Boston, Hong Kong} What is its range?

15 Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Funções Other ways to represent f: BostonPeter Hong Kong Kathy BostonMax MoscowLinda f(x)x LindaMax Kathy PeterBoston New York Hong Kong Moscow

16 Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Funções Se o domínio de f for grande, é conveniente especificar f com uma fórmula, e.g.: f:R  R f(x) = 2x Isto leva a: f(1) = 2 f(3) = 6 f(-3) = -6 …

17 Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Funções Sejam f1 e f2 funções de A em R. Então a soma e o produto de f1 e f2 são também funções de A em R definidas por: (f1 + f2)(x) = f1(x) + f2(x) (f1f2)(x) = f1(x) f2(x) Exemplo: f1(x) = 3x, f2(x) = x + 5 (f1 + f2)(x)= f1(x)+f2(x)=3x + x + 5 = 4x + 5 (f1f2)(x) = f1(x) f2(x) =3x(x + 5) = 3x2 + 15x

18 Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Funções Seja f:A  B. Se tomarmos um subcon If we only rejunto S  A, o conjunto de todas as imagens de elementos s  S é denominado imagem de S. Denotada por f(S): f(S) = {f(s) | s  S}

19 Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Funções Considere a seguinte função: f(Linda) = Moscow f(Max) = Boston f(Kathy) = Hong Kong f(Peter) = Boston Qual a imagem de S = {Linda, Max} ? f(S) = {Moscow, Boston} Qual a imagem de S = {Max, Peter} ? f(S) = {Boston}

20 Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Composição A composição de duas funções g:A  B e f:B  C, denotada por f  g, é definida como (f  g)(a) = f(g(a)) Isto significa que: –a primeira função é aplicada ao elemento a  A, –mapeando ele em um elemento de B, –Então f é aplicada a este elemento de B –Mapeando eme em um elemento de C. Assim: –função composta mapeia elementos de A em C.

21 Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Composição Exemplo: f(x) = 7x – 4, g(x) = 3x, f:R  R, g:R  R (f  g)(5) = f(g(5)) = f(15) = 105 – 4 = 101 (f  g)(x) = f(g(x)) = f(3x) = 21x - 4

22 Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Composição Composição de função e sua inversa: (f-1  f)(x) = f-1(f(x)) = x É a função identidade I(x) = x.

23 Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Propriedades das Funções Uma função f:A  B é dita injetora sss –  x, y  A (f(x) = f(y)  x = y) –  x, y  A(  x,y: x  y  f(x)  f(y)). F é injetora sss não mapeia dois elementos distintos de A no mesmo elemento de B.

24 Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Propriedades das Funções De novo f(Linda) = Moscow f(Max) = Boston f(Kathy) = Hong Kong f(Peter) = Boston F é injetora? –Não, –Max e Peter são mapeados na mesma imagem. g(Linda) = Moscow g(Max) = Boston g(Kathy) = Hong Kong g(Peter) = New York G é ? G é é injetora ?Sim

25 Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Propriedades das Funções Como provar que um função é injetora? Olhe a definição primeiro:  x, y  A (f(x) = f(y)  x = y) Exemplo: f:R  R f(x) = x2 Use contra exemplo pra provar que não é: f(3) = f(-3), but 3  -3, so f is not one-to-one.

26 Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Propriedades das Funções … outro exemplo: f:R  R f(x) = 3x Injetora:  x, y  A (f(x) = f(y)  x = y) Mostrar que : f(x)  f(y) quando x  y x  y 3x  3y f(x)  f(y), assim se x  y, então f(x)  f(y), logo, f é injetora.

27 Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Propriedades das Funções A função f:A  B com A,B  R é denominada estritamente crescente, se  x,y  A (x < y  f(x) < f(y)), E estritamente descrescente se  x,y  A (x f(y)). Um função que é estritamente crescente ou estritamente descrescente é injetora.

28 Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Propriedades das Funções Uma função f:A  B é denominada sobrejetora, sss para cada elemento b  B existe um elemento a  A com f(a) = b. Se o cojunto imagem for igual ao contra-domínio Uma função f: A  B é bijetora sss é injetora e sobrejetora. Logo: se f é bijetora e A e B são conjuntos finitos, então |A| = |B|.

29 Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Propriedades das Funções F é injetora? Não. F é sobrejetora? Não. F é bijetora? Não.LindaMax Kathy PeterBoston New York Hong Kong Moscow

30 Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Propriedades das Funções F é injetora? Não. F é sobrejetora? Sim. F é bijetora? Não.LindaMax Kathy PeterBoston New York Hong Kong Moscow Paul

31 Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Propriedades das Funções F é injetora? Sim. F é sobrejetora? Não. F é bijetora? Não.LindaMax Kathy PeterBoston New York Hong Kong Moscow Lübeck

32 Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Propriedades das Funções F é injetora? Não. F não é funçãoLindaMax Kathy PeterBoston New York Hong Kong Moscow Lübeck

33 Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Propriedades das Funções F é injetora? Sim F é sobrejetora? Sim F é bijetora? Sim Linda Max Kathy Peter Boston New York Hong Kong Moscow Lübeck Helena

34 Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Inversa As funções bijetora possuem uma função inversa. f:A  B tem como função inversa f -1 :B  A com f-1(b) = a tal que f(a) = b.

35 Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva InversaExemplo: f(Linda) = Moscow f(Max) = Boston f(Kathy) = Hong Kong f(Peter) = Lübeck f(Helena) = New York É um função bijetora A inversa é dada por: f -1 (Moscow) = Linda f -1 (Boston) = Max f -1 (Hong Kong) = Kathy f -1 (Lübeck) = Peter f -1 (New York) = Helena Inversão so é possível para bijetoras

36 Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Inversa f -1 :C  P não é função Não está definida para todos os elementos de C Associa duas imagens a New York. Linda Max Kathy Peter Boston New York Hong Kong Moscow Lübeck Helenaf f -1

37 Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Função teto e piso Mapeiam números reais em inteiros (R  Z). Piso(floor) associa r  R ao maior z  Z com z  r, denotado por  r . –  2.3  = 2,  2  = 2,  0.5  = 0,  -3.5  = -4 Teto (ceiling) associa r  R ao menor z  Z com z  r, denotado por  r . –  2.3  = 3,  2  = 2,  0.5  = 1,  -3.5  = -3

38 Departamento de Informática – E D L M Sequências Rosen 5 th ed., §1.8 Estruturas Discretas e Lógica Matemática Dep. de Informática – UFMA Prof. Anselmo Paiva

39 Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Sequências Representam listas ordenadas de elementos. É definida como uma função de um subconjunto de N em um conjunto S. Usamos a notação a n para denotar a imagem do inteiro n Chamamos a n de um termo da sequência. Subconjunto de N: … S: …

40 Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Sequências Usamos a Notação {a n } para descrever uma sequência. É conveniente descrever uma sequência com uma fórmula. Por exemplo: a sequência do slide anterior {a n }, where a n = 2n.

41 Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva As Fórmulas de Sequências 1, 3, 5, 7, 9, … a n = 2n , 1, -1, 1, -1, … a n = (-1) n 2, 5, 10, 17, 26, … a n = n , 0.5, 0.75, 1, 1.25 … a n = 0.25n 3, 9, 27, 81, 243, … a n = 3 n Quais as fórmulas pras seguintes sequências a 1, a 2, a 3, … ?

42 Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Strings Sequências finitas são denominadas de strings, denotadas por a 1 a 2 a 3 …a n. O comprimento de uma string S é o número de termos que S possui. A string vazia não contém termos. Possui comprimento zero

43 Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Somatórios A variável j é denominada índice do somatório, indo do seu limite inferior m ao limite superior n. O que isto significa?

44 Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Somatórios = 21. Escrevemos como Qual o valor de ? Muito trabalho pra calcular isto Qual o valor de ? Como expressar a soma dos primeiros mil termos de uma sequência {a n } com a n =n 2 para n = 1, 2, 3, … ?

45 Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Somatórios Gauss apresentou a seguinte fórmula: Quando temos esta fórmula, podemos calcular o valor de qualquer somatório:

46 Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Séries Aritméticas Como: Observe que: …+ n/2 + (n/2 + 1) +…+ (n - 2) + (n - 1) + n ??? = [1 + n] + [2 + (n - 1)] + [3 + (n - 2)] +…+ [n/2 + (n/2 + 1)] = (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + … + (n + 1) (com n/2 termos) = (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + … + (n + 1) (com n/2 termos) = n(n + 1)/2. = n(n + 1)/2.

47 Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Séries Geométricas Como : Observe que: S = 1 + a + a 2 + a 3 + … + a n ??? aS = a + a 2 + a 3 + … + a n + a (n+1) assim, (aS - S) = (a - 1)S = a (n+1) - 1 Entao, 1 + a + a 2 + … + a n = (a (n+1) - 1) / (a - 1). E.G.: … = 2047.

48 Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Séries Úteis

49 Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Somatórios Duplos Correspondendo a loops aninhados em linguagens de programação: Exemplo:


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