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Sistemas de Controle de Aeronaves II Introdução ao Matlab e Equacionamento longitudinal de uma aeronave 2012 Eduardo Morgado Belo Mateus Moreira de Souza.

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1 Sistemas de Controle de Aeronaves II Introdução ao Matlab e Equacionamento longitudinal de uma aeronave 2012 Eduardo Morgado Belo Mateus Moreira de Souza

2 Introdução ao MATLAB Manipulação de Matrizes Manipulação de Gráficos

3 MATLAB Current Directory Command Window Workspace Command History

4 Manipulação de Matrizes no MATLAB Criando uma matriz ▫Envolva os elementos da matriz com [ ]. ▫Separe os elementos de uma linha usando espaços ou vírgula (,). ▫Use o ponto e vírgula (;) para indicar o final de uma linha. A = [ ; ; ; ] A = [16,3,2,13;5,10,11,8;9,6,7,12;4,15,14,1]

5 Manipulação de Matrizes no MATLAB Utilizando elementos de uma matriz. ▫Matriz (linha,coluna ) A( 2, 1 ) Para selecionar mais de um elemento da matriz. ▫Matriz ( [ linhas ],[ colunas ]) A( [1 2], [1 3 4] )

6 Manipulação de Matrizes no MATLAB Usando os dois pontos ( : ). ▫Pode gerar vários elementos com passo unitário. ▫Valor inicial : Valor final 1:10 ▫Pode gerar vários elementos com passo escolhido. ▫Valor inicial : Passo : Valor final 1:2:10

7 Manipulação de Matrizes no MATLAB Usando os dois pontos com matrizes ▫Pode ser utilizado para selecionar vários elementos de uma matriz. A ( 1 : 3, 1) A ( 3, 2 : 2 : 4 ) A ( 2 : 4, 1 : 2 : 3 ) ▫Pode ser utilizado para selecionar uma linha ou coluna de uma matriz A ( :, 1 ) A ( 2, : ) A ( :, : )

8 Manipulação de Matrizes no MATLAB Operadores ▫+Soma ▫-Subtração ▫*Multiplicação ▫/Divisão ▫^Potenciação ▫‘Transposta de matriz e conjugado de número imaginário ▫( )Índice

9 Manipulação de Matrizes no MATLAB Comandos para matrizes ▫zeros (a,b) = Cria uma matriz a x b de 0. ▫ones (a,b) = Cria uma matriz a x b de 1. ▫eye (n) = Cria a matriz identidade de ordem n ▫A (end, : ) = Apresenta a ultima linha de A. ▫sum (A) = Soma dos valores de cada coluna de A. ▫diag(A) = Cria um vetor com os elementos da diagonal de A. ▫transpose(A) = Cria a matriz transposta de A. ▫det (A) = Retorna o determinante de A. ▫rank(A) = Retorna o número de linhas independentes de A. ▫inv(A) = Cria a matriz inversa de A. ▫eig(A) = Cria um vetor com os autovalores de A. ▫[V,D]=eig(A) = Cria uma matriz D com os autovalores de A e uma matriz V com os respectivos autovetores. ▫poly(A) = Cria um vetor com os elementos da equação característica de A.

10 Exemplo Usar os comando para a matriz A: A=[ ; ; ; ]; Comandos: A (end, : ), A (:, end ), sum (A), diag(A), transpose(A), det (A), rank(A), inv(A), [V,D]=eig(A), poly(A).

11 Manipulação de Gráficos no MATLAB Criando um gráfico ▫O comando plot (x,y) cria um gráfico 2D. t=0:0.1:2*pi ; y=sin(t) ; plot(t,y) ▫O comando plot(x,y,’prop’) cria um gráfico com as propriedades atribuídas à linha. plot(t,y,’r--+’)

12 Manipulação de Gráficos no MATLAB

13 Múltiplos gráficos ▫Usando apenas um comando plot. plot(x1,y1,’prop1’,x2,y2,’prop2’) ▫Usando hold on, hold off. plot(x1,y1,’prop1’); hold on ; plot(x2,y2,’prop2’); hold off. ▫Usando subplot. subplot(2,1,1); plot(x1,y1,’prop1’); subplot(2,1,2); plot(x2,y2,’prop2’); ▫Usando figure. figure(1); plot(x1,y1,’prop1’) figure(2); plot(x2,y2,’prop2’)

