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1 O problema de contacto com atrito em termos de complementaridade em cones de segunda ordem Y. Kanno 1, J.A.C. Martins 2 e A. Pinto da Costa 2 * 1 Universidade.

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1 1 O problema de contacto com atrito em termos de complementaridade em cones de segunda ordem Y. Kanno 1, J.A.C. Martins 2 e A. Pinto da Costa 2 * 1 Universidade de Quioto Departamento de Engenharia Urbana e Ambiental Quioto, Japão 2 Instituto Superior Técnico Departamento de Engenharia Civil e Arquitectura e ICIST Lisboa, Portugal Congresso de Métodos Computacionais em Engenharia Laboratório Nacional de Engenharia Civil Lisboa, 31 de Maio - 2 de Junho, 2004

2 2 Evoluções quase-estáticas em sistemas de contacto com atrito O problema quase-estático incremental Atrito de Coulomb em 3D em termos de uma condição de complementaridade em cones de segunda ordem O problema incremental em 3D em termos de um SOCLCP Exemplos numéricos SUMÁRIO

3 3 Evolução temporal dos deslocamentos u(t) e das reacções de contacto r(t) para uma dada variação temporal das forças exteriores, aplicadas tão lentamente que as forças de inércia se podem desprezar. Condições iniciais admissíveis: EVOLUÇÕES QUASE-ESTÁTICAS C F o b s t á c u l o n t Condições de contacto e atrito

4 4 CONDIÇÕES DE CONTACTO E DE ATRITO Atrito:  r n  || r t || e r t. v t +  r n ||v t || = 0 rtrt vtvt t1t1 t2t2 rnrn (n)(n) rtrt v t = {0} Contacto unilateral: u n  0, r n  0, u n r n = 0 t1t1 t2t2 n obstáculo  1 vtvt rtrt rnrn

5 5 O PROBLEMA QUASE-ESTÁTICO INCREMENTAL Calcular o incremento (  u,  r) do estado (u, r) para dado incremento  F das forças exteriores F u r (u,r) (  u,  r) Substituição das derivadas presentes no problema de evolução (i.e. na lei de atrito de Coulomb) por razões incrementais

6 6 O PROBLEMA QUASE-ESTÁTICO INCREMENTAL Ku 0 = f 0 + r 0 Equação de equilíbrio de um estado de equilíbrio (u 0, r 0 ) conhecido correspondente a forças exteriores f 0 : Forma incremental das equações de equilíbrio: K  u =  f +  r K = K F,F K C,F K F,C K C,C  u = uFuF uCuC  f = fFfF fCfC  r = 0 rCrC  K = K C,C  K C,F K F,F K F,C 11 K  u C = f + r C  Equações de equilíbrio condensadas no contacto:

7 7 CONES DE SEGUNDA ORDEM L n = {x = {x 0, x 1 }  R n : x 0  ||x 1 ||} + x1x1 x0x0 45 o n = 3 x1x1 x0x0 45 o n = 2 x0x0 n = 1 o oo x 1 = x 1 x 1 = Øx 1 = {x 11, x 12 } L1  R1L1  R1 ++ L2L2 L3L3 ++

8 8 ATRITO 3D EM TERMOS DE CONES DE SEGUNDA ORDEM  r n  ||r t || e r t.  u t +  r n ||  u t || = 0   r n  ||r t ||,  n  ||  u t || e ( n,  u t ).(  r n,r t ) = 0 Condição de complementaridade linear L3L3 + L3L3 + é convexo fechado e auto-dual Cones de segunda ordem no espaço tridimensional Uma variável extra ( n ) por cada nó candidato ao contacto

9 9 CONTACTO UNILATERAL EM TERMOS DE CONES DE SEGUNDA ORDEM  u n  g  0,  r n  0 e (  u n  g). r n = 0 Condição de complementaridade linear L1L1 + Cones de segunda ordem no espaço unidimensional L1L1 + é convexo fechado e auto-dual o  u n  g, r n

10 10 SECOND-ORDER CONE LINEAR COMPLEMENTARITY PROBLEM x = n  u t1  u t2 unun y = rnrn r t1 r t2 rnrn K S = produto cartesiano de cones de segunda ordem M =  K n,t1 K t1,t1 K t2,t1 K n,t1  K n,t2 K t1,t2 K t2,t2 K n,t2  K n,n K t1,n K t2,n K n,n q = fnfn f t1 f t2 fnfn SOCLCP: Calcular (x, y)  R 4n  R 4n, tal que y = Mx + q x  K S, y  K S, x T y = 0 cc

11 11 ALGORITMO E ALGUNS FACTOS S. Hayashi, N. Yamashita, M. Fukushima (2003) A combined smoothing and regularization method for monotone second-order cone complementarity problems, Technical Report , Dept. of Applied Mathematics and Physics, Kyoto University. Álgebra euclideana de Jordan em cones de segunda ordem Funções de suavização associadas a SOCCP’s Método de regularização que resolve uma sucessão de SOCLCP(  )’s com   0 + : y  = (M +  I)x  + q Operador monótono  convergência global Método de Newton Taxa de convergência quadrática

12 12 BARRA EM ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÃO 0.01 MPa 0.05 MPa obstáculo 0.01 MPa obstáculo 0.01 MPa obstáculo  = 0.7

13 13 EVOLUÇÃO DAS TENSÕES DE CONTACTO t/t/ nn

14 14 EVOLUÇÃO DAS TENSÕES DE CONTACTO 5786

15 15 TRELIÇAS TRIDIMENSIONAIS Treliça 4  4 f f/2 f/4 f =  kN Incremento 

16 16 TRELIÇA 12  12 Deslocamentos totaisDeslocamentos incrementais  =

17 17 COMENTÁRIOS FINAIS Formulação SOCLCP e algoritmo recente para o problema quase-estático incremental. Verdadeiro cone de atrito de Coulomb em 3D com formulação da Programação Matemática. Unificação da metodologia para 2D e 3D.

18 18 PARA POUPAR TEMPO DE COMPUTAÇÃO SOCMLCP: FORMULAÇÃO E RESOLUÇÃO COMO UM PROBLEMA MISTO DE COMPLEMENTARIDADE LINEAR EM CONES DE SEGUNDA-ORDEM Find (x, y)  R n +4n  R n +4n, such that y = Mx + q c c x  R n  K S, y  R n  K S, x T y = 0 ff ff K S = produto cartesiano de cones de segunda ordem


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