14 Manipulação de Gráficos no MATLAB Utilizando t=0:0.1:2*pi; x=sin(t);y=cos(t); plot(t,x,’b’,t,y,’r’) plot(t,x,’g’) ; hold on plot(t,x,’k’) ; hold off subplot(1,2,1) ; plot(t,x,’b’) subplot(1,2,2) ; plot(t,y,’r’) figure(1) plot(t,x,’b’) figure(2) plot(t,y,’r’)

15 Manipulação de Gráficos no MATLAB Comandos de edição do gráfico ▫legend(‘x1’, ‘x2’,...) = Insere a legenda de x1, x2,... ▫title(‘texto’) = Insere o título no gráfico. ▫xlabel(‘x’), ylabel(‘y’), zlabel(‘z’) = Nomeia os eixos x, y e z respectivamente. ▫axis([xmin xmax ymin ymax]) = Limita a área apresentada pelo gráfico. ▫axis equal = o incremento nos eixos x e y ficam iguais. ▫grid on = cria uma malha no gráfico.

16 Exemplo t=0:0.1:2*pi; x=sin(t);y=cos(t); plot(t,x,'r',t,y,'b') title('Funções seno e cosseno') xlabel('t') ylabel('sin(t) e cos(t)') axis([0 2*pi -1 1]) axis equal grid on legend('sin(t)','cos(t)')

17 Sistemas Dinâmicos

18 Sistemas dinâmicos Sistema massa, mola, amortecedor. ▫Forma diferencial. ▫Transformada de Laplace.

19 Sistemas dinâmicos Sistema massa, mola, amortecedor. ▫Espaço de Estados ▫Função transferência

20 Sistemas dinâmicos Comandos de MATLAB para sistemas dinâmicos ▫SYS = ss(A,B,C,D) = Cria um sistema no espaço de estados. ▫set(SYSEE, 'inputname', {‘u‘ }, 'outputname', {‘y'},... 'statename', {'x‘ }); = Configura o nome das entradas e saídas do sistema. ▫[num,den]=ss2tf(A,B,C,D) = Gera o numerador e denominador da função transferência do sistema no espaço de estados. ▫SYS=tf(num,den) = Cria a função transferência do sistema. ▫roots(den) = Retorna as raízes do polinômio den. ▫step(SYS) = Cria gráficos com a resposta degrau de todas as entradas para todas as saídas do sistema SYS. ▫impulse(SYS) = Cria gráficos com a resposta impulso de todas as entradas para todas as saídas do sistema SYS.

21 Sistemas dinâmicos Exemplo ▫Escrever o sistema no espaço de estados M=2Kg;B=16Ns/m;K=8N/m; ▫Obter a função transferência. ▫Obter a equação característica. ▫Obter as raízes da equação característica ▫Resposta a entrada degrau ▫Resposta ao impulso

22 Trabalho Escrever um M.file contendo: ▫A equações da dinâmica de vôo do Boeing 747 no espaço de estados. ▫A função transferência θ/δ E. ▫A equação característica. ▫As raízes da equação característica. ▫A resposta de θ à entrada degrau de δ E. ▫A resposta de θ à entrada impulso de δ E.

23 Equações do vôo longitudinal

24 Condição de vôo B747 M=0.8 Altitude=40000 ft X(N)Z(N)M(m*N) u (m/s)-1.982* * *10 4 w (m/s)4.025* * *10 4 q (rad/s) * *10 7 dw/dt (m/s 2 )01.909* *10 4 δ E (rad) * *10 6 W (N)S (m 2 )c (m)b (m)Ix (Kg*m 2 )Iy (Kg*m 2 ) * * *10 8 Iz (Kg*m 2 )Izx Kg*m 2 )u 0 (m)ρ (Kg/m 3 )C L0 C D * *

25 Referências Help MATLAB Etkin, B.. ’Dynamics of flight : stability and control’, 3ª ed.. Wiley.


